Том 2 (1113040), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ютих собственным значениям Л!„..., Л,„из (71.1), !ло Л,„= ппп (Ах, х). 1*!!=!,»еь Л„= !пах (Ах, х), 1»1=!.»еь 3. Свойство мульиьииликаглививсгли: )(АВ))к < )!А!)к!)В))е лля всех линейных операторов А и В, для которых определено произведение АВ. 4. ))А(~зе = ггАА'. б ~(АЬ = Р! + + Р„, где р!,...,Р» — сингулярные числа оператора А.
6 ))А))к > )(А)(г. 7. ()А()к не изменяется при умножении оператора А на ортогональныв (унитарные) операторы. Определения согласованной и подчиненной норм непосредственно распространяются на пространства матриц, рассматриваемых как линейные операторы в арифметических пространствах. Если, в частности, в арифметических пространствах введены нормы () ))т то соответствующем подчкненная норма матрицы А = (аь.) размера и х и обозначается ))А)!р и нря этом в силу теорем 71.6, 71.7 и свойства 1 евклидовой нормы оператора: 171. Линейные операторы в нормированных пространствах189 Теорема 71.11 (теорема Куранта-Фишера).
Ялл собственных значений (71.1) самосопрлженного оператора А справедливо представление Лв = тах ш!и (Ах,х), Е*Е=!меев где максимум беретов по всевозможным 1-мерным подпространствам Ьв пространства У. ЗАДА 11И 71.1. Показать, что если М(А) — согласованная норма в пространстве Е(й, И'), то равенство зч'(А) = аМ(А) (а > 0) также будет нормой в этом пространстве, причем согласованной, если а > 1.
71.2. Показать, что для любой согласованной нормы М(А) в пространстве с.(Г, И") можно выбрать такую константу ао > О, для которой норма Х(А) = аоМ(А) не будет согласованной. 71.3. Показать, что если 8А(! — подчиненная норма в,С(1е, И'), то )17(А) = а8А9 — согласованная норма тогда и только тогда, когда а > 1. 71.4. Показать, что если норма М(А) в пространстве Е(1х, И') не является согласованной, то можно выбрать такую константу а > 1, для которой норма Х(А) = аМ(А) будет согласованной. 71.5. Пусть И ф И" и нормаМ(А) в пространстве Е(1е, И'") не является согласованной.
Показать, что можно изменить норму или в пространстве И, или в пространстве Их так, чтобы норма М(А) стала согласованной с новыми нормами пространств И и И'. 71.6. Показать, что для любой согласованной нормы зч'(А) в пространстве Е($', И) выполнено неравенство Х(Х) > 1. 71.7. Пусть уА)) — мультипликативная матричная норма в пространстве С""". Показать, что мультипликативными матричными нормами будут и следующие величины: а) М(А) = ауА)(, а > 1; б) л.(А) =!!А~В в) )ч'(А) = //Р 'АР)/, где Р— невырожденная матрица порядка п. 71.8. Показать, что если М(А) и Ь(А) — мультипликативные матричные нормы, то величина Ж(А) = гпах(М(А), Ь(А)) 190 Глава ХИП.
Линейные нормированные пространства также будет мультипликативной матричной нормой. 71.9. Доказать, что для любой подчиненной нормы в пространстве .С(Ъ; $') выполнено равенство йЩ = 1. Верно ли, что если согласованная норма И( ) удовлетворяет условию И(2') = 1, то она является подчиненной? 71.10. Пусть А = (а1,) Е С""" (и > 2). Показать, что функция, определенная равенством К(А) = ~ ~)а1 ~, 1э=1 является мультипликативной матричной нормой.
Показать, что норма К(А) не подчинена никакой векторной норме на С". 71.11. Пусть Е1, — матрица порядка п, у которой единственный ненулевой элемент стоит в позиции (1,у) и равен единице. Показать, что если матричная норма йАй для всех 1,~ удовлетворяет неравенству йЕ1,'й' < 1, то ()Ай < К(А), где К(А) — норма, определенная в предыдущей задаче. 71.12. Пусть А = (а1,) Е С""" (п > 2). Показать, что функция, определенная равенством М(А) = с п1ах 1а1,), 1<1,1«п является матричной нормой при любом с > О.
Показать, что; а) эта норма является мультипликативной тогда и только тогда, когда с > п; б) при с > 1 эта норма не подчинена никакой векторной норме; в) при с Е (О, 1) эта норма не согласована ни с одной векторной нормой в С". 71.13. Доказать, что если й 'й' — мультипликативная матричная норма в С""", то в арифметическом пространстве С" можно ввести норму, относительно которой матричная норма ~~ )! будет согласованной.
71.14. Как вычислить спектральную норму: а) диагональной матрицы; б) квазидиагональной матрицы? 71.15. Найти евклидову норму: а) единичной матрицы и-го порядка; б) унитарной матрицы порядка и. Каковы спектральные нормы этих матриц? 71.16. Найти евклидову норму самосопряженной матрицы А порядка и, зная ее собственные значения Л„..., Л„. 71.17. Локазать, что спектральная норма матрицы А равка ее евклидовой норме тогда и только тогда, когда А — матрица 'з71.
Линейные операторы в нормированных лространствах191 ранга 1. 71.18. Показать, что спектральная норма ненулевого оператора ортогонального проектирования Р, действующего в евклиловом (унитарном) пространстве 1', равна единице. 71.19. Доказать, что верно и обратное: если спектральная норма проектора 'Р равна единице, то Р— оператор ортогонального проектирования. 71.20. Доказать, что для любых унитарных матриц У и Ъ' выполнены соотношения ~~иАт ~~, = ~~А!1„~~итЬ = ~!А~~в. 71.21. Доказать неравенства: а) ((А((к < ~/и!(А)!г, б) !)АВ))н < ))А()г)(В))н~ в) ((АВ))н < )(А((к))В()г 71.22.
Доказать, что для любой матрицы А Е С""" выполнены неравенства: а) ()А))гг < ))А((,))А)( б) ))А)!, '< ))А((р((А))г, где р > 1 и р ' + д ' = 1. 71.23. Пусть матрица А имеет эрмитово разложение А = Нг + гНг. Доказать, что: а) ))Нг)Ь < )(А))„)(Нг))г < ((А((г; б) 11Н В+!!Н В =!!АВ. 71.24.
Доказать, что если А = Н, + гНг — эрмитово разложение матрицы А, то для любой эрмитовой матрицы Н выполнено неравенство ))А — Н$и > ((А — НЯн. Таким образом, матрица Н, из эрмитова разложения А является эрмитовой матрицей, ближайшей (в смысле евклидова расстояния) к матрице А. Аналогично, матрица гНг — ближайшая к А косоэрмитова матрица. Указать аналог этого свойства на комплексной плоскости.
71.25. Пусть А = Н11 — полярное разложение матрицы А. Показать, что для матриц Н, и Н, ее эрмитова разложения А = Н, + гНг выполнено соотношение 11НЮ =!1Н !~и+ 1~Нг1!й. Какому свойству комплексных чисел соответствует это равенство? 71.26. Доказать, что для всякой положительно определенной 192 Глава ХУ111. Пинейные нормированные пространства матрицы А ближайшей в смысле евклидова расстояния унитар. ной матрицей является единичная матрица 1, наиболее далекой — матрица — 1. Что изменится, если А — неотрицательная матрица? 71.27.
Пусть А = Н0 — полярное разложение матрицы А. Доказать, что для любой унитарной матрицы И справедливы неравенства !!А -(У!!в < !!А — 1'!!к < !!А+ (?!! . Указать соответствующее свойство комплексных чисел. 71.28. Пусть А — и х и-матрица с сингулярными числами Р,, Р„. Положим Я(А) =Р,+„,„Р Доказать, что Я(А) является мультипликативной матричной нормой. 71.29.
Доказать, что для любых неотрицательных матриц А и В и любых неотрицательных чисел а и Р норма, определенная в предыдущей задаче удовлетворяет равенству Я(аА + ~ЗВ) = аЯ(А) + РЯ(В). 71.30. Показать, что в определении подчиненной нормы !!А!! = р !!А*!! .Фв !!т!! знак точной верхней грани можно заменить на знак максимума. 71.31.
Пусть нормы !! !!р (1 < р < оо) в пространствах Е(Ъ; И') и Е(И~, И) подчинены векторным нормам !! ° !!р в пространстве И относительно заданного базиса е и в пространстве И относительно заданного базиса у. Доказать, что: а) !!А!!, = !!А'!!, !!А!! = !!А*!!,; б) !!А!!р = !!А'!!я при любом р > 1, где р '+ е ' = 1.
71.32. Пусть линейный функционал ~ в евклидовом (унитар. ном) пространстве )' действует по правилу: у(х) = (т, Л), где Л Е Ъ вЂ” заданный вектор. Доказать, что подчиненные нормы функционала Г вычисляются по формулам: а) !Я, = !!Л!!, !!у!! = !Щ; б) !!~!!р —— !!Л!!я при любом р > 1, где р з+ д ' = 1. 71.33. В пространстве многочленов М„нормы !!. !!р введевы относительно естественного базиса. Найти подчиненные нормы !!у !!„следующих линейных функционалов у в М„: ~71. Линейные операторы в нормированных пространствах193 а) 1(х) = х(0); б) 1(х) = х(1); в) 1(х) = х'(1); г~ гз г) ~(х) = / х(1)М; д) 1(х) =/ х(1)1й.
о о 71.34. Вычислить евклидовы нормы функционалов из предыдущей задачи, если известно, что скалярное произведение в М„задано стандартным образом. 71.35. Найти подчиненную нормы ()Др линейного функционала 1(А) = 1г А в пространстве матриц К""". 71.36. Найти следующие подчиненные нормы диагональной матРицы А = йа8(Л„...,Л„): а) ))А)(,; б) ))А((; в) ))А((я, 1 < р < со. 71.37. Доказать, что при п > 2 для всякой и х и-матрицы А = (ая,) справедливы: а) равенство щах )а~„! = щах ((Ах)! 1<Из< хФв !! х!!1 б) строгое неравенство ()Ах!), )ая,! > так из=! 71.38.
Нормы т( ) и п( ) линейного пространства Г таковы, что для любого вектора х: пз(х) = си(х), где с — фиксированное число. Показать, что соответствующие подчиненные нормы в Е(К, 1') совпадают. 71.39. Пусть М(А) — норма матриц, подчиненная вектор- ной норме т(х). Найти матричную норму, подчиненную норме п(х) = т(Рх), где Р— фиксированная невырожденная матрица. 71.40. Пусть А — матрица ранга 1, представленная в виде произведения А = хун, где х и у — п-мерные вектор-столбцы. Для любой нормы т(х) арифметического пространства и соот- ветствующей подчиненной нормы матриц М(А) доказать равен- ство М(А) = т(х)т*(у), где т'(у) — норма, двойственная к гп(х) относительно стандартного скалярного произведения.
71.41. Найти значение нормы ()А(( на матрице ранга 1 с известным представлением А = хун. 71.42. Оператор А действует в евклидовом (унитарном) пространстве $' по правилу Ах = (х,б)а, где а,б Е Ъ' — заданные 194 Глава ХУ111. Линейные нормированные пространства векторы. Доказать, что для любой нормы )! ~(~ в пространстве 1' подчиненная ей норма оператора А может быть найдена из соотношения ()А() = ((а))~ ((6(ф, где )) ))~, — норма, двойственная к норме )! ))~ относительно скалярного произведения в Ъ'. 71.43. Пусть Ь = Е(е) — подпространство евклидова (уни- тарного) пространства Ъ', натянутое на вектор е единичной дли- ны. Пусть оператор А Е Е($; Ъ') ранга 1 таков, что ЬпА = Ь. Доказать, что для любой нормы (( ))„в пространстве 1' подчинен- ная ей норма оператора А может быть найдена из соотношения !)А!)„= '9е9„'9Ае()„ где р '+ д ' = 1 при р > 1, д = со при р = 1 и д = 1 при р = со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
