Том 2 (1113040), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Пусть А(х, у) — симметричная билинейная форма в пространстве )с над полем Р. Квадратичной формой называется отображение А: )г -! Р, которое каждому вектору х й И ставит в соответствие число А(х,х). Обозначение: А(х,х) или А(х). Билинейная форма А(х, у) при этом называется полярной билинейной формой к квадратичной форме А(х,х). Теорема 67.6. Полярная билинейная форма для любой квадро!пичной формы определена однозначно. Матрицей квадратичной формьь А(х, х) в базисе е называется матрица полярной к ней билинейной формы А(х, у) в этом базисе. Пве квадратные матрицы А и В порядка и называются конгруэнтнмми, если существует невырожденная матрица г',> такая, что В = О АО..
т Из свойств билинейной формы вытекают следующие свойства квадратичных форм. 1'. Матрица квадратичной формы симметрична. 2'. Любая симметрическая матрида является матрицей единственной квадратичной формы в заданном базисе. 3'. Матрицы квадратичной формы в базисах е и у = еЯ связаны соотношением Ас = г',>~А,Я, (б7.2) иными словами, две матрицы квадратичной формы А(х, х) в различных базисах конгруэнтны. 4'.
В базисе е квадратичная форма А(х, х) с матрицей А, = (а,г) может быть записана в следующем виде: !7х = 2,',ы! х,е; А(х,х) = ~ ~аихгх„ае = агы (67.3) или, в компактной форме, Ат =А,. А(х,х) = х, Аьх„ т (67.4) Представление квадратичной формы в виде (67.3) или (67.4) называется общим видом квадратичной формьь А(х,х) в базисе е. Выражение /(х!,...,х ) = 2,'" !аюх,хз, где а!! —— аг, Чь,б, называется квадро!пичной формой от переменных хг,...,х„. 5'. Рангом квадро!пичной формы называется ранг ее матрицы в произвольном базисе. Очевидно, гбА(х,х) = гбА(х,у). Квадратичная форма "367.
Формы в линейном пространстве А(х,х) называется вырожденной, если гб А(х, х) ( йтп)т, и невырожденной, если гбА(х,х) = йтп 1'. Базис е = (ет,..., е„) называется каноническим базисом квадратпичной формы А(х, х), если матрица квадратичной формы в этом базисе диагональ!та: Ат = Жаб(Л»,..., Ло). В каноническом базисе квадратичная форма А(х, х) согласно (67.3) име- ег вид А(х,х) = Лтх, -~-...-»Л х„, который называется каноническим видом г г квадратичной формы, при этом числа Лт,..., Л называются ее каноническими коэффициентами. Канонический вид называют также суммой квадро!пав.
Очевидно, что число ненулевых квадратов совпадает с рангом А(х, х). Итак, если е — канонический базис и г = гб А(х,х), то А(х,х) = Лтхг +... + Л„хг, тх = 2',," ! хте,. Если ет,...,е„— канонический базис квадратичной формы А(х,х), то полярная к ней билинейная форма в этом базисе имеет вид и А(х,у) = Лтхту! + Лгхгуг -!-... + Л„х„у„, х = ~ х;еп у = ~ у,е;, =1 =! называемый каноническим видом биаинвйной формы.
Теорема 67.7. Для любой квадратичной форды сущестпвуетп канонический базис, или в другой формулировке, любам квадратпичная форма д(хт,..., х ) от переменных я!,...,х„невырожденныа преобразованием координат приводитпся к сумме квадратное. Пве квадратичные формы 7 и д от и переменных называются экеивавентаными, если одна из них приводится к другой невырожденным преобразованием координат. Очевидно, канонический вид квадратичной формы 7 — это эквивалентная с 7" форма, не содержашая произведений различных переменных х,хт, ! ф ф.
Теорема 67.8. Если в матрице квадратичной формы А(х, х) ранга г первые г угвовых миноров отличны ош нулят Ь» -» О, й = 1,г, тао существует базис е, в мотором матрица квадро!пичной формы имеет диагональный вид А, = йаб(Лт,..., Л„О,..., О), где Л» = Ь»/т»» /с=1,г, (67.6) где Ь| — угвовыс миноры в-го порядка матрицы А, тп.в. т.'»» = М ""',, т,...,» (т = 1, и, и Ьо = 1. Соотношения (67.5) называются формувааи Якоби. Пример 67.1. Квадратичная форма А(х,х) в некотором базисе ет,ег имеет вид А(х,х) = 4х! -~-бхтхг+ 7хг, тх = хте!+ хгег.
г г Написать матрицу квадратичной формы А(х, х) в этом базисе. Решение. Пусть А = (а, ) — матрица квадратичной формы А(х,х) в базисе ет, ег. Из (67.3) следует, что если х = хте! Ч- хгег, то А(х,х)=[х! хг] [ ' ' ) А(х,х) = а!тх, + ашхтхг + ашхгх! + аюхг = амх, + 2амхтхг + аггхг. г г г г 142 Глава ХЧП. Билинейные и квадратичные формы Следовательно, А=[З 7]. Пример 672.
Восстановить билинейную форму 1(хмхз,дмуз), полярную к квадратичной форме д(хз,хз) = х~ + бхзхз + 9хзз. Решение. Квадратичная форма д(хмхг) имеет матрицу А= ~ З которая совпадает с матрицей полярной к ней билинейной формы. Согласно (67.1) /(хы хз, ум дз) = х~у~ + Зхзуз + Зхзу~ + 9хзуз. ° Пример 67.3.
Привести квадратичную форму 1' = 2хз + 8хзхз + 4х~ хз + 9хз з-ь 19хз~ к канонической форме и построить невырожденное преобразование координат, осуществляющее такое приведение. Р е ш е н и е. Опишем два способа, позволяющие привести квадратичную форму к каноническому виду. Мешод Лазранжа (метод емделения полных квадратов) состоит в последовательном вьшелении полных квадратов сначала в группе слагаемых, содержащих хм затем содержащих хз и т.д. Имеем / = (2хз + 8х~хз + 4хзхз) + 9хз з+ 19хзз = 2(хз + 2хз + хз) — Зхзз — 2хзз-Зхзхз + 9хзз+ 19хз з— — 2(х~ + 2хз + хз) + (хз з— Зхзхз) + 17хзз = = 2(хз + 2хз + хз) + (хз — 4хз) — 16хз + 17хзз = 2(хз + 2хз + хз) + +(хз — 4хз) +хз — — 29,'+уз~+уз, где у~ = хз -Ь 2хз + хз, дз = хз — 4хз, рз = хз.
Если 12 — матрица перехода к новому базису, то х, = ('„)у,. Поэтому О 1 -4 и Я= О 1 4 Следовательно, формулы преобразования координат имеют вид < хз = уз — 2дз — уз, хз = уз +4уз, хз=уз Заметим, что стандартный метод Лагранжа соответствует треугольному преобразованию координат (см. ниже пример 67.4). Метод злеиенторньзх преобразований. Заметим, что если Я вЂ” матрица элементарных преобразований ЯЗ), то преобразование (67,2) матрицы А квадратичной формы равносильно двум преобразованиям — элементарному преобразованию столбцов матрицы А, определяемому матрицей О, и такому же преобразованию строк матрицы А. Матрицы элементарных преобразований невырождены.
Следовательно, ик произведение — тоже невырожденнак матрица. Поэтому матрица, получающаяся в результате умножения матриц '367. Формы в линейном пространстве 143 элементарных преобразований, проводимых над столбцами и строками матрицы А квадратичной формы, является матрицей перехода к новому базису.
Соответственно, квадратичная форма в результате этих преобразований может быть приведена к каноническому виду. Отметим также, что матрицы элементарных преобразований столбцов второго типа являются диагональными матрицами, а если элементарное преобразование заключается в прибавлении к столбцу другого столбца с меньшим номером, то соответствующая матрица является верхней треугольной. Если можно обойтись только такими элементарными преобразованиями, то матрица Я перехода к новому базису, будучи произведением верхних треугольных матриц, также получится верхней треугольной.
Итак, построим последовательность элементарных преобразований столбцов и таких же преобразований строк, которые приводят матрицу А к диагональному виду. Имеем: А= 4 9 0 причем угловые миноры равны соответственно; Ь! = 2, Ьз = ~ 4 9 ~ = 2, 2 4 Ьз = (А) = 2 1. Вычитая из 2-го столбца удвоенный 1-й столбец, а затем вычитал из 2-й строки удвоенную 1-ю строку, получим Г2 0 21 Г1 -2 01 Аз=Ь~АЬ|= ~ 0 1 -4 ~, где Ьз= ~ 0 1 0 ~, 2 -4 19 0 0 1 Отметим, что в результате такого преобразования главные миноры матри- 2 0 цыАзосталисьтемиже:газ=2,Ьз=~ О 1 (=2,Ьз=/Ац=2 2. Вычитая из 3-го столбца 1-й столбец, а затем вычитая из 3-й строки 1-ю строку, получим 12 0 01 г1 0 -1 Аз=ЬзАзЬз= ~ 0 1 — 4 ~, где уз= ~ 0 1 0 0 -4 17 0 0 1 Главные миноры опять остаются без изменения: Ь| = 2, Ьз = ~ О 1 ~ = 2, 2 0 Ьз = /Аз) = 2.
3. Наконец, прибавив к 3-му столбцу 2-й столбец, умноженный на 4, а затем прибавив к 3-й строке 2-ю строку, умноженную на 4, получим ~2 0 01 11 0 01 Аз=ЬзАзЬз= ~ 0 1 0 ), где Ьз= ~ 0 1 4 ). 0 0 1 0 0 1 Матрица Аз — диагональная, т.е. квадратичная форма 7 приведена к каноническому виду У = 2зз + яз + яз.
(бу.б) В результате последнего преобразования главные миноры опять не изменились, и теперь в матрице Аз: Ь!=2, Ь2=2 1, Ь3=2 1 1. 144 Глава ХИ1. Билинейные и «вадратичные формы Иными словами, канонические коэффициенты могут быть вычислены по формулам: ыг 1-!3 2=ЬГ, 1= —, 1= —, Хгг' Ьг ' т.е. по формулам Якоби (67.5). Чтобы найти преобразование координат, отметим, что Аз = Хз Хг Х~ АХ!ХЗХЗ = (Х!ХЗХЗ) АГГХ!ХЗХЗ) так что матрица 1г перехода к новому базису имеет вид 1 1 -2 — 9 1 Гд = ХГХЗХЗ = ~ О 1 4 ~, О О 1 а старые координаты связаны с новыми, соответственно, по формулам х! = г! — 222 — 9хз, хг = гг + 4гз, хз = хз. ° Пример 67.4. Привести квадратичную форму 1 = Х1Х2т Х1ХЗ + ХЗХЗ к каноническому виду и найти приводягцее к нему преобразование координат.
Решение. Матрица квадратичной формы / имеет вид О 1/2 1/2 ~) А = 1/2 О 1/2 ~ 1/2 1/2 О Ее угловой минор Х21 = О, поэтому здесь не применимы ни стандартный метод Лагранжа, ни метод элементарных преобразований в том виде, в котором он был использован в предыдушей задаче. Модифицируем сначала метод Лагранжа. Перейдем к новым координатам Х1 = У! + У2! Х2 = У1 — У2! ХЗ = УЗ! тогда квадратичная форма 1 перейдет в квадратичную форму д = у! — Уг + 2У!Уз = 1выделим полный квадрат!/ = !УГ + уз) — уг — уз г г Г - 1 2 2 2 В координатах х! = У! + Уз, хг = Уг, хз = Уз квадратичная форма 1 будет иметь канонический вид 2 2 2 х! — 22 хз Он соответствует преобразованию координат Х1 =21 22 ХЗ, Х2=21+Х2 — ХЗ! ХЗ=ХЗ! которое уже не будет треугольным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
