Том 2 (1113040), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Решение. Решим задачу для удвоенной квадратичной формы и — 1 27' = ~~1 2Х«Х«иг. 1=1 Матрица этой квадратичной формы имеет трехдиагональный вид: О 1 О ... О О 1 О 1 ... О О О 1 О ... О О О О О ... О 1 О О О ... 1 О Известно, что при ортогональном преобразовании координат канонические коэффициенты определены однозначно и совпадают с собственными значениями матрицы А. Пля вычисления собственнык значений А необходимо найти корни следующего уравнения -Л 1 О ... О О 1 -Л 1 ... О О О 1 — Л ... О О О О О ... — Л 1 О О О ...
1 — Л Воспользуемся методом рекуррентных соотношений Я7) вычисления определителя трехдиагональной матрицы а+ г3 а)3 О 1 а+ г3 а«3 О 1 а+13 О О О О О О О О О ... а+!3 а13 О О О ... 1 а + ~3 при а+ 13 = — Л, а«3 = 1 и.1-1 13и«-1 Пи = а — !3 Из равенства Пи = О следует, что (а/г3)ит' = 1 или а 21гй ., 2лй — =соя — +!сйп —, й= 1,и г3 и+1 и+1 (й ~ О, так как а ~ )3). Отсюда с учетом соотношения ай = 1 получаем ггй ., ггй ей, лй «г = х(сое — + 1згп — ), «3 = х(соз — — ! з1п — ), й = 1, и.
и+1 г!+1 и+1 11+1 П р и м е р б9.1. Найти канонический вид, к которому приводится квадратичная форма 269. Формы в евкпиповом и унитарном пространствах 1б1 Знаки х для о и ~З надо брать одинаковыми, так как пЗ = 1. Следовательно, Л = — (а+ Ц) = ~2соя+, й = 1,п. Все зти числа являются юриями характеристического многочлена, но среди них есть совпадающие: -соз „вЂ” "ь, = сов 1-"-+-„~-ф-.
Поэтому все различные числа содержатся в системе ггй Ль = 2соз —, й = 1,п. и+1 Так как степень характеристического многочлена равна п, то найденная система содержит все корни характеристического многочлена, причем кратных корней нет. Эти корни вещественны и представляют собой полный спектр рассматриваемой симметрической матрицы А. Поэтому 21 = и Е г 2соз —.уь и и+1 э=1 ггй соз — у„.
° и -~- 1 Пример 69.2. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду (к главным осям) квадратичную форму ~ = хг + хг + хз + 4хгхг + 4хгхз + 4хгхз, г г и выписать этот канонический вид. Решение. Матрица квадратичной формы у равна А= 2 1 2 Известно, что при ортогональном преобразовании координат каноническими коэффициентами будут собственные значения матрицы А, а каноническим базисом — ортонормированный базис из ее собственных векторов. Найдем собственные значения матрицы А. Имеем 1 — Л 2 2 Рвычтем из 2-й) 1 — Л 2 2 2 1 — Л 2 = ~ иЗ-йстрок1-ю 1 = 1+Л вЂ” 1 — Л 0 2 2 1 — Л строку 1+ Л 0 -1 — Л 1 — Л 2 2 = (1+Л) 1 -1 0 =О.
1 0 -1 Следовательно, Лг = Лг = -1, Лз = сгА — Лг — Лг = 5. Найдем ортонормированный базис из собственных векторов матрицы А. Нля Л = — 1 линейно независимую систему собственных векторов образуют векторы /г = (-1, 1, О), гг = ( — 1,0, 1) . Процесс ортогоналнзации приводит систему /и уг к ортонормированной системе ег = — (-1,1,0), ег = — (-1,-1,2) ~/2 зГ6 1(ля Л = 5 линейно независимая система собственных векторов состоит иэ т т одного вектора 7з = (1,1,1) или, после нормирования, ез = — (1,1,1) ,Гз Глава ХУП. Билинейные и квадратичные формы 162 1 1 з/6 з/3 1 1 з/6 з/3 2 1 з/б з/3 и следовательно, формулы преобразования координат имеют вид 1 1 1 — — У1 — — Уз + — Уз, 1 1 1 з/2 з/6 з/3 — уз — — уз + — уз, з/2 з/6 1/3 2 1 — Уз + — Уз з/6 з/3 хг = Пример 69.3.
Проверить, что квадратичная форма д = хз1+ 4хзз+ Зхэ+ 2хз хз положительно определена, и найти канонический вид, к которому г приводится квадратичная ферма / = 8х, — 28хз + 14хз + 16х1хз + 14х1хз + з 32хзхз преобразованием координат, приводяшим квадратичную форму д к нормальному виду, не находя самого этого преобразования.
Решение. Квадратичные формы / и д имеют матрицы 8 8 7 1 О 1 А= 8 -28 16 и В= О 4 О Угловые миноры матрицы В положительны (з1з = 1, Ьз = 4, Ьз = 4) н согласно критерию Сильвестра квадратичная форма д положительно определена. Известно (задача 69.14), что если обшим преобразованием координат квадратичная форма / приводится к каноническому виду, а квадратичная форма д к нормальному виду, то канонические коэффициенты Лм, .., Л„ квадратичной формы / определены однозначно (с точностью до их порядка) и явлюотся корнями Л-уравнения пары форм ( и д: )А — ЛВ) = О.
Найдем эти корни. Имеем 8 7 — Л ( вычтем из 3-й стро- ) -28 — 14Л 16 = ~ ки удвоенную 1-ю ~ 16 14 — 2Л строку 8 — Л )А — ЛВ) = 8 7 — Л 8 — Л 8 Л вЂ” 9 8 7 — Л ~ 8 7 Л -28 — 14Л 16 = (Л вЂ” 9) ! 28 14Л О О = 4(Л вЂ” 9)(Л вЂ” 81) = О. Таким образом, каноническим видом квадратичной формы / в ортонормированном базисе ем ез, ез будет форма -уз — уз + Зуз, матрица преобразования координат ранна 369. Формы в евдлидовом и унитарном пространствах 163 Таким образом, Лг = Лг = 9, Лз = — 9 и каноническим видом квадратичной формы 1 будет форма 9угг + 9угг 9уз ° Пример 69.4.
Проверить, что в паре квадратичных форм / = — х', — 2хг г+ 2хгхг + 4хгхз — 16хгхз, д = х, + 2хг + 2бхз — 2хгхг + 8хгхз — 2хгхз г г г одна из форм положительно определена. Найти преобразование координат, приводящее эту форму к нормальному виду, а другую — к каноническому виду, и выписать этот канонический вид.
Решение. Квадратичные формы 1 и д имеют матрицы А= 1 — 2 — 8 и В= -1 2 -1 Квадратичная форма 1 не является положительно определенной, так как в матрице А угловой минор гЗ| = -1 < О. Угловые миноры матрицы В положительны (гЛ| = гзг = Ьз = 1) и согласно критерию Сильвестра квадратичная форма д положительно определена. Приведем квадратичную форму д к нормальному виду, пользуясь методом Лагранжа: д = (хг — хз+4хз) +хг-~-10хз+бхгхз = (хг — хг+4хз) +(хг+Зхз) +хз. Преобразование координат уг = хг — хг + 4хз, уг = хг + Зхз, уз = хз нли хг = У!+ Уз — 7УЗ, хг = Уг — ЗУЗ, хз = Уз, т.е.
в матричной записи хг =(гг Уг, где Яг = 0 1 — 3 пРиволит квалРатичнУю фоРмУ д к ноРмальномУ видУ Угг + Угг + Уг, ПРи етом матрица В квадратичной формы д преобразуется в матрицу Вг = 1 и выполнено соотношение 1 = Яг ВЯг. т Выясним, как выглядит квадратичная форма 1 в новых переменных Ум Уг, уз. Матрица А квадратичной формы 1 перейдет в новую матрицу Ам связанную с А соотношением Аг = Яг АЯг. Имеем т Аг = 1 1 0 1 -2 — 8 0 1 — 3 = 0 — 1 — 3 Таким образом, квадратичная форма 1 имеет вид ~г = -уг уг — 5уз + 12угуз — бугуз.
Приведем эту квадратичную форму к главным осям, т.е. найдем ортогональную матрицу Цг перехода к новым переменным так, чтобы новая матрица Аг = Яг АЩг квадратичной формы стала диагональной. Следует т Глава ХИ7. Билинейные и квадратичные формы 164 отметить, что при таком преобразовании квадратичная форма д в новых переменных будет снова иметь норма тьный вид. Пействительно, Вг = (зег Вг (~гг = Яз 17зег = Яг 9г = 1 в силу ортогональности матрицы Яг.
Найдем собственные значения матрицы Аг: -1 — Л 0 6 7 прибавим к 1-й 1 )Аг — Л1) = 0 — 1 — Л вЂ” 3 = ~ строке удвоенную ~ = 6 -3 -5 — Л 2-ю строку -1 — Л вЂ” 2 — 2Л 0 1 2 0 0 -1 — Л вЂ” 3 = (-1 — Л) 0 — 1 — Л вЂ” 3 6 -3 — 5 — Л 0 -15 — 5 — Л = (-1 — Л) (Л + 10) (Л вЂ” 4) . Итак, числа Лг = 4, Лз = -1, Лз = — 10 образуют спектр матрицы Аь Все собственные значеник просты, поэтому каждому из них отвечает ровно один линейно независимый собственный вектор. Плк Лг = 4 — это вектор Б = (6, — 3, 5)г, длн Лз = — 1 — это вектор /з = (1, 2, 0)г, для Лз = — 10 — это вектор Уз = (-2, 1,3)т.
После нормирования получим ортонормированный базис из собственных векторов матрицы Аг: ег = (6, -3,5), ез = — (1,2, 0), ез = (-2, 1,3) з/70 з/5 з/Г4 Отсюда следует, что новые переменные хм гг, хз должны быть введены по формулам уз = Яг зг или хз = Цг уг где матрица Яг имеет вид Итак, Я( АОг = Ам ЩАгЯг = Л, где Л = 61аб(4, -1, -10). Следовательно, (ЯгЯг) А(ЩЯг) = Л и искомое преобразование координат определяется матрицей хг = хг = , т.е.
хз = 32 ь/700 18 з/700 5 з/700 б /70 3 ъ/700 5 ,/70 3 22 у'5 з/Г4 2 8 чг5 з/Г4 3 з/Г4 1 2 з/5 з/Г4 2 1 з/5 з/Г4 3 з/Г4 32 — — гг з/700 18 — — хг з/700 5 х! + з/700 3 + — гг— з/5 2 + — гз— з/5 3 — зз. Д4 22 — гз, з/Г4 8 з/Г4 Збй. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 1бб Квадратичные формы 7' и д относительно переменных «м «г,«з будут иметь следующий вид г = 4«з — «з — 10«з~ д = «г + «з + «з ° Пример 69.5. Показать, что квадратичные формы г = х, — 15хг + 4хзхг — 2«зхз+ бхгхз, г д = хг -1- 17«г г+ Зхгз + 4«зхг — 2«зхз — 14«гхз приводятся к каноническим видам одним преобразованием координат. Найти; а) эти канонические виды; б) соответствующее преобразование координат.
Решение. Квадратичные формы 7' и д имеют матрицы 1 2 — 1 1 2 -1 А= 2 -15 3 и В= 2 17 -7 1 — Л 2 — 2Л вЂ” 1+Л -1 -2 1 )А-ЛВ)= 2 — 2Л -15 — 17Л 3+ 7Л =(Л-1) 2 — 2Л -15 — 1ТЛ 3+ 7Л -1+Л 3+7Л -ЗЛ -1+Л 3+7Л вЂ” ЗЛ вЂ” 1 0 0 = (Л вЂ” 1) 2 — 2Л вЂ” 19 — 13Л 5+ 5Л = (Л вЂ” 1)(Л + Л вЂ” 6) = О. — 1+ Л 5+ 5Л -1 — 2Л Следовательно, Лг = 1, Лг = 2, Лз = -3 и каноническим видом квадратичной формы Т' будет форма У = у,'+ 2у,' — Зу,'. (69.1) б) Лля того, чтобы найти преобразование координат, приводящее форму д к нормальному виду, а форму у — к каноническому виду (69.1), применим метод Лагранжа к квадратичной форме д: д = (хг -Ь 2«г — хз) + 13хг + 2хз — 10хгхз = г = (хз + 2«г — хз) + (2хг — хз) + (Зхг — хз)г.
Преобразование координат (легко проверить его невырожденность) < «з = хз + 2хг — хз, «г = 2хг — хз, «3 = Зхг — хз ( хз=«з — «з, или ~ хг = — «г+«з, хз = -З«г + 2«з приводит квадратичную форму д к нормальному виду: г, + «г + «з. Квадратичная форма 7 не является положительно определенной, так как в матрице А угловой минор гЛг < О. Угловые миноры матрицы В положительны (газ = 1, г5« = 13, г5« = 1) и согласно критерию Сильвестра квадратичная форма д положительно определена. Следовательно, применим алгоритм, описанный в примере 69.4, и существует преобразование коордиват, приводящее форму д к нормальному вилу д = уз~ + угг + уз а форму 1 к каноническому виду г = Лзуз + Лгуг + Лзуз г г г а) Канонические козэфициенты ЛыЛ«, Лз квадратичной формы у являются корнями Л-уравнения пары форм 7 и д (см.
пример 69.3): Глава Х'эгП. Билинейные и квадратичные формы 168 26 -16 16 1 АВ=ВА= -16 5 — 5 ~, 16 — 5 5 поэтому построим ортонормированный базис, состожций из собственных векторов, общих для матриц А и В. Найдем спектр матрицы А: 2 — Л 0 0 !А — Л1/= 0 1 — Л -1 =( — Л)(2 — Л) =О=э 0 — 1 1 — Л л,=о,л,=л,=г и спектр матрицы В: 13-д -8 8 ( — ру) = — 8 1 — и -4 8 -4 1 — р 1З вЂ” д -8 -8 1-д о -з-и 8 -4 -з-р 13 — д -16 = (-3 — д) — 8 5 — д 0 0 8 — 4 = (-3 — р) (21 — д) = 0 ~ 1 рз = рз = -3, дз = 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
