Том 2 (1113040), страница 31
Текст из файла (страница 31)
х„) = ЯУ(уз... д„) приводит обе квадратичные формы ~ н д к каноническим видам. 69.21. Доказать, что если матрицы квадратичных форм 7" и д перестановочны, то эти квадратичные формы можно одновре- менно привести к каноническому виду одним невырожденным линейным преобразованием. 69.22. Пользуясь перестановочностью матриц следующих квадратичных форм, найти преобразование переменных, приво- дящее эти две формы одновременно к каноническим видам, и записать получающиеся канонические виды: 1) 7' = бхг + бхг+ 6х, '— 10х,хг — 10х,хз + 10хгхз д = — хз + 2хзхг + 2хзхз — 4хгхз', 2) ~ = Зх~ + 4хзхг + 4х,хз + 2хгхз д = 4х~~ + хг г+ хзг + 4хгхг + 4хзхз + 2хгхз,' 3) ~ = хг + бх~~ + хг + 2хзхг + бхгхз + 2хгхз, д = хз — 2хг г+ хзг + 4хгхг — 10хзхз + 4хгхз' 4) ~ = хз + хг + хз + х4 + 2х1хг + 4хгхз + 2хзх4 + 2хгхз + 4хзх4+ 2хзх4, д = 2хз+ 2хг+ 2хз+ 2хз 2хзхг+ 2хгхз — 2хзх4— 2хгхз + 2хгх4 — 2хзх4.
169. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 175 69.23. Две квадратичные формы от и переменных называются ортпогонально эквивалентинмми, если от одной из них можно перейти к другой посредством ортогонального преобразования. Доказать, что для ортогональной эквивалентности двух форм необходимо и достаточно, чтобы характеристические многочлены их матриц совпадали. 69.24. Выяснить, какие из следующих квадратичных форм ортогонэльно эквивалентны: 1) 1 = 9хзз+9хзз+ 12хзхз бхзхз д = — ЗУ, + 6Уз + бдз — 12УзУз + 12УзУз + бУзУз, Ь = 11гз — 4гз~ + 11гз + 8гзгз — 2зз зз + 8гзгз; 2) ~ = 7х', + хз + хз — 8х,х, — 8х,хз — 1бх,хз, д = 2Уз — Уз — Узз — 4Уздг + 4УзУз + 8УзУз 1з = зз гз + 2~/2зз яз. 69.25. Доказать, что любую вещественную невырожденную матрицу А можно представить в виде А = 1~В, где Я вЂ” ортогональная матрица и Я вЂ” верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной диагонали, и такое представление единственно.
69.26. Доказать, что: а) любую вещественную невырожденную матрицу А можно представить как в виде А = Я,В„так и в виде А = ВЯз, где матрицы Я, и Яз ортогональны, а матрицы Вз и Вз — симметрические, с положительными угловыми минорами. Каждое из этих представлений единственно; б) любую комплексную невырожденную матрицу А можно представить как в виде А = ЯзВ„так и в виде А = ВзЯз, где матрицы Яз и Яз унитарны, а матрицы В, и Вз эрмитовы, с положительными угловыми минорами. Каждое из этих представлений единственно; в) пусть А — симметрическая (или эрмитова) матрица с положительными угловыми минорами и  — ортогональная (соответственно унитарная) матрица. Доказать, что: 1) произведения АВ и ВА тогда и только тогда будут симметрическими (эрмитовыми) матрицами с положительными угловыми минорами, когда  — единичная матрица; 2) произведения АВ и ВА тогда и только тогда будут ортогональны (унитарны), когда А — единичная матрица.
Глава ХЧ1П. Линейные нормированные пространства '3'70. Норма вектора Пусть |/ — линейное пространство, вещественное или комплексное. Нор- мой в линейном пространстве Ъ' называется отображение )) . )) ! $г -! К, ставящее в соответствие каждому вектору х Е Ъ' число ))х)) Е К и удовле- творяющее аксиомам; Ух,у Е 1г, а Е К(С) 1) ))х)) > О, причем ))х)! = 0 тогда и только тогда, когда х = У; 2) ))пх)) = )о) )Щ; 3) !)х + У!) < )Щ -й ))у)) (неравенство треугольника) Линейное пространство И с заданной на нем нормой )) )) называется аинебнмм нормнроеаннмм пространством.
Число ))х)) называется кормой еектора х. П р и м е р 70.1. В евклидовом (унитарном) пространстве норма может быть введена как длина, т.е. ))х)) = )х). Эта норма называется еекавдоеоб нормой и обозначается символом )Щк. Итак, ))х))к = фх,х). Справедливость аксиом нормы вытекает из свойств длины, Пример 70.2. В арифметических пространствах К", С" обычно рас- сматривают следующие нормы вектора х = (х!,..., х„): й7! ))х))! = ~ )хй); ))х))з = ( ~ )хй)з); )щ = щак !хй), й=! й=! !<а<а первые две из которых можно записать единообразно в виде ! й/г )) х)) р — — ( 2,' )хй )г) й=! Отметим, что норма )) ))з совпадает с евкпндовой нормой )) ))н для стандарт- ного скалярного произведения, позтому справедливость аксиом нормы дпя )) )~! вытекает из свойств длины. Лпя норм )) ))! и )) ))„, справедливость акси- ом 1 и 2 очевидна.
Аксиома 3 вытекает из неравенства )хй+ уй! < )хй)+)уй), справедливого для любой пары чисел хй, уй, вещественных ипи комплекс- нык: если х = (хй,...,х ) и у = (у!! !у )! то а п а ))х+ у))! = 2 )х! + Уй) < 2,()хй(+ )уй)) = ~ )х!) + 2 )уй) = )Щ -г ))у))й; й=! й=! й=! й=! )!я+у!) = и!ах )ха+уй) < !пах ()хй)+)у!)) < щак )хй)+ и!ах )уй) = !<й< !<й<» !<й< й<й< = )!х))„, + ))у)),., 177 270. Норма вектора Пример 70.3. Аналогичные нормы рассматриваются в произвольном конечномерном линейном пространстве 1/ 1вещественном или комплексном): г если ем...,е — базис р и х = ~~„, хьеь, то ~ ь/о 11х11р — — ~ 1хь1о, где Р = 1,2, 11х11ьь — — щах 1хь!. 1<в< ь=1 Такие нормы называются соответственно нормами 11 11м 11.11з и 11.11, отпносительно базиса ем, .., е„. Справелливость аксиом нормы проверяется так ие, как и в предыдущем примере.
Пример 70 4. В пространствах матриц й~"" и С~"" рассматривают следующие нормы матрицы А = (атд): 11А111 = пьах 2 1аь/); 11А1)ьь = щах 2 1аь/); 1/3 11А!(я = (~ 2 т1аьэ)з) ев [Ьг(А А)~ з,ь=щ=1 Справедливость аксиом нормы проверяется так же, как и в примере 70.2. Теорема 70.1. В нормированном пространстве 1/ отображение р: Р х \/ -+ К, определенное равенстлвом р1х, у) = 11х — у)1, Чх, у Е 1/, является метрикой. Последовательность векторов 1хой) в нормированном пространстве 1/ называется сходящейся по норме к вектору а Е 1/, если 1пп 11х/"1 — а11 = О.
Ьльь Вектор а при этом называется пределом последовательности 1х/ь1) по нор- ме 11 11. О б о з н а ч е н и е; 1пп х1 ь1 = а или х/ь1 -+ а. Ь-ььь Теорема 70.2. Сходящаяся по норме последовательность имеепь единственный предел. Пусть хо Е 1/ и т > О. Множество $/хо,т) = (х Е 1/~ 11х — хо11= тэ) называется сферой радиуса г с центром хо по норме 11 11, а множество В/хо,т) = (х Е 1/ ! 11х — хо11 < т ) — замкнутым шаром радиуса т с центром х, по норме!! !1.
Пример 70.5. Ниже на рис. 1 точками плоскости изображены сферы ралиуса единица с центром хо = 10,0) по нормам 11 11ы 11 11з, 11 )1 в арифметическом пространстве Й . э Множество М в нормированном пространстве 1/ называется ограничен- ным, если существует число с > 0 такое, что 11х)! < с для всех векторов х Е М. Множество М называется компактпны.и, если иэ любой последова- тельности векторов, лежащей в М, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся по норме к вектору а Е М. Теорема 70.3. Сфера Яя(хо,т) и замкнутый шар Вя/хо,г) в про- стпранстве с евклидовой нормой явлвютпсв компактными множествами.
П8 Глава ХИП. Линейные нормированные пространства 1И =1 ))х!)! = 1 Рис.1 Пве нормы )) )!~ и )! )) ! в линейном пространстве 1/ называются эквивалентными, если существуют такие числа с! > О, сз > О, что для любого вектора х б !/ выполняются нераненства ))х)) < с!))х)) и ))х)) < сз))х)) .
Теорема 70.4. В конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны. Следствие. В конечномерном пространстве из сходимости но одной норме следует сходнность но любой другой норме. Пример 70.6. Показать, что норму в арифметическом пространстве К" (С*') можно определить равенством !/р !)х))р — — ~ ~ )хь)Р/), р > 1. ь=! Эту норму называют также нормой Гельдера с показателем р. Решение. Проверка аксиом нормы нетривиальна лишь для неравенства треугольника, которое для нормы )) ))р совпадает с классическим неравенством Минковского: !хе+ уь) < ~~' )хь)' + ~)уь)" (70.1) Его вывод опирается на так называемое неравенс!нво Гельдера: !/р / ! !/в )хьуь) < ~ )хь) ~~' )уь)в — + — = 1 1 1 ь=! ь=! ь=! Покажем сначала неравенство Гельдера. Отметим, что функция /(х) = х" — ах на интервале (О,оо) при о Е (0,1) достигает максимума в точке х = 1.
Пействительно, /'(х)†: .о(хь 1) = 0 при х = 1, причем /'(х) > 0 при х й (0,1) и /'(х) < 0 при х > 1. Следовательно, /(х) < /(1), что эквивалентно следующему неравенству х — ах < 1 — а, !/о й (О, 1), чх > О. Если в этом неравенстве положить х = а/Ь, о = 1/р, где а, Ь вЂ” произ- "270. Норма вектора вольные положительные числа и р > 1, то получим После умножения обеих частей на 6, придем к неравенству „зггб!!ч < о Р Ч 1 1 где — + — =1, р>1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
