Том 2 (1113040), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Теорема 68.1 (закои инерции). Положительный и отрицательный индексы инерции вещественной кеадратичной формы не заеисяш ош еыбора канонического базиса. Обозначим символами Р(д»о, Ьы..., »ь») и У(Ьо, Ьы..., 1»») число со. впадений и перемен знаков в последовательности вещественных чисел Ьг, Ьы ...,Ь». Теорема 68.2 (сигнатурное правило Якоби).
Пусть Ьо = 1, и Ь» — угловой минор й-го порядка матрицы квадратичной формы А(х,х) ранга г и Ь» ф О, й = 1,г. Тогда и = Р(с»о,гзы...,д»,), и = У(Ьо,Ьы.,г) ). Квадратичная форма А(х, х) называется положительно (отрицатель. но) определенной, если А(х,х) > 0 (соответственно А(х, х) < 0), зх ф 9. Такие формы называют знакоопределеннььми (или знакопоспзоянными). Квадратичная форма А(х,х) называется неотрицапзельно (неположительно) определенной, если А(х,х) > 0 (соответственно А(х,х) < 0), зх. Такие формы называют полуопределенньзми. Квадратичная форма, для которой существуют векторы х и у такие, что А(х, х) > О, А(у, у) < О, называются знакопеременными. П р и м е р 68.1. Примером положительно определенной квадратичной формы в вещественном пространстве может служить скалярный квадрат в евклидовом пространстве, т.е. отображение А : Е -ь Н, определенное равенством А(х) = (х,х), чх й Е.
Те о рема 68.3. Кеадротичнал форма А(х,х) положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда ее положительный (соответственно отрицательный) индекс инерции соеиадает с размерностью пространства. Следсшеие. Определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы положителен. Теорема 68.4 (критерий Сильвестра). Кеадрашичная форма А(х, х) положительно (отрицатсльно) определена тогда и только тогда, когда углоеые миноры 11», й = 1,п, ее матрицы е произеольном базисе положительны (соотеетстеенно чередуют знаки, начиная с отрицательного): Ь» >О, Й=1п (1»»»зь-» <О, Й=1п, Ьо=1).
Теорема 68.8. Пусть У вЂ” вещественное линейное пространсшео. Отображение А: У х У -+ ))ьь яеляешся скалярнььм произеедением е пространстве У тогда и только пзогда, когда оно есть билинейная форма полярная к положительно определенной кяадраптчной форме. "368. Формы в вещественном н комплексном пространствах 151 Матрица билинейной формы, задающей скалярное произведение, совпадает с матрицей Грама базисных векторов; А, = 0(ем...,еь).
В комплексном пространстве полным аналогом вещественных квадратичных форм являются так называемые зрмитовы квадратичные формы, Пусть теперь )г — комплексное линейное пространство. Отображение А: г' х $г -ь С называется иолутораликейной форльой, если для любых х,у,ген,очС: 1) А(х+ у,г) = А(х,г) + А(у, г); 2) А(ах, у) = аА(х, у); 3) А(х, у+ я) = А(х, у) + А(х, г); 4) А(х, ау) = ВА(х, у). Полуторалинейную форму называют эрмитоаой, если А(у,х) = А(х,у), гх,у Е У. Пример 68.2. Скалярное произведение (х,у) в унитарном пространстве является зрмитовой полуторалинейной формой.
Для полуторалннейных форм остаются в силе все утверждения, касающиеся билинейных форм. В частности: — общий вид полуторалннейной формы А(х, у) в базисе е задается равенством: ох = 2 т„", хьеь, у = ~ г, Узез п „4(х,У) = ~ ~аьгхьУ1, го=1 (68.1) где аьз = А(еь, ег), или, в компактной форме, А(х, у) = хтА,у, = уг'Атх,; — если е и у = еСд — два базиса пространства, то Ау = Я~А٠— полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе эрмитова. Теорема 68.6.
Полутораликейиая форма эрмитооа тогда и толь- ко тогда, когда А(х, х) Е И, 'гх Е У. Пусть А(х, у) — эрмитова полуторалинейная форма в комплексном прост- ранстве Ъ'. Эрмитоеой квадратичной формой (или, короче, эрмитоеой формой) называется отображение А: У -+ С, которое каждому вектору х Е У ставит в соответствие число А(х,х). Полуторалинейная форма А(х,у) при этом называется полярной лолукьоралииейкой формой к эрмитовой фор- ме А(х,х).
Эрмитова квадратичная форма обладает всеми свойствами (с очевид- ными изменениями) обычных квадратичных форм. В частности: 1) существует взаимно однозначное соответствие между эрмитовыми полуторглинейными и эрмитовыми квадратичными формами пространства; 2) матрица эрмитовой квадратичной формы в любом базисе эрмитова; 3) общий вид эрмитовой квадратичной формы: Чх = 2 „, хьеь п А(х,х) = 2 аьзхьхю аьг — — агь (Чк,ф = 1,л), го=! нли, в компактной форме, 152 Глава ХУП.
Билинейные и «вадратичные формы 4) канонический вид эрмитовой квадратичной формы задается равенством: А(х,х) = 2 Ль)хь)~, 'эх = 2 хьеь, з=! ь=1 где г = гй А(х, х), Ль Е Й (Й = 1, г); 5) метод Лагранжа приведения к каноническому виду применим и для зрмитовой формы; 6) остаются справедливыми формулы Якоби; 7) эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения; 8) для эрмитовых квадратичных форм справедливы закон инерции, сигнатурное правило Якоби, критерий Сильвестра; 9) отображение А: У х У -+ С есть скалярное произведение в комплексном пространстве У тогда и только тогда, когда оно является полуторалннейной формой, полярной к положительно определенной эрмитовой форме.
Канонический вид квадратичной формы (эрмитовой формы), в котором все ненулевые канонические коэффициенты равны 1 или — 1, называется нормальным еидом. Пример 68.3. Найти нормальный вид квадратичной формы / = хз + х, + Зхз + 4хзхз + 2хзхз + 2хзхз г з (1 г 1) Решение.
Матрица квадратичной формы 7 имеет вид А = ~2 1 1~, 113 ее угловые миноры равны Ь| = 1, Ьз = -3, 1зз = — 7. Согласно формулам Якоби за канонический вид формы 7" можно взять форму з з 7 з у,— Зу +-у 3 Ь| Ьз Ьз 7 с каноническими коэффициентами — = 1, — = — 3, — = —. 1 '11| 'Ьз 3' Последняя форма после преобразования координат хз = ум зз = з/Зуз, яз = 1/7/Зуз примет нормальный вид яз хз + хз ° 3 3 3 П р и м е р 68.4.
Показать, что квадратичная форма У=~~~ (и+2 — 1)х;+2~~~ х,хзе~ положительно определена. Р е ш е н и е. Пля проверки положительной определенности квадратичной формы 7" составим ее матрицу и воспользуемся критерием Сильвестра. "368. Формы в везпественном в комплексном пространствах 153 Имеем и+1 1 0 ... 0 0 0 1 и 1 ... 0 0 О 0 1 и — 1 ...
О 0 0 0 0 0 ... 4 1 0 0 0 0 ... 1 3 1 0 0 0 ... 0 1 2 Критерий Сильвестра удобнее применить не к матрице А, а к матрице А!, получаемой из А перестановкой сначала строк, а затем столбцов в обратном порядке: 2 1 0 ... 0 0 0 1 3 1 ... 0 0 0 0 1 4 ... 0 0 0 А! = 0 0 0 ... и — 1 1 0 0 0 0 ... 1 и 1 0 0 0 ... 0 1 и+1 Матрица А! соответствует квадратичной форме, получаемой из у перенумерацией переменных х!,..., х„в обратном порядке. Поэтому (в силу критерия Сильвестра) квадратичная форма у положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры Д», 1с = 1,и, матрицы А! положительны.
Составим рекуррентное соотношение для Д»: Д»=йД» ! — Д»-з, й>3, и перепишем его в более удобном виде: д„- д„, = (й — г)д,, + (д,, — д,,). (68.2) С помощью (68.2) и метода математической индукции докажем, что д >д >о. Пействительно, д! = 0 и дз = 5 > д!. Пусть д» > д» ! > О, й > 2. Тогда из (68.2) следует, что Д»»! = Д» + (й — 1)Д» + (Д» — Д»-!) > Д». Таким образом, д» > О для всех й = 1, и, и следовательно, квадратичная форма у положительно определена. ° Пример 68.5. Пля полуторалинейной формы у = 2х»д!+эх»дз $хзв! -!-2хздз выписать соответствующую ей эрмитову квадратичную форму и привести эту форму к каноническому виду. Найти приводящее к этому виду преобразование координат.
2 »1 Решение. Матрица формы у имеет вид А = ~ 2 ~. Так как А = А, то эта полуторалинейная форма эрмитова и, следовательно, она порождает эрмитову квадратичную форму д. Матрица эрмитовой формы д совпадает с матрицей А, поэтому д = 2(х»(з + зх»хз — зхгх! + 2(хз)~. Пля приведения к каноническому внлу применим метод Лагранжа (в комплексном случае — это метод выделения квадратов модулей).
Заметим Глава ХИ1 Билинейные и квадратичные формы 154 предварительно, что длк комплекснык чисел а и Ь: )а + Ь)~ = (а+ Ьиа+ Ь) = аа+ аЬ+ аЬ+ ЬЬ. Имеем: д = 2 хсхс+хс — хг +хс — хг + — хг -хг -2 -хгхг + 2хгхг = 2 хс — -хг хс — -хг~ + -хгхг. 4 2 ( 'й 2,й' 2 Таким образом, каноническим видом квадратичной формы д будет форма д = 2(ус! + -)уг(, с где ус = хг — -хг, уг = хг. Формулы преобразованик координат имеют вик 2 с хс =ус+ уг,хг =уз ° 2 ЗАДАЧИ 68.1.
Применяя сигнатурное правило Якоби, найти нормальный вид, положительный и отрицательный индексы инерции к сигнатуру следующих квадратичных форм: 1) х, + хг + Зхз + 4х,хг + 2хгхз + 2хгхз; 2) хг — 2хгг + хгз + 2хгхг + 4хзхз + 2хгхз; 3) 2хг + 5хг + 2хг 4хзхг — 2хгхз + 4хгхз; 4) Зхг + 4хгхг 4хгхз + 10хгхз~ 5) хг + 2хз г+ 4х,хг + бхзхз' б) хг + хг + хз + х4+ 4хг(хг + хз + х4). 68.2. Пользуясь сигнатурным правилом Якоби, найти индексы инерции следующих квадратичных форм: и-1 и и-1 ц г+~ 2) 2 хг — 2 хйхй.йг, йин й=1 й=1 3) — -' 2 хг+ 2 хйх,.; 4) 2, 'хг+42 хйх,; й=з й<з йсы й<г и 5) а 2 хг+ 25 2, хйх,, где а > Ь > 0 — произвольные числа.
ййп й<у 68.3. Пусть главный минор с."йй, lс ( п, матрицы квадратичной формы от и переменных равен нулю, но миноры гай, и Ьйы отличны от нуля. Доказать, что в этом случае с2 й г Айй, < О. 68.4. Пусть в последовательности Ао — — 1, Ьы..., га„главных миноров матрицы квадратичной формы от п переменных "зб8. Формы в вещественном и комплексном пространствах 155 определитель 3Л„ф О, но при некотором к ( п минор 3.'34 = О, однако Ьз,Ьзя, ф О. В каждом таком случае нулевому минору Ьь в рассматриваемой последовательности припишем произвольный знак. Показать, что модифицированное таким образом сигнатурное правило Якоби сохраняет силу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
