Том 2 (1113040), страница 22
Текст из файла (страница 22)
65.31. Показать, что в положительно определенной матрице максимальный по модулю элемент стоит на главной диагонали. 65.32. Доказать, что эрмитова матрица Н = (ддд ) Е С""" с диагональным преобладанием !Ь.Д > ~~'~ ~~1дц~, Чу' = ~,~, дд=д /сфд положительно определена. 65.33.
Пусть Н = Я+ дК вЂ” комплексная положительно апре. деленная матрица. Доказать, что действительная матрица положительно определена. 65.34. Доказать следующий критерий Якоби положительной определенности: самосопряженный оператор, действующий З65. Знакоопределенные операторы и матрицы 125 4 — ВВт (65.2) где Ь вЂ” левая треугольная матрица. 65.40. Доказать справедливость следующих рекуррентных соотношений для элементов 1р матрицы Ь в разложении (65.2) (метод квадратного корня или мегиод Холецкого): а„, 1м — — аег/1п, к > 1, г(г з-1 (а,— ~~~ 1 ), у>1, р=г з — 1 (аья — рР 1,.р1ер) (1„, lс > ~. 1п = р=г 65.41.
Доказать, что матрица А Е С""" положительно определена тогда и только тогда, когда А = ВнВ для некоторой иевырожденной матрицы В Е С™". 65.42. Пусть А Е С""" — положительно определенная матрица и имеют место равенства: А = ВнВм А = Вз Вз, в которых в евклидовом или унитарном пространстве положительно определен тогда и только тогда, когда все коэффициенты его характеристического многочлена отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки.
65.35. Доказать, что среди всех миноров к-го порядка положительно определенной матрицы Н наибольшим по модулю является некоторый главный минор. 65.36. Доказать, что кронекерово произведение положительно определенных матриц Н, и Нз (имеющих, быть может, разный порядок) само является положительно определенной матрицей. 65.37.
Что можно сказать об операторе А, если в базисе е он имеет унитарную матрицу А„а в базисе г' — положительно определенную матрицу Ар? 65.38. Доказать, что если оператор А, действующий в евклидовом пространстве р',положительно определен,то для всех векторов х,у Е 'р'имеет место неравенство (х, Ах)(у, А у) > (х, у) . 65.39. Доказать, что для любой симметрической положительно определенной матрицы А = (а„) существует разложение 126 Глава ХЪЧ.Линейные операторы в унитарном пространстве ВмВг Е С""".
Доказать, что найдется унитарная матрица У такая, что Вг — — УВг. Найти квадратные корни из следующих матриц 2 1 1 65 43.. 65 44. 1 2 1 — 3 5' ' ' 112 1 1 1 1 24 6 -12 б 33 6 — 12 б 24 65. 45. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 65.46. 65.47. Доказать, что для определителя положительно определенной матрицы Н = (Ьм) порядка п справедливо неравенство бе$ Н < Ьпйгг й Знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда Н вЂ” диагональная матрица. 65.48.
Применяя результат предыдущей задачи к матрице Н = ААв, где А = (аг ) — невырожденная матрица и-го порядка, доказать следующее неравенство Адамара: и и (с1еФА! < П ~ )аг ! . г=11=1 65.49. Пусть Н и Я вЂ” эрмитовы операторы, причем Б'неотрицательно определен. Доказать, что если 'Н и Б перестановочны, то перестановочны и операторы Я и В'~г. Пара эрмитовых оператора Нг и Яг связана неравенством Нг > Нг (Нг < 'Нг, Нг > Нг, Нг < 'Нг), если оператор Мг — Яг неотрицательно (соответственно, неположительно, положительно или отрицательно) определен.
65.50. Показать, что отношение > на множестве эрмитовых операторов обладает следующими свойствами: а) если Я > Б, В > Т, то Я > Т; б) если Нг > Ям Яг > Бг, то оНг + (3Нг > айаг + )юг для любых неотрицательных чисел о и В, в) если Я > Б, то А'ЯА > А'БА для любого оператора А. 65.51. Положительно определенный оператор 'Н удовлетворяет неравенству 'Н > 2. Доказать,что 'Н ' < 2. збб. Знакоопределенные операторы и матрицы 127 65.52. Доказать, что если два положительно определенных оператора 'Нг и Яг связаны неравенством Я, > 'Н„то для обратных операторов выполнено соотношение Н, ~ < Я, ~.
65.53. Доказать, что если А > О, то А + А ' > 2Х. 65.54. Пусть эрмитов оператор 'Н положительно определен. Доказать, что существует такое число сг > О, что 'Н > сгХ. 65.55. Пусть эрмитов оператор Я положительно определен. Доказать, что для любого положительно определенного оператора А существует такое число сг > О, что 'Н > аА. 65.56. Пусть А — самосопряженный оператор. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны: а) все собственные значения А лежат на отрезке [а, 61; б) оператор А — ЛХ отрицателен при Л > Ь и положителен при Л < а. 65.57.
Показать, что произведение 'Н,Мг перестановочных неотрицательно определенных операторов 'Нг и Нг также является неотрицательно определенным оператором. 65.58. Пусть 'Н, > Яг и Т вЂ” неотрицательно определенный оператор, перестановочный с Н, и Нг. Доказать, что НгТ > НгТ. 65.59. Пусть 'Нг и Яг — эрмитовы операторы, причем Нг положительно определен. Доказать, что собственные значения оператора Н,'Н, суть действительные числа, при этом сам оператор имеет простую структуру. 65.60. Пусть в условиях предыдущей задачи оператор Нг неотрицательно определен.
Показать, что все собственные значения оператора Н,'Нг неотрицательны. 65.61. Показать, что справедливо утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи: если операторы Й, и Яг— эрмитовы, 'Нг положительно определен и все собственные значения оператора 'Нг'Нг неотрицательны, то 'Нг неотрицательно определен. 65.62. Пусть А и 6 — операторы, действующие в унитарном (евклидовом) пространстве Ъ".
Задача нахождения числа Л и ненулевого вектора х, удовлетворяющих уравнению (65.3) х=Лвх, называется обобщенной проблемой собственных значений, при этом числа Л называются собственными значениями обобщен- 128 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве ной проблемы, а векторы я — соответствующими собственными векторами. 1. Доказать, что собственные значения обобщенной проблемы являются решениями уравнения с(е1(А — ЛВ) = О, называемого Л-уравнением пары операторов А и В.
2. Доказать, что если оператор В невырожден, то обобщенная проблема собственных значений (65.3) эквивалентна стандартной проблеме собственных значений Ая = Ля. Указать соответствующий оператор А. 65.63. Доказать, что если  — положительно определенный оператор, то обобщенная проблема собственных значений (65.3) эквивалентна стандартной проблеме собственных значений вида у =лу, где А = В '~'АВ '~' у = В'~'я 65.64. Доказать, что если в условиях предыдущей задачи А — положительно (неотрицательно) определенный оператор, то все собственные значения обобщенной проблемы собственных значений (65.3) положительны (неотрицательны). 65.65. Пусть А и  — эрмитовы матрицы порядка п, причем  — положительно определена. Доказать, что: а) левая часть Л-уравнения пары матриц А и В представляет собой многочлен от Л степени и, старший коэффициент которого равен определителю матрицы — В; б) Л-уравнение имеет п действительных корней, если каждый считать столько раз, какова его кратность.
65.66. Пусть в обобщенной проблеме (65.3) оператор А Е Е($~,Ъ') эрмитов, а  — неотрицательно определен. Доказать, что в пространстве й существует ортонормированный базис из собственных векторов задачи (65.3) тогда и только тогда, когда оператор В невырожден. 65.67. Пусть А — эрмитова матрица, а  — положительно определенная матрица. Пользуясь задачами 65.63 и 65.66, показать, что существует невырожденная матрица Я такая, что ЯнВЯ = 1 ЯнАЯ = Л где Л вЂ” некоторая диагональная действительная матрица. Збб.
Знакоопределеиные операторы и матрицы 129 65.68. Доказать, что для любых положительно определенных матриц А, В и любых положительных чисел а, ф а+ В = 1 выполнено неравенство (сзА + ВВ! > (А( )В(В. 65.69. Пусть А и  — матрицы порядка и > 1, причем А > О и В > О. Доказать, что )А + В( > )А( + (В), причем равенство достигается лишь при В = О. 65.70. Положительно определенная матрица А представлена в клеточном виде: где Ап и Азз — квадратные подматрицы. Доказать, что с1еФ А < с1е1 А„с1е1 Азы причем равенство достигается лишь тогда, когда Ам = О. 65.71.
Положительно определенная матрица А представлена в клеточном виде: причем подматрица А,з — квадратная. Доказать, что (с1е1А,з(~ < с1есАм с1еФАм, 65.72. Матрицы А и В зрмитовы, причем А > О. Доказать, что )с$еС(А+1В)) > с1есА, причем равенство достигается лишь при В = О. 65.73. Доказать следующее неравенство Мннновсного для определителей: если матрицы А и В порядка и положительно определены, то (с1ес1А + В))'с" > (с1е1 А)'с" + (с1е1 В)'Р'. Показать, что равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда В = ссА для некоторого числа а > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
