Том 2 (1113040), страница 37
Текст из файла (страница 37)
72.16. Пусть А„Аг — матрицы размеров т, х и и тг х и, а 6г, 6г — вектор-столбцы высот т, и тг соответственно. Показать, что система уравнений А,х = 6„Агх = 6г имеет решение при любых правых частях тогда и только тогда, когда равенство Агу = Атг возможно лишь для нулевых вектор- столбцов у и г высот тг и тг соответственно. Т2.17.
Лля уравнения [х, а] = Ь в геометрическом пространстве гг найти условия: а) его разрешимости при любой правой части Ь; б) его разрешимости для данной правой части Ь. 72.18. Найти условия разрешимости системы уравнений [х, а,] = Ь„[х, аг] = Ь,. 72.19. Пусть д — ортогональная проекция вектора и на образ пи А оператора А. Показать, что всякое псевдорешение уравнения Аг = и есть прообраз вектора д.
72.20. Показать, что множество всех псевдорешений уравнения Аг = и есть многообразие, направляющее надпространство З 72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 209 которого — ядро кег А. Это многообразие является подпространством тогда и только тогда, когда и принадлежит ядру кег А' сопряженного оператора А'. Т2.21. Показать, что нормальное псевдорешение уравнения Аг = и можно определить как псевдорешение этого уравнения, ортогональное к ядру оператора А, или, что все равно, как псевдорешение, принадлежащее образу сопряженного оператора А'.
Т2.22. Пусть Ю вЂ” оператор дифференцирования в пространстве многочленов М„со стандартным скалярным произведением, д(1) — заданный многочлен из М„. Найти все псевдорешения и нормальное псевдорешение уравнения Р7' = д. 72.23. Как связаны между собой псевдорешения и нормальные псевдорешения уравнения Аг = и и уравнений: а) оАг = и; б) Аг = сги; в) сгАг = сги, где а — число, отличное от нуля? 72.24. Как связаны между собой нормальные псевдорешения уравнения Аг = и и уравнений: а) УАг = 1ги; б) Айг = и? Здесь У и У вЂ” унитарные операторы. 72.25. Пусть А — нормальный оператор и пусть известен ортонормированный базис е„..., е„, составленный из собственных векторов этого оператора.
Как найти псевдорешение и нормальное псевдорешение уравнения Аг = и? 72.26. Пусть А — оператор ранга г, действующий из пмерного пространства Ъ' в т-мерное пространство И~. Известен ортонормированный базис е„..., е„из собственных векторов оператора А'А и соответствующие собственные значения рг,...,рг (р, > О, г = 1,г). Доказать, что: а) псевдорешения уравнения Аг = и описываются формулой г' = Яе, +... + /З„е„+ у„.~,е„~, +...
+?„е„, где (и, Ае;) (А*и, е;) г а?„+„...,?„— произвольные числа; б) нормальное псевдорешение есть вектор г~ = Ае, + ... + Р„е„. 72.27. Для оператора А предыдущей задачи известен ортонормированный базис ~„..., 7" из собственных векторов оператора АА' (при этом р, > О, г = 1, г). Доказать, что нормальное 210 Глава ХЗЛ11. Линейные нормированные пространства псевдорешение уравнения Ая = и можно найти по формуле го = 6.4'»1+" + 6-4*». где (;=, 2=1,т. (44, »1) Рг Найти нормальные псевдорешения следующих систем линейных уравнений, считая, что скалярные произведения в соответствующих арифметических пространствах введены стандарт- ным образом 27Х, — 55х, = 1, 9Х1 + 7хг + 4бхз = О, ( 51хз — 17хг + 73хз = О. -14 28 = 1. — Х, + Хг = х1+ хг — — 2, 72.31.
х, — хг = О, 2х1+ хг = 2. Х1 + Х2 + Хз + Х4 72.30. Х1+хг+хз+х4 Х1 + Х2 + Хз + Х4 =2, =3, = 4. -х1 — 2хг = 1, 2х, +4хг —— О, 2хз — хг = 1, — х, + х, + хз — — О, хг+ 2хз = 1. 72.32. 72. 33. х, +2хг =О, Зх,+бхг =0 2х1 — хг — — 1, 72.34. -Х1+ (1+ е)хг+ хз = О, (е Ф 0), хг+ 2хз = 1. 2х1 — хг = 1, 72.35. — х1+ хг+ хз = О, 72.36.
хг+(2+е)хз =1, (еФО). 2х1 — Зхг = -1, — х, +хг =О, х1+х2 1. 72.39. Найти нормальное псевдорешение в пространстве М, со стандартным скалярным произведением уравнения: а)»(з — 1)+»(1 — 1) =1; б) Я вЂ” 1) — У(1 — 1) =1. 72.40. Доказать, что для любой квадратной матрицы А порядка гз нормальным псевдорешением уравнения АХ вЂ” ХА = 1 2Х1 — Зхг = -1, 72.37, х1 — 2хг — — — 1, 72.38. Х1+ хз = 1. 5Х1 — Зх4 = 2, 4хг + 2хз + 2хз — — 3, 2хг + 2хз = О, — Зхз+ Х4 = — 2, 2хг + 2хз — — 3. з 72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешення 211 в пространстве С""" со стандартным скалярным произведением является нулевая матрица.
72.41. Найти функцию 7, наименее уклоняющуюся от заданных точек Мо г = 1,/с, в смысле среднего квадратического уклонения, если: а) у = Дх) — линейная функция: Дх) = азх + а, и точки заданы координатами: М~(1,1), Мз(0,2), Мз(2,0), Мя(0,1), М,(О, — 1); б) у = Дх) — квадратичная функция: 7"(х) = азх~ + азх + а, и точки заданы координатами: М,(0,0), М,( — 1,0), Мз(1,2), М,(2, 1); в) у = 1'(х) — квадратичная функция: 1(х) = х + азх+ а, и точки заданы координатами: Мз(0, 1), Мя(1, 1), Мз(2, 1); г) Я = Дх, У) — линейнаЯ фУнкциЯ: 7"(х, Р) = а,х + азу + а, и точки заданы координатами: М~(1,1,1), Мз(1,2,2), Мз(2,1,0), Мя(0, 1, 1); д) я = Дх, у) — линейная функция: Дх, у) = а,х + а,у + аз и точки заданы координатами: М, (О, О, 0), Мз (1, 1, 1), Мз (1, О, 1), Мя(0,1,1), М,(1,1,0).
Каково будет наименьшее среднее квадратическое отклонение в каждом из этих случаев? Ответы и указания 257 57.1. Оператор имеет одно собственное значение: а) Л = О; б) Л = 1; в) Л = а, если скалярный оператор равен аХ. Собственными векторами являются все ненулевые векторы. ( А В 57.2. [ С С ], где А — диагональная матрица. 57.4. и — г.
57.6. Оператор А — ЛеХ имеет собственные значения Л» — Ле, где ˻— собственные значения оператора А. 57.7. а) Лз; б) Л»; в) ~(Л). 57.8. Нет. 57.9. У к а з а и и е. Рассмотреть характеристический многочлен оператора Дз ~22 57.11. Ла. 57.14. Оператор А ' имеет собственные значения Л„', где Л» — собственные значения оператора А. 5Т.16. На. 57.17. Если Л вЂ” собственное значение матрицы А, то Не Л и 1ш Л суть собственные значения вещественной и мнимой частей матрицы А соответственно. 57.18.
Если х — собственный вектор матрицы В = Я 'АЯ, то у = Яхсобственный вектор матрицы А. 57.19. а) Нет; б) нет; в) нет. Указание. Сравнить следы, ранга, определители данных матриц. 5Т.20. а) А; б) А; в) А подобна Рз, В подобна Р». 57.21. Уз(-1). 57.22. С. 57.23. Нет. 57.25. а) у(Л) = Л вЂ” 2Лсоз»з+ 1; при»з = О: собственное значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор; при»з = ю собственное значение — 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор; при остальных»з собственных значений иет; б) 1(Л) = (-Л)(Л вЂ” 2Лсоз»»+1); при любом и есть собственное значение О и собственные векторы иа, а ф О; кроме того, при»е = О: собственное значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор, ортегональный а; при »з = х: собственное значение -1, собственным векторам является любой ненулевой вектор, ортогональный а; в) /(Л) = — Л вЂ” ) а)~Л»; собственное значение О, соответствующие собственные векторы па, о ф О; г) У(Л) = (1 — Л)»(-Л)" », где й = бйпй|, и = сйп»)г; собственное значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор из Ь|, и собственное значение О, собственным вектором является любой ненулевок вектор из Вз; д) у(Л) = (1 — Л) (-1 — Л)" », где й = сйщ йы и = ойщ )г; собственное значение 1, собственным вектором является любой ненулевой вектор из Ьп к собственное значение -1, собственным вектором является любой ненулевой вектор из Ьз; Ответы и указввик к 357 е) /(Л) = (-Л)"з', собственное значение О, собственным многочленом является любой многочлен нулевой степени; ж) /(Л) = Лз -Ь 1; собственных значений нет.
5Т.28. У к аз а ни е. Воспользоваться следующими тождествами Ньютона: йо„я+(СгА)о„за~+(ггА )о„яаз+... + (ггА )о„= О, й = 1,п, где о„г" + о„з1" ' +... + озг+ ае — характеристический многочлен матрицы А. 57.29. ~А~ = -2. Указание. Найти собственные значения матрицы А. 57.31. Л~ = 3, собственным вектором является любой ненулевой вектор. 57.32.
Л~ = 2, собственные векторы имеют вид а(1,1+1)т, а ф О. 57.33. Лз = 1, Лз = 3, собственные векторы соответственно равны а( — 5/3+ 4з)т, а(1, -з)т, а 310. 57.34. Л~ = 1, Лз = 2, Лз — — 3, собственные векторы соответственно равны а(1, 1, 1)т, а(1,0, 1)т, а(1, 1,0)т, а ф О. 57.35.
Лз = 3, Лз = б, собственные векторы соответственно равны а(0, 1, -1) г, а(3, 4, — 2) т, а ~ О. 57.36. Лз = 3, Лз = 6, собственные векторы соответственно равны а( — 7, 5, — 6) ч- ~3(2, — 1, 1)т, аз + 13~ ~ О, и а(1, 1, — 3)т, а ф О. 57.37. Л~ = О, собственные векторы равны а(1,1,0) +ф(0,1,2)т, а + )3~ ~ О. 57.38. Лз = -2, Лг = -1, Лз = О, собственные векторы соответственно равны а(0, 2, 1)г, а(1, 1, — 1)т, а(2, 2, -1) г, а ф О. 57.39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
