Том 2 (1113040), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Лз = 1, Лз = -1, собственные векторы соответственно равны а(2,1,0) + 13(1,0, — 1)т, а + 13~ ф О,и а(3,5,6)т,а ~ О. 57.40 Лз = — 3, Лз = — 1, Лз = 1, Л4 = 3, собственные векторы соответственно равны а(1, -3,3, -1)т,а(1, -1, — 1,1)т,а(1,1, -1, — 1)т,а(1,3,3,1)т, а ф О. 57 41 Л~ = О, Лг = 2, собственные векторы соответственно равны а(0, 1, О, — 1) т, а(0, 1, О, 1) т, а ~ О. 57.42. Лз = О, Лз = 2, собственные векторы соответственно равны а(2,-1,0 0) +)3(300,— 1) и а(1, — 1,0,1) +13(00,10)т, а +)3~ ~ О.
57.43. Лз = 3, собственные векторы равны а(1,0,0,-1) +)3(0,0,1,0)т, а +13з ~ О. 57.44. а) Нет собственных значений; б) Лнз = 1 х 2з. 57.45. а) Лз = 2; б) Лз = 2, Лз,з = (1 х зз/3)/2. 57 46. а) Лз = — 1, Лз = 5; б) Ль = -1, Лз = 5, Лзи = 2 ~ з. 57.47.
а) Нет собственных значений; б) Лнз = хз, Лзи = х20 У к аз ание. Ко 2-й строке определителя (А — Лу) прибавить 3-ю строку. 57.48. Лз = О, Лз = 4, Лзи = 2 ~ 2з/2. 57.49. Собственное значение Ло алгебраической кратности л, собственные векторы равны аеы а ф О. 57.51. У к аз ание. При доказательстве необходимости использовать результат предыдущей задачи. 57.52. Лы,, ., Л„, Лы..., Л . 57.53. Лд = О, собственные векторы равны а(1,1,0,1) +)3(0,1,1,0)т, аз+)3з ф О 214 Ответы и указании к 357 57.54. Лв = О, собственные векторыравныа(1,0,0,— 1) +!3(0,-1,2,0) а'+ /3' ~ О.
Г1О) Г О 57.55. Лв = 2, собственные векторы равны а [ 0 0 ] + Г3 [ 1 0 ], а'.1-!3г ф О. 57.56. а) Лв = О, собственные векторы равны а1+/3 1 0 0 ], а +!3 ~ 0; ГО 11 б) Лв = О, Лг,з = х2, собственные векторы соответственно равны а/+ !3[1 0 ] '+)3'Фо [1 1] [ 1 1] 340 в) Лв = О, Лг,з = х2в, собственные векторы соответственно равны аГ+ !3[1 0],(а(+ЩтО,а[ 1 ],ато. 57.57.
Лв = О, Лг = -3, собственные векторы соответственно равны а(1 — 21+ 1~) +!3(-2+ 7! — 51~), а +43~ ф О, а(1~ — в~), а т О. 57.58. Лв = О, собственными векторами являются все ненулевые векторы (ав,..., а„), ортогональные вектору у: ~г в в а,у, = О, и Лг = г,, в х;уо т собственными векторами являются векторы в3хв в3 ф О. 57.59. Лв = О, собственными векторами являются все ненулевые векторы (ав,...,а ): ав +... + а = О, и Лг = и, собственными векторами т являются векторы )3(1,...,1)т, Г3 ~ О. 57.60.
Лв = О, собственными векторами являются все ненулевые век- т,ав а„ торы (ав,..., аз): — +... + — = О, и Лг = и, собственными векторами Гвв Гв являются векторы /Г(Гвв,..., Р„)г, !3 34 О. 57.61. а) Лв = о — Ь, Лг = о+ Ь(и — 1), соответствующие собственные векторы те же, что и в задаче 57.59; б) пусть д = в/е/Ь, тогда Лз = Ь, где сь = соз(2йл/и) + дсз — 9" 1 — Чсз вз!п(2йл/и), й = О,п — 1. Собственные векторы, отвечающие Лю имеют вид а(1,рюрз,...,р,", ), где рь = (Ь+ Лз)/(о+ Ль), а ~ О.
57.62. Лв = О, Лг,з = -'[ох ог+4(Ьвсв+... +Ь вс 57.63. Например, (1, 1,..., 1) т. 57.65. Если и = 2й, то хв/ава„, х /ага„в,..., х /аьаьев! если и = 2й + 1, то хз/ага,х /ага в,...,жв/ааавз-г,аьев 57.66. При и = 4й + 1: Лв = в/и кратности й + 1, Лг = -в/й кратности й, Лз,4 = хв/пв кратностей й. При и = 4й + 3: Лв,г = хз/и кратностей й+ 1, Лз = в/ив кратности й+ 1, Л4 = — з/ив кратности й. Указание. Рассмотреть квадрат данной матрицы. 57.67. а) (-Л)" — ( — 1)"; б) собственному значению Лз = соз(2йл/и) + вз!п(2йл/п) отвечают собственные векторы а(1,Лв,Лг,...,Л,", ')т, а т 0 (й = О,п — 1). 57 68.
Ль = /(сз), где /(х) = о в + озх+... +а„х" ', ез = соз(2йл/и) + вз!п(2йл/и), й = О,п — 1. Указание. Воспользоваться задачей 43.27. 57.69. а) Лв = 24 сов(йл/(и+1)), й = 1, и; б) Лв = о-г-2Ьсоз(йл/(п4-1)), й= 1,п. Ответы и указания к 357 215 57.70. Указание. а) Воспользоваться симметричностью матрицы А; 6) воспользоваться рекуррентным соотношением для Р = ]А — Л1[: Р (а„— Л)Р„г — Ьг,Р„-г и показать, что если Р„= О, то Р г ф О. 57.71. Указание.
Рекуррентное соотношение Р»(Л) = (໠— Л)Р»-г(Л) — Ь»-гс»-гР»-г(Л) для Р»(Л) = бег(А» — Л1) показывает, что Р (Л) зависит не от самих чисел Ь», с», а лишь от их произведений. Поэтому, заменив в А элементы Ь» и с» на з/Ь»с», получим симметрическую матрицу А'„с тем же характеристическим многочленом. 57.72. а) Нет; 6) нет. Указание. Рассмотреть след ц ранг данных матриц.
57.73. а) Л» = Й вЂ” 1, Й = 1,п + 1, соответствующие собственные векторы равны /»(1) = аг», а ~ О; 6) при и = 2Й; Лгл = х1, соответствующие собственные векторы равны аг(1+1")+аг(1+1" ) +... +а»(1» '+г"~')+а»ег1» и аг(1 — С") +аг(!в с" ') +... + а»(г — г"~'); при и = 2Й+ 1: лгл = х1, соответствующие собственные векторы равны аг(1 х1" ) +аз(г ж1™ ') +... + а»(1» хг" г') (при условии, что не все коэффициенты а, равны нулю); в) Лг = 1, собственные векторы равны /(1) = а, а ф О; г) Л» = 1/й, й = 1, и+ 1, соответствующие собственные векторы равны /»(1) = аг ', а зь О; д) Л» = 1/(Й+ 1), Й = 1,п+ 1, соответствующие собственные векторы равны /»(1) = аг», а ф О; е) Лг = О, собственные векторы равны /(1) = а, а ~ О; ж) Лд = О, собственные векторы равны 2 < аг»(1 — о)г», где не все коэффициенты аг» равны нулю; з) Лг = 1, собственными векторами являются все ненулевые многочлены из М».
57.77. Симметрические и кососимметрические ненулевые матрицы. 57.78. 6) Ненулевые матрицы вида [хг хг...х ], где х; — либо один из собственных вектор-столбцов ам...,о», либо нулевой столбец. 57.79. 6) Собственному значению Л соответствуют ненулевые матрицы вида [хг хг...
х„], где х; — либо один из собственных вектор-столбцов т матрицы Вг, отвечающих Л, либо нулевой столбец. 57.80. Л»рп Й,! = 1,п. Указание. Учесть, что матрицы А и В подобны диагональным матрицам. 57.81. а) ЛЬО 6) Л+ р. 57.82. а) Л»Лб 6) Л»/Лц в) Л» — Лг (й, ! = 1,п). Указание. См, задачу 52.55. 57 83.
Л»!л; 6) Л»+рц Й,! = 1,п. Указание. См. задачу 52 55. 57.84. 1) Пусть А невырождена. Тогда если х — собственный вектор матрицы АВ, то А 'х — собственный вектор матрицы ВА. 2) Нет, неверно. 57.85. Указание. Если одна из матриц А или В невырождена, то воспользоваться предыдущей зацачей. Если обе матрицы А и В вырождены, то выбрать последовательность с» — > О так, чтобы матрицы А» = А — с»1 были невырождены, и применить предельный переход. 57.88. Ук а ванне. Использовать равенство Ответы н указания к 358 216 [А — Л1 А ][1 О] [1 О][ — Л1 А 57.87.
Указание. Использовать равенства: ) [О 1] [ -В А — Л1] [ -В А+В — Л1] [О 1]! ~[ — В А[ !ВА — АВ А+В 57.88. Указание. Лостаточно рассмотреть случай, когда главная подматрица расположена в левом верхнем углу. В этом случае показать, что собственному значению Л матрицы А соответствует хотя бы один ссобственный вектор вида (хи...,х,0,...,0)г. 57.89. Указание. Показать, что найдется Л Е К, при котором матрицы А х 11 невырождены.
57.90. Указание. Рассмотреть матрицы В вида А — в1. 57.93. Ц 1 + ( — 1)"; 2) 0; 3) А/й при и = 4Ь + 1, ВА/й при и = 4й + 3; 4) Вт" '!!~В ~!А~и"1~. Указание. Использовать задачи 57.66 и 5767. 358 58.2. а) (2, Ц, (1,3); б) (-2,3), (1, Ц; в) (3,1,0), (О,О,Ц, ( — 1,3, Ц; г) (1, 1, Ц, (2, -1, 0), (1, О, Ц. 58.6. У к а з а н и е.
Воспользоваться тем, что каждое собственное надпространство одномерно. 58.7. Указание. Учесть, что если Р— диагональная матрица с различными диагональными элементами, то любую диагональную матрицу можно представить многочленом от Р. 58.10.
Указание. Рассмотреть операторы А и В, имеюпзие в неко- 1 11 (О 1 тором базисе е матрицы А, = [ 0 0 ], В, = [ 0 58.11. а,б) Нет. 58.12. Нет. 58.13. Ла. 58.14. Нет. 58.15. Нет. 58.16. Ла. 58.17. Ла. 58.18. Ла. 58.19. Нет. 58.20. Нет. 58.21. Ла. 58.22. Нет. 58.23. Ла.
58.24. Нет. 58.25. Ла. 58.26. Ла. 58.27. Нет. 58.28. Ла. 58.29. а) Нет; б) да. 58.30. а) Нет; 6) нет. 58.31. а) Ла, если о = ит, и Е Ж; б) да. 58.32. а) Нет; б) да. 58.33. а) Нет; б) да. 58.34. а) Нет; б) нет. 58.35. а) Нет; б) нет. 58.36. а) Нет; 6) да. 58.37. а) Нет; б) да. 58.38. а) Нет; б) да. 58.39. Ц Лс = -с, Лз = -Ь вЂ” с, Ль = к(lс — Ц вЂ” Ьй — с, й = З,и. 2) Прн всех Ь,с Е К. 58.40. [ О" 1 ], где г = [и/2). 58.41.
4!аб(1, в,..., в" '), где в = сов(2я/и) + се!п(2т/и). 58.42. 4!аб(х+ (и — Цу,х — у,...,х — у). 58.43. б!аб(0,...,0,и). 58.44. о5аб(сс — 1,и — 3,...,1 — и). Ответы и указания к 358 217 л 2х пл 58.45. ойвб 2сов —,2сов —,...,2сов— и+1' и+1' ' п+1) гг . 2л г 58.46. о5аб 2гсов —,2гсов —,...,2гсов— п+1 п+1 и+1) 58.47. а) б!а8(21, — 21,„) при п = 2пг, 41аб(21„г, 1, -21 г) при п = 2т — 1; б) матрица не диагонализуема; в) 41аб(г1, — г1 ) при и = 2т, Йаб(г1 м1,-г1 г) при п = 2т — 1. 58.48. Элементы аь и ао ьег должны либо оба быть отличными от нуля, либо оба обращаться в нуль (й = 1,п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
