Том 2 (1113040), страница 35
Текст из файла (страница 35)
71.44. Пусть и( ) и пз( ) — две заданные нормы в простран- стве С", а с, и сз — пара положительных констант, наилучших в соотношении их эквивалентности: с~в(я) < т(я) < сзп(я), Чя Е С". Обозначим через М( ) и М( ) матричные нормы в С""", подчи- ненные нормам и( ) и т( ) соответственно.
Доказать, что вы- полнено соотношение — М(А) < М(А) < — М(А), ЧА е С""", сг с, с, сг причем константы — и — являются наилучшими. сз с, 71.45. Пусть и( ) и т( ) — две заданные нормы в пространстве С", а Ю( ) и М( ) — соответствующие им подчиненные матричные нормы на С""". Доказать, что равенство М(А) = М(А) выполнено для всех матриц А Е С" »" тогда и только тогда, когда существует константа с ) 0 такая, что п(я) = сгп(я), Чя Е С". 71.46.
Доказать, что в обозначениях предыдущей задачи не. равенство М(А) < М(А) для подчиненных матричных норм выполнено сразу для всех матриц А Е С""" в том и только том случае, когда Ю(А) = М(А), ЧА е С""". З71. Линейные операторы в нормированных пространствах195 71.47. Пусть ~~А(! — подчиненная матричная норма.
Доказать, что для нее справедливо представление ))АВ9 ~~ ~~~ = щвф ~~В!~ . 71.48. Доказать, что представление из предыдущей задачи остается в силе и в том случае, если максимум в правой части берется не по всем ненулевым матрицам В, а только по матрицам В ранга 1. 71.49. Доказать, что для подчиненной матричной нормы ~~А)~ справедливо представление ! Фг(АВ)( ()А(( = тах 71.50.
Пусть т(т) и т'(и) — двойственные нормы арифметического пространства, М(А) и М*(А) — подчиненные им нормы матриц. Доказать, что для всякой матрицы А ЩА) = М'(Ан) 71.51. Доказать, что, какова бы ни была квадратная матрица А порядка и, любая ее матричная норма 9А(~ связана со спектральным радиусом р(А) = щах (Л„( матрицы А (здесь Л„... Л„ — собственные значения матрицы А) неравенством р(А) < ))А().
71.52. Показать, что для любой матричной нормы !)А(! диагональной матрицы А = йаб(Л„..., Л„) имеет место неравенство )(А(! > пзах )Лх). 1<ь(п 71.53. Показать, что если матрица А нормальна, то р(А) = )(А))в. 71.54. Привести пример матрицы А, удовлетворяющей строгому неравенству р(А) < 9 А 9 для каждой матричной нормы (! !). Т1.55. Указать круг на комплексной плоскости, который содержит все собственные значения матрицы — 1 0 1+2з 0 2 1+1 1+ 2з 1+1 0 196 Глава ХЪ'1И.
Линейные нормированные пространства 71.56. Доказать, что все собственные значения матрицы 1 — 2 3 4 2 1 — 1 0 1 — 2 0 1 1 1 2 — 1 лежат в круге комплексной плоскости < 6. 71 57 Доказать, что наибольшее и наименьшее собственные значения Л, и Л4 симметрической матрицы 6 2 — 3 0 2 9 5 1 — 3 5 13 — 2 0 1 — 2 20 удовлетворяют неравенствам 20<Лз <23, 0<Л» <6. 71.58.
Доказать, что все собственные значения стохастической матрицы по модулю не превосходят единицы. 71.59. Доказать, что собственные значения трехдиагональной матрицы а, 6з 0 ... 0 0 сз аз Ьз . 0 0 0 сз аз 0 0 0 0 0 ... а„з 6„ 0 0 0 ... с„а„ овлетворяют неравенству уд )Л) < шах((аз( + (Ьз+~) + сз), сз — — 6„+з — — О. 71.60. Пусть А Е С""" и задано число е > О. Доказать, что существует по крайней мере одна матричная норма ~( ~), длз которой имеют место оценки р(А) < 9А(( < р(А) + е. Иными словами, р(А) = 1пЕ)(А((, где точная нижняя грань берется по всевозможным матричным нормам в С" ".
71.61. Показать, что р(А) = шз !)Т 'АТ9з, где точная нижняя грань берется по всевозможным невырождевным матрицам Т. 171. Линейные операторы в нормированных пространствах197 71.62. Показать, что при и > 2 спектральный радиус р(А) не является матричной нормой в С""", поскольку: а)ЭА~О: р(А)=0; б) ЭА, В Е С""": р(А + В) > р(А) + р(В); в) ЭА, В Е С""": р(АВ) > р(А)р(В) > О. Привести соответствующие примеры матриц А и В. 71.63. Показать, что последовательность А(") = (а~(,)) ма- триц одинакового размера сходится по какой-либо норме к ма- трице А = (ап) тогда и только тогда, когда а,," -+ ап для всех (я) 1,~. 71.64.
Показать, что пределом последовательности нормаль- ных матриц может быть только нормальная матрица. Анало- гично, последовательность унитарных матриц может сходит- ся только к унитарной матрице, последовательность эрмитовых матриц — к эрмитовой матрице. Верно ли, что последователь- ность положительно определенных матриц может сходится толь- ко к положительно определенной матрице? 71.65. Пусть задана матрица А Е С""". Если существует мультипликативная матричная норма[[ [[, для которой [[А[[ ( 1, то 1пп А" = О, т.е. все элементы матрицы АЯ стремятся к нулю при Й вЂ” ) оо. I 71.66.
Матрицы А, для которых !пп А" = О, называют схо- дна(имися. Локазать, что матрица А сходящаяся тогда и только тогда, когда ее спектральный радиус р(А) меньше единицы. 1/2 1 71.67. Лля матрицы А = показать, что р(АЯ) = [р(А)]'. Что происходит с элементами матрицы Аь и величинами [[А" [[ы [[А'[[ ,[[А"[[, при /с †) оо ? 71.68. Пусть А — сходящаяся матрица и последовательность векторов и(") задана рекуррентным соотношением т(вы) = Ат("), и = 0,1,....
Показать, что эта последовательность сходится к нулевому вектору независимо от выбора начального приближе- ния и('), 71.69. Пусть [[ [[ — мультипликативная матричная норма в С""". Локазать, что для любой матрицы А 6 С""" выполнено соотношение р(А) = 1пп [[А'[['7". 198 Глава ХУИ1. Линейные нормированные пространства г(А) = ~ аяА" яьв (71.2) корректно определена для всех матриц А Е С""", таких, что ))А~! < В.
В более общей формулировке: показать, что равенство 71.70. Пусть 9 (! — мультипликативная матричная норма в С""". Показать, что наряду с неравенством р(А) < 9А9 выпол- нены неравенства р(А) < 9Ая9'~", и = 2, 3,... Вывести отсюда и из предыдущей задачи, что р(А) = 1п1 ((А" 9'~", 71.71. Доказать, что мультипликативная матричная норма ~~А9 матрицы А совпадает с ее спектральным радиусом: '9А)! = Р(А) тогда и только тогда, когда для всех Й Е И выполнено равенство '9Аь!) = ()А9". 71.72. Пусть (Аре) С С""" — заданная последовательность матриц. Показать, что ряд 2 А~"> сходится к некоторой матрвяьв це в пространстве С""", если найдется такая матричная норма ~) )) на С"'", что числовой ряд 2, ''8А<"~)! сходится.
к=в 71.73. Показать, что степенной ряд 2 а~Аь, где А Е С""", яьо сходится, если существует такая мультипликативная матричная норма 9 . ~~ на С""", что числовой ряд 2 )а~(((А~)" сходится или яьв хотя бы его частичные суммы образуют ограниченную последо. вательность. 71.74. Является ли сходимость числового ряда 2 ~ая~()А~)" г=в необходимым условием сходимости степенного ряда ~', а~А"? ь=в 71.75. Пусть функция Дя) определена степенным рядом У(з) = 2 ояв" с РадиУсом сходимости В ) О, и пУсть ~~ яья мультипликативная матричная норма на С""". Показать, что матричная функция 171. Линейные операторы в нормированных пространствах199 (71.2) корректно определяет матричную функцию ДА) для всех тех матриц А Е С""", у которых спектральный радиус р(А) удовлетворяет условию р(А) < В. 71.76. Доказать, что если матрица А диагонализуема и, А = Я 'ЛЯ, Л = йа8(Л„..., Л„), то выполнено равенство ДА) = Я 'ДЛ)Я, причем 7(Л) = йа8(7(Л,),..., ДЛ„)).
71.77. Показать,что матричная экспонента, задаваемая степенным рядом ~о ехрА = ~ ~— А", к! ь=о корректно определена для каждой матрицы А Е С""". 71.78. Показать, что для любых перестановочных матриц А и В выполнено равенство: ехр(А+ В) = ехр(А) ехр(В).
71.79. Показать, что если В = Я 'АЯ, то выполнено соотношение ехр(В) = Я ' ехр(А)Я. Вывести из этого соотношения, что матрица ехр(А) всегда невырождена и выполнено равенство с1ео[ехр(А)1 = ехр(сг А). 71.80. Доказать, что для любой унитарной матрицы У существует такая эрмитова матрица Н, что У = ехр(1Н). 71.81. Выяснить, как можно было бы определить функции соз(А) и сйп(А) и для каких матриц А это возможно. 71.82. Показать, что для любой матрицы А Е С""" выполнено равенство соз(А) + 1з1п(А) = ехр(1А).
71.83. С помощью равенства предыдущей задачи показать, что (соэ(А))' + (зш(А)1' = 1. 71.84. Показать, что матрица А Е С""" обратима, если существует такая мультипликативнэя матричная норма ~~ !), что ~)1 — А9 < 1. Показать, что в этом случае выполнено равенство А ' = з (1 — А)". 71.85. Доказать, что если (( )! — мультипликативная матричная норма и ((А~) < 1, то матрица 1 — А обратима и (1 — А) ' = ,'1 А'. яав 71.86. Пользуясь результатом предыдущей задачи, вычислить матрицу, обратную к матрице В, если: — 1 2 3 0 1 2 0 0 — 1 ,) в = ~ ;б)В= 71.87.
Пусть )) )! — мультипликативная матричная норма в С""" и матрица А Е С™п такова, что для нее существует матрица В Е С""" такая, что ))ВА — 1(( < 1. Показать, что обе матрицы А и В обратимы. 71.88. Пусть мультипликативная матричная норма )! !) обладает свойством: ~~1(~ = 1. Доказать, что для матрицы А Е С""", такой, что !)А(! < 1, справедливы неравенства 1+ ()А(! 1 — ))А() 71.89. Доказать, что если )! )! — мультипликативная матричная норма и матрица А Е С""", такова, что ЦА() < 1, та справедливы неравенства (Щ, Я вЂ” Ц1)) — 1ЦА)! Я + ))А)( 1 — ))А(( 71.90. Пусть А,В Е С""", причем матрица А обратима, а матрица А + В вырождена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
