Том 2 (1113040), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Р Ч Это неравенство (называемое неравенством Юнга), как нетрудно видеть, справедливо и в случае, когда одно из чисел а или Ь равно нулю. Пусть теперь хз,...,х,уй,...,у — произвольные вещественные или комплексные числа. Обозначим Х = »'(хй(г, 1 = 'У '(рй(' н будем считать, что Х и У отличны от нуля (иными словами, среди чисел хй, Й = 1,п, и среди чисел рй, Й = 1,п, есть ненулевые; это условие не ограничивает общности, так как если все числа равны нулю, то неравенство Гельдера превращается в тривиальное тождество). Положим хй Хй = —, Х' Уй = —, Уй у' Тогда, очевидным образом, 2 , '(Хй(г = 2,' (Уй(Я = 1.
й=! й=! Запишем неравенство Юнга для величин о = (Хй)г и 6 = (Уй(ч! (ХйУй( < -(Хй( + — (Уй( Р Ч 1 1 Если — + — = 1,то, складывая почленно зги неравенства, получим Р Ч ~~Х,Уй(< — ~ ~(Х,('+ — ~~ '(У,!' = -+ — =1. й=! й=! Ч, Р Ч ь п (хй + уй(г < ~ ((хй(+ )уй()'. й=! й=! (70.2) ь Умножая обе части полученного неравенства ) )ХйУй~ < 1 на величину й=! ХУ, с учетом принятых обозначений приходим к неравенству Гельдера. Перейдем к доказательству неравенства Минковского.
Сначала применим неравенство треугольника (хй + уй( < (хй(+ ~уй~ к каждому слагаемому в левой части (70.1): 180 Глава ХЪ7ХХ. Линейные нормированные пространства Правую часть этого неравенства преобразуем следующим образом: и ~(!хй)+ !уй!)" = ~ !хй!((хй!+ !уй!)" '+ ~!рй!(!хй1+ !уй!)" '.
й=! й=! й=! К каждой полученной сумме применим неравенство Гельдера, тогда 2.а*эй.о' ((~г г) ф г) !)ф >+> й" '") Но (р — 1)о = р, поэтому разделив обе части этого неравенства на вели- / ч !! ! !!1г! чину ~ ~ ((хй!!+ !!уй!!)г), получим й=! < !7й „ 1 йгг у „ ! й/г (!хй! + !уй!) < ~~! !хй! + ! !рй! й=! й=! й=! что с учетом неравенства (70.2) дает неравенство Минковского (70.1). ° Пример 70.7. Пусть в пространстве Ъ' (вещественном или комплексном) выбран какой-либо базис ей,..., е . Рассмотрим для каждого вектора х Е К его норму )! (~р относительно этого базиса; й ййг х = ~ хг,ер,. !-! (Щ = ~ (хй1~, р) 1. й=! й=! Показать, что выполнено соотношение )пп )!х!!р —— !)х)),, где !)х(! = шак (хй!.
з<й< Р е ш е н и е. Без ограничения общности будем считать, что координаты вектора х упорядочены по невозрастанию ик абсолютнык величин, причем (х!! = ° ° = )х ц! ) )хт.!.!! ) ° ° ° ) (Хч! В этом случае имеем !)х)(,о = (хй!. Преобразуем далее величину !)х!!р! р~ !7г ( хй ((х)!г — — (х!! пз+ ~ — = )х!!.ехр — !и гл+ х! р х! й=!й+! й= +! = ~хй! екр — )поз+!и 1+— 170. Норма вектора 181 Р )хь к хь Так как при и > пь+ 1: — < 1, то !пп ~ — = О. Поэтому [ хь к-~м хь Ь=м-~-ь !пп !)х[)р — )хь[ !пп акр !-(!ппь+ о(1)) = [х~[ = []х][, . ° р-~со !г ЗАДАЧИ 70.1. Можно ли норму т(х) в пространстве С" задать равенством т(х) = лгаак ([ Веху[ + [ 1гпх .[), гх = (х„ ...,х„)? ь<1<э Т0.2.
Можно ли норму пь(А) в пространстве !й"" задать равенством гл(А) = г8А, ЧА Е К"" ? 70.3. Можно ли норму пг(7) в пространстве М„задать равенством ь ь/г т(7) = 7" (1)Р(1)й (а < й), к,! Е М„, где р(1) — непрерывная на [а, б] функция? 70.4. Можно ли норму т(А) в пространстве Е(К, кьг) задать равенством пг(А) = [1г(А'А)], ЧА Е Е(К И')? 70.5. Пусть гп(х) и п(х) — две нормы в линейном пространстве Ъ'.
Показать, что нормами в этом пространстве будут и следую!дне величины: а) р(х) = пгах(т(х), п(х)); б) ч(х) = сгпг(х) + )Зп(х), тле ьк и )3 — фиксированные неотрицательные числа, не равные одновременно нулю; в) г(х) = (глг(х) -!- пг(х)) ь1г 70.6. Пусть А — линейный невырожденный оператор линейного нормированного пространства Ъ' с нормой []х]]. Доказать, что нормой пространства к' является и величина т(х) = [[Ах[[. 70.Т. Линейное пространство к' является прямой суммой подпространств Ь! и 7 г.
При этом на 7, введена норма гл(х), на Ьг — норма п(х). Пусть х — произвольный вектор из Г, причем 182 Глава ХУХП. Линейные нормированные пространства х = х1 + хг, где х1 Е Ьм хг Е Ьг. Положим !!х!! = т(х~) + п(хг). Показать, что это соотношение вводит норму на У, 70.8. Доказать, что если Н Е С""" — эрмитова положительно определенная матрица, то норма пг(х) в пространстве С" может быть задана равенством: т(х) = (х, Нх)г~г, Чх Е С", относительно стандартного скалярного произведения в С".
70.9. Доказать, что если !! !! — норма в пространстве У, та для любых х, у Е У выполнено неравенство !!х - у!! > !!!х!! — !!у!!! 70.10. Доказать, что для евклидовой нормы !! !!н в евкли- довом пространстве У выполнено равенство параллелограмма !!х+у!!~~+ !!х — у!!~~ = 2(!!х!!~~+ !!у!!~), Чх,у Е У. (70.3) х — у ~ 1 1 2 2 г 2 < -!!х!!" + -!!у!!' р 2 2 и 2 х+у ~ 2 Р х+у ~ 2 Р при р > 2, при1<р<2 (здесь р '+ а ' = 1). 2.
Пользуясь неравенством Кларксона, показать, что в пространстве У с нормой !! !!„(1 < р < оо) относительно любого заданного базиса из условия, что различные векторы х, 70.11. Доказать, что верно и обратное: если норма !! !! в линейном вещественном пространстве У удовлетворяет равенству параллелограмма (70.3), то в У можно ввести скалярное произведение так, чтобы эта норма была евклидовой относительно этого скалярного произведения. 70.12.
Доказать,что в любом нормированном пространстве У выполнено соотношение 2(!!х!!г+ !!у!!г) < !!х+у!!г+ !!х у!!г < 4(!!х!!'+ !!у!!г) 70.13. 1. Доказать, что норма !! !!р в пространстве У относительно заданного базиса е„..., е„удовлетворяет неравенству Кларнсона: для любых х, у Е У З70. Норма вектора 183 у принадлежат единичной сфере: (Щ = 1, ))у((р — — 1, следует, что для любого сг Е (0,1) выполнено строгое неравенство !)сгх + (1 — сг)у))„< 1.
70.14. Нормированное линейное пространство ~' называется строго нормированным, если в неравенстве треугольника 1х+ у)) < ))х))+ ))у)) знак равенства достигается только в случае, когда векторы х и у линейно зависимы Доказать, что: а) евклидова пространство Ъ' с евклидовой нормой ~~ ~~к строго нормировано; б) пространство $' с нормой ~) 'О„при 1 < р < со строго нормировано; в) пространство 1г с нормой 0 '0, или с нормой 0 . )! не является строго нормированным.
70.15. Доказать, что если х00 -+ х~~>, уре — ь у~~~, то: а) ех(ь) )! + ехало) )/. б) )/х<ь~ — а)) -+ //х<о> — а!! для любого вектора а; в) сгхрй + ~Уурб -+ стх<о~ + ~Му<о> для любых чисел сг и р"; г) если последовательность чисел Ль сходится к числу Ло, то Льхрй -+ Лохов~. 70.16. Доказать, что если всякая нетривиальная' подпоследовательность последовательности (хрй) сходится, то сходится и сама последовательность (х~ь>). 70.17. Доказать, что из всякой ограниченной последовательности векторов нормированного пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 70.18. Доказать, что сходимость последовательности (х~ь~) к вектору х® по норме равносильна покоординатной сходимости этой последовательности относительно любого базиса. 70.19.
Пусть в пространстве 1г задан базис е„..., е„и относительно него введены нормы ~~ ° ~~„, 1 < р < со. Доказать, что если 1<рг <рз <ооир г =ар +(1 — сг)рэ~,О<сг < 1,то выполнено неравенство ))х))р < ))х))„, 0х)!', 70.20. Для каждой пары из трех норм: найти наилучшие возможные константы сг и сз в определении эквивалентности норм. гПод тривиальной подразумевается подпоследовательность, совпадаюпгая с исходной последовательностью, начиная с некоторого члена. 184 Глава ХУХП.
Линейные нормированные пространства 70.21. В арифметическом пространстве С" наряду с нормой ((х((з рассматривается норма т(х) = ))Ах))„где А — невырожденная матрица и-го порядка. Как вычислить для этой пары норм наилучшие возможные константы с, и сз в определении эквивалентности норм? 70.22. Доказать, что отображение р: Ъ' х Ъ' — ~ )я, определенное правилом р(х,у) = ))х — у)), (70.4) в) т'(у) = шах )(х,у)/; д) т'(у) = шах Ве(х, у). т(т)=1 70.27. Пусть т'(у) — норма, двойственная к норме т(х) в евклидовом (унитарном) пространстве $'. Показать, что для задает метрику в линейном нормированном пространстве у'. Число р(х, у) называется расстоянием между х и у ло норме в пространстве Г. 70.23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
