Том 2 (1113040), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Показать, что метрика р(х,у), введенная в предыдущей задаче, обладает следующими свойствами: а) р(х + я, у + я) = р(х, у) )ух, у, я Е у'; б) р(ах,ау) = )а)р(х, у) ях, у Е Ъ', )Уа Е )к(С). 70.24. Доказать, что если метрика р(х, у) в линейном пространстве Ъ' обладает свойствами "а)" и "б)" предыдущей задачи, то она порождается некоторой нормой по формуле (70.4), и эта норма единственна. 70.25. Пусть т(х) — норма в евклидовом (унитарном) пространстве )'.
Для любого у Е 'г' положим .( ) Их у)! *~в т(х) Показать, что эта величина всегда конечна и удовлетворяет всем аксиомам нормы. Полученная таким образом норма т" (у) называется двойственной н норме т(х) относительно скалярного произведения (х, у) в пространстве Г. 70.26. Показать, что определение двойственной нормы эквивалентно любому из следующих определений: а) т'(у) = эпр )(х,у)); б) т'(у) = шах 3(х,у)3 пъ(~) =1 *~в т(х) ' Ве(х, у) г) т'(у) = шах *~в т(х) З 70.
Норма вектора 185 любых двух векторов х и у справедливо неравенство Их уН < ° (х) *Ь). Показать, что для любого у Е 'р' найдется вектор хо Е И такой, что ~(х. у)~ = (хв)т'Ь). 70.28. Найти двойственную норму для евклидовой нормы вектора. 70.29. В арифметическом пространстве С" со стандартным скалярным произведением найти двойственную норму: а) к норме )) )); б) к норме (! ((и 70.30. Локазать, что в арифметическом пространстве С" со стандартным скалярным произведением двойственной к норме (( 'Ор, Р > 1, ЯвлЯетсЯ ноРма )! !)р, где Р ' + д ' = 1. Что представляет собой для этой пары норм неравенство из задачи 70.27? 70.31.
В арифметическом пространстве С" со стандартным скалярным произведением найти двойственную норму к норме, определенной равенством !Ф! =Р4 где р > 1, а  — некоторый невырожденный оператор, действующий в пространстве С". 70.32. В арифметическом пространстве С" введено скалярное произведение, выражающееся через стандартное скалярное произведение по формуле (х, у)д = (Ах, у), где А — заданный положительно определенный оператор. Найти двойственную норму к норме: а) )(х0р, Р > 1, б) 0х!) = !)Вх0р, где р > 1, а  — некоторый невырожденный оператор, действующий в пространстве С".
70.33. Известно, что для норм т(х) и п(х) евклидова (унитарного) пространства И при любом векторе х выполняется неравенство т(х) > п(х). Показать, что для двойственных норм т'(у) и п*(у) имеет место обратное соотношение: т'(у) < п'(у) для любого вектора у. 70.34. Показать, что норма т'"(х), двойственная к двойственной норме т'(у), совпадает с исходной нормой т(х). 188 Глава ХК111.
Линейные нормированные пространства 871. Линейные операторы в нормированных пространствах. Нормы операторов и матриц Пусть И и Иг — линейные нормированные пространства (оба вещестненные или оба комплексные) с нормами (! . !(и и (! . ((ю соответственно.
Прш странство линейных операторов С(У, И'), будучи само вещественным или комплексным линейным пространством, может быть наделено своей нормой. Норма )з'( ) в пространстве Е(Ъ; Ие) называется согласованной с векторными нормами !(. (!и, ((. ((и пространств и и Ие, если для любого оператора А й Е(К Ис) (!Ах((и < )з'(А)(!х((и, зх й К Линейный оператор А Е Ю(У,уу) называется непрерывнмм на векторе хо Е 1', если для любой последовательности (х~ ~), сходюпейся к вектору хвн по норме (! !(и, последовательность (Ахи~) сходится к вектору Ахш~ по норме !! ° (!ю. Линейный оператор А б Е(я', Ис) называется непрермвным нв множестве М, если он непрерывен на любом векторе хш~ й М. Оператор А й С(К Иг), непрерывный на всех векторах пространства И, называется непрерывнььм. Теорема 71.1.
Линейный оператор, действуютий в конечномерных нормированиьчх пространстпвах, непрерывен. Линейный оператор А Е С(К И') называется ограниченным, если единичную сферу в И он переводит в ограниченное по норме пространства И' множество. Теорема 71.2. В конечномерных нормированных пространствах И и Иг любой линейный оператор А Е С(К И') ограничен.
Тем самым, отношение ((Ах(!и /((х((~ при всех х р'. У ограничено сверху, и для любой пары нормированных пространств И и Ис в С(г', И') можно ввести согласованную норму. В дальнейшем в пространстве линейных операторов С(К Ис) будут рассматриваться только согласованные нормы.
Теорема 71.3. Пусть И, Ис — конечномерные пространства и А й Е(1г, И'). Отображение, заданное соотношением р(А) = зир (! 4 ((н ((х(!и является нормой в пространстве Е(у, уу). Норма р(А) называется нормой оператора А, подчииеннои (порожденной) векторным нормам пространств И и Иг. Обозначение: ((А!!.
Итак, ((А(! = зир в зир !(Ах(!и . !(Ах((и е ! ! ! ! ~ П И 1. Подчиненная норма обладает свойством согласованности: !(Ах((н < ((А(! (!х((и, Чх Е И. 2. Подчиненная норма — наименьшая из всех согласованных норм. 3. Подчиненная норма обладает свойством мультипликативности, т.е. ((АВ(! < (!.4(! ((В(! для всех операторов А и В, для которых определено произведение АВ. ~)71. Линейные операторы в нормированных пространствах187 Пусть И, УУ вЂ” евкпидовы (унитарные) пространства. Норма линейного оператора А б ь(У; Иг), порожденная евкпидовыми нормами вектора, называется спектральной нормой. Обозначение: ((А((з.
Итак, (!А(! = я р ((А ((в= в р 1/(А,Ах). !! ь !! в = ! (ьл)=! Теорема 71.4. Спектральное норма оператора ровна макси- мальному сингулярному числу этого опера!пора, т.е. ((А((э = 1/р(А А), где р(А'А) — спектральный радиус оператора А'А. Следствие. Спектральное норма нормального оператора равна абсолютному значению максимального по модулю собственного значения этого оператора.
Теорема 71.б. Сингулярные числа линейного оператора в евкли- довом (унитарном) пространстве не изменяются при умножении опера- тора на орп!огональный (унитарный) оператор. Следствие . Спектральная норма линейного оператора не изме- няется при умножении опера!пора на оргпогональный (унитарный) опера- тор. Пусть е = (е!,...,е„) и ( = ((з,...,(ю) — базисы пространств И и Иг к пусть в пространствах И и Иг введены векторные нормы !! ((р, где р > 1 еян р = оо, одинакового типа.
Обозначим через (!А!(р норму оператора А б Е(КИ'), подчиненную векторным нормам (! ((р, через А = (аь )— матрицу оператора А в базисах е и У. Теорема 71.6. Юля любого опера!пора А й ь(К И') ((А((! = тах ~ (а!, !. !<з<ПЬ ! Теорема 71.7. л(ля любого оператора А б ь(КИг) ()А(!... = и!ах ~ (ау,з!.
Векторные нормы (! ((з пространств И и Иг порождают спектральную корму оператора ((А((э, так как векторная норма (Н(з совпадает с евклидовой нормой (! ((я, если в пространствах И и И' ввести скалярные произведения так, чтобы базисы е и ( стали ортонормированными. Евклидова норма оператора А б Е(г; И'), т.е. число ((А(!я =,Г!.(А А), обладает многими свойствами подчиненных норм. 1.
Если А с, = (аьз) — матрица оператора А в паре ортонормированных базисов е и у пространств И и Иг соответственно, то !уз (!А((в = ~ ~~~! (аю(з ь=! !'=! 2. Свойсгпво согласованности: ()Ах((а < ((А(!в((х((я для всех х б 'ье. 188 Глава ХУ1П. Линейные нормированные пространства м / » ! ! нз )!А!(! = швх ~~ )аьз(, ()А()е = ~~! ~ !аь!) !<!< ь=! ь=! з=! ))А(),» = !пах ~~! (аю). !<Ь<м г=! В большинстве задач этого параграфа участвуют матричные нормы, обладающие свойством мультипликативности.
Как следует из задачи 71.13, такие нормы согласованы хотя бы с одной из векторных норм в пространствах )(4 или !ь,' соответственно. Теорем а 71.8. Собствекное значение линейного оператора А й С()г,)г) не превосходит по абсолютной величине любую гго свгласвванную норму. Пусть А — самосопрюкенный оператор в евклидовом (унитарном) пространстве )г и с!,..., е„— ортонормированный базис из собственных векторов оператора А, отвечающих собственным значениям Л > Л » ... Л„. (71.1) Под нормой (( () будем понимать евклидову норму )) (!е, так что если х = ~ „", хьеь, то ()х() = Л/(х, х) = д,"», (хь)з) Теорема 71.9. Яля самвсоиряжсиногв оператора А Л! = шах(Ах,х), Л„= пип (Ах,х).
1*1=! !!*!!=! Эта теорема описывает экстремальные свойства и квадратичной формы в евклидовом (унитарном) пространстве: иа единичной сфере квадратичная форма А(х,х) принимает экстремальные значение ка тех век!евры, кои!орые явлвются собственными векторами соответствующего само. сопряженного оператора 74 (теорема 69.1). Теорема 71.10. Если Ь вЂ” линейная оболочка собственных век!норов е!!,...,е!ь /ь! « ... зь) самосоиряжеииогв опера!лора А, отвечв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
