Том 2 (1113040), страница 28
Текст из файла (страница 28)
68.5. Применяя модифицированное правило Якоби из предыдущей задачи, найти нормальный вид, положительный и отрицательный индексы инерции и сигнатуру следующих квадратичных форм: 1) — Зхз + 4х,хз + 10хзхз — 4хзхз', 2) хзхз + хзхз + хзхя) 3) х, х, + 2х,хз + Зх,хя + хрхз + 2хзхя + хзхя; 4) хяхз + хзхз + хзхз + хзхя + хзх4 + хзхз + хях31 5) хя + хз + хз + х4 + 2хзх4 + 2хзхз + 2хзхя. 68.6. Показать, что ранг и сигнатура квадратичной формы имеют одинаковую четность. 68.7.
Доказать, что в положительно определенной форме все коэффициенты при квадратах переменных положительны. Является ли это условие достаточным для положительной определенности квадратичной формы? 68.8. Доказать, что для того, чтобы квадратичная форма А(х, х) была неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы были,неотрицательны. Является ли условие неотрицательности только угловых миноров достаточным для неотрицательной определенности квадратичной формы? 68.9. Найти все значения параметра Л, при которых положительно определены следующие квадратичные формы: 1) Лх, '— 4х,хз + (Л + 3)хзз; 2) 5хз+ хз3+ Лхз 3+ 4хзхз — 2хзхз — 2хзх3 3) Лх~ + 8хз + хз + 1бхяхз + 4хяхз + 4хзхз, 4) 2хз+ хз3+ Зхз 3+ 2Лх,хз+ 2хяхз,' 5) хз + хз + 5хз + 2Лх,х, — 2х,хз + 4х,хз, 6) х', + 4хз3+ хзз+ 2Лх,х, + 10х,хз+ бх,х,; 7) 2х', + 2х, '+ х, '+ 2Лх,х, + бх,хз + 2хзхз, 8) хз + 4хз — Лхз + 2Лх,хз + 2х,хз + 2хзхз, 9) (4 — Л)хз + (4 — Л)хз — (2 + Л)хз з+ 4хзхз — Зхзхз + 8хзхз.
68.10. Пусть в квадратичной форме у(х„...,х„) коэффициент ап ) О. Выяснить, каков будет результат следующей Глава ХЪ7Х. Билинейные н квадратичные формы 156 замены переменных: 1 уз — — (амхз +... + аз„х„), з/амм уь — — хь, к = 2,н. а~, з/амм, зря — — —, У' = 2, п, зм ь-1 Т~ ~г ь р=з зп = ь — з зь — — в (аяя — 2 врьвр,), У ) Й. р=з 68.11.
Доказать, что положительно определенную квадратичную форму можно привести к нормальному виду треугольным преобразованием переменных (см. задачу б7.7). 68.12. Привести к нормальному виду треугольным преобразованием переменных следующие квадратичные формы: 1) х~~ + 2хгг+ Зхз г+ 2хзхг+ 2хзхз + 4хгхз~ 2) хг + 2хг г+ 2хг + 2хзхз + 2хгхз, 3) х1 + 4хг + 11хз + 24х4 2х,хз 4хзхг + 4хгхз + 1бхзх4. 68.13. Доказать, что квадратичная форма А(х,х) является положительно определенной тогда и только тогда, когда ее матрица А, хотя бы в одном базисе е представляется в виде А, = ЯтЯ, где Я вЂ” верхняя треугольная невырожденная матрица. Такое разложение матрицы А, называется ее тпреуеольнь и разложением.
68.14. Показать, что диагональные элементы матрицы 5 в треугольном разложении матрицы А и главные миноры Ьь матрицы А связаны соотношениями: зьь = ~1ь/А, ы й — — 1,п, ~1о — — 1. 68.15. Доказать, что треугольное разложение положительно определенной матрицы А единственно, если дополнительно потребовать, чтобы диагональные элементы матрицы Я были положительны. 68.16.
Показать, что элементы зь, матрицы Я в треугольном разложении положительно определенной матрицы А = (аь,) 6 И""" могут быть вычислены по формулам: З68. Формы в вещественном и комплексном пространствах 157 68.17. Используя формулы предыдущей задачи, найти треугольные разложения следующих матриц; 1 2 3 4 2 5 8 11 3 8 14 20 4 11 20 30 9 — 3 0 — 3 5 — 4 0 — 4 5 [ ; 3) 68.18.
Доказать, что для того, чтобы вещественная симметрическая матрица А представлялась в виде А = ВтВ, где В— вещественная невырожденная матрица, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры матрицы А были положительны. 68.19. Доказать, что для того чтобы вещественная симметрическая матрица А представлялась в виде А = ВтВ, где  — вещественная квадратная матрица, необходимо н достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были неотрицательны. Кроме того, если г8 А = г, то и г8 В = г, и можно считать, что первые т строк матрицы В линейно независимы, а остальные— нулевые. 68.20.
Доказать, что ранг билинейной формы равен единице тогда и только тогда, когда она является произведением двух ненулевых линейных форм. 68.21. Доказать, что для представимости вещественной квадратичной формы в виде произведения двух вещественных линейных форм необходимо и достаточно, чтобы ранг этой квадратичной формы не превосходил единицы, либо ранг был равен двум, а сигнатура равна нулю. 68.22. Пусть для ненулевой билинейной формы А в вещественном пространстве Ъ' существует такое число а, что для любых х, у Е 'г' выполнено равенство: А(х, у) = аА(у, х). Доказать, что а = 1 или о = — 1. 68.23. Пусть А — билинейная форма в вещественном пространстве г' и всякий раз, когда выполнено равенство А(х, у) = О, имеет место и равенство А(у,х) = О.
Доказать, что форма А либо симметрична, либо кососимметрична, т.е. для любых х, у Е 'г' выполнено равенство А(х, у) = — А(у, х). 68.24. Доказать, что если произведение двух линейных форм, заданных в вещественном линейном пространстве Ъ', тождественно равно нулю, т.е. 1,(х)1з(х) = 0 для любого х Е Ъ', то хотя бы одна из этих форм тождественно равна нулю. 158 Глава ХЪ'П.
Билинейные и квадратичные формы 68.25. Доказать, что если симметричная билинейная форма А(х,у), заданная в вещественном линейном пространстве $', распадается в произведение двух линейных форм: А(х,у) 1г(х)1г(у), то она представима в виде А(х, у) = Л1(х)1(у), где Л— число, отличное от нуля, а 1(х) — некоторая линейная форма. 68.26. Выяснить, при каком необходимом и достаточном условии квадратичные формы 7'(х) и — 7'(х) могут быть приведены к одному и тому же каноническому виду. 68.27. Доказать, что если неотрицательная квадратичная форма обращается в нуль хотя бы при одном ненулевом наборе вещественных значений переменных, то эта форма вырожденна.
68.28. Пусть Дх) — квадратичная форма в вещественном линейном пространстве Ъ'. Вектор хэ Е Ъ' называется иэопгропнььи, если 7'(хэ) = О. Доказать, что если квадратичная форма Дх) знакопеременна, то в пространстве $' существует базис, состоящий из изотропных векторов. 68.29. Показать, что: 1) если А(х, у) — билинейная форма в комплексном пространстве 1", то форма Б(х, у) = А(х, у) является полуторапинейной; 2) если В(х, у) — полуторалинейная форма в комплексном пространстве У', то форма А(х,у) = В(х,у) является билинейной.
68.30. Составить матрицы следующих полуторалинейных форм, действующих в и-мерном комплексном пространстве 1': 1) — гхгуг (и = 1); 2) — гхгуг (и = 2); 3) Зх,у, + 4гхгуг — 5хгуг+ гхгуг (и = 2); 4) — Згх,уг + 2хгуг + 2хгуг + (1 — г)хгуг (п = 2); 5) (1+ г)х!уз + (1+ г)хгуг — 5хгТуг (и = 2); 6) (1+ г)хгуг + (1 — г)хгуг — 5хгуг (и = 2); 7) хгу — Зхгуг + (2 + г)хгуг — гхгуг + (4 + г)хгуг (и = 3); 8) 2хгуг — бхгуг + Зхгуг + Зхгуг + Зхгуг + (2 — 51)хгуг+ (2+ 5г)хгуг + 4гхгуг 4гхзуг (и = 3)' и 9) ~ хгУг., 10) ~ хгУ1. г=1 гФ1 68.31. Какие полуторалинейные формы из предыдущей задачи эрмитовы? Записать соответствующие им эрмитовы квадратичные формы. 68.32.
Восстановить эрмитову полуторалинейную форму А(х, у) по эрмитовой квадратичной форме ~(х) = А(х, х). 68.33. Доказать, что в пространстве С""" функция 7'(х) = 169. Формы в енклидовом и унитарном пространствах 159 1г(Х Х) задает положительно определенную эрмитову квадратичную форму. 68.34. Доказать, что в линейном пространстве й""" выражение 1г(АХгХ) задает положительно определенную квадратичную форму тогда н только тогда, когда матрица А положительно определена. 68.35. Доказать, что в пространстве многочленов М„с коме плексными коэффициентами выражение 1((, д) = ) ((1)д(1) р(1)сьг, а в котором непрерывная функция р(1) положительна на (а, б), задает эрмнтову полуторапинейную форму. 969.
Квадратичные формы в евнлидовом и унитарном пространствах Теорема 69.1. ))ля любой «водротичной формы (эрмитовой квадратичной формы) А(х,х) в евклидовом (униторном) пространстве гг существует, и притом единственный, сомосопряженный оператор 'Н ч б()г,р) токой, что А(х,х) = (гсх,х), ах ч У. Теорема 69 2. Юля любой квадратичной формы (эрмитовой квадратичной формы) е евклидоеом (унитарном) пространстве У существует ортонормировонный базис, в котором оно имеет канонический еид.
Операпия построения ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется приведением кводрагличной формы К словным осям. Канонический базис квапратичной формы А(х,х) совпадает с ортонориированным базисом из собственных векторов соответствующего самосопряженного оператора Я, а канонические козффипиенты — с отвечающими вм собственными значениями. Собственные значения оператора гс являются корнями уравнения )Аа — Л1~ = О, которые, вообще говоря, уже не зависят от оператора Я и инвариантно связаны только с самой квадратичной формой. Таким образом, при приведении квадратичной формы к главным осям канонические коэффициенты определены однозначно.
Это позволяет нахопить канонический вид квадратичной формы, минуя вычисление канониче"кого базиса. Что же касается канонического базиса, то он определен стой же степенью произвола, с какой опредепена полная ортонормированная система из собственных векторов самосопряженного оператора. Теорема 69.3 (о паре квадратичных форм). Юля любой поры квадратичных форм (эрмитоеых квадратичных форм) А(х,х) и 6(х,х) в вещественном (комплексном) пространстве У, одно иэ которых положительно определено, существует базис, в котором обе квадратичные Жоомы имеют канонический еид. Глава ХЪ7Х. Билинейные и квадратичные формы -1 У = ~ Х,Х,+1 1=1 ортогональным преобразованием,не находя самого преобразования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
