Том 2 (1113040), страница 30
Текст из файла (страница 30)
1)ля построения ортонормированного базиса из собственных векторов, общих для матриц А и В, поступим так же, как и в примере 69.6: общие собственные векторы будем искать в собственных подпространствах этих матриц. Нля матрицы А: — собственному значению Лз = 0 отвечает один линейно независимый собственный вектор Б = (О, 1, 1)т; — собственному значению Лз = Лз = 2 отвечает двумерное собственное подпространство В = ((ам аз,аз) )аз+ аз = О).
Нля матрицы В: — собственному значению рз = рз = -3 отвечает двумерное собственное подпространство М = ((и ы аз, аз) ! 2цч — аз + аз = 0); — собственному значению дз = 21 отвечает один линейно независимый собственный вектор дз = (2, -1, 1)т. Так как дз Е Ь, то в качестве одного из собственных векторов матрицы А, отвечающих собственному значению Лз = Лз = 2, можно выбрать вектор з'з = дз. Аналогично, так как Б Е М, то в качестве одного из собственных векторов матрицы В, отвечающих собственному значению р~ = рз = -3, можно взять вектор д1 = Б. Третий собственный вектор уз = дз, общий для матриц А и В, должек принадлежать обоим подпространствам В и М, и поэтому ,(з = дз = (оз, оз, оз) Е Х П М с=; ( 2а1 — аз+ аз = О, Отсюда уз = дз = (1, — 1, 1) Как и в предыдущей задаче, ни одна из этих квадратичных форм не является знакоопределенной (в матрице А: Ьз = О, в матрице В: Ьз < 0), однако матрицы А и В перестановочны: 169.
Формы в евклидовом н унитарном пространствах 169 После нормировки получим искомый ортонормированный базис из обпвзх собственных векторов: е1 = — (О, 1, 1), ет = — (1, -1,1), ез = — (2,-1, 1) з/2 з/3 з/6 Таким образом, если 1 2 з/3 з/6 1 1 ч'3 з/6 1 1 з/3 з/6 1 ,/г 1 з/2 то замена переменных 2 Уз| 1 1 з/3 1/6 1 1 — уз + — уз ~/3 з/6 1 хз = — уз+ ,/3 1 хз — У1 з/2 1 хз = Я уз ч=з хз = — у1+ з/2 преобразует квадратичные формы к каноническим видам / = 2уг + 2уз у = ЗУ1 Зуз + 21уз ° г з з з 3 А Д А хз И 69.1.
Найти канонический вид, к которому приводятся следующие квадратичные формы посредством ортогонального преобразования, не находя самого этого преобразования: 1) Зхг + Зхз + 4хзхг + 4хзхз — 2хгхз~ 2) 7хг + 7хг + 7хг з+ 2хзхг + 2хзхз + 2хгхз' 3) хг — 2х,х — 2х,х — 2хгхз, 4) Зхг+Зх' — хг — 6х,хз+4хгх,, 5) — Зхг + 4хзхг + 10х,хз — 4хгхз) 6) — х', + хг — 5хг + 6хзхз + 4хгхз, 7) 2х,хз + 6х,хз, 8) х~з + 4хг+ х~з+ 4х4+ 4хзхг + 2хзхз + 4хзх4 + 4хгхз + 8хгх4+ 4хзх4. 69.2. Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие квадратичные формы к каноническому виду (к главным осям), и выписать этот канонический вид: 1) 6хг+5хгг+7хг з4х,хг+4х,хз; 2) 11хгз + 5х' + 2хг + 16х,хг + 4хзхз — 20хгхз,.
3) хг + хг + 5хз г— 6хзхг — 2х,хз + 2хгхз' 170 Глава Хай Билинейные и квадратичные формы 4) 17хг + 14хгг + 14хз г— 4хзхг — 4хзхз — Вхгхз 5) хг — 5хг + хг + 4х,хг + 2х,хз + 4хгхз, 6) Вх, — 7хг + Вхз + Вх,хг — 2х,хз + Вхгхз' 7) 2хзхг — бхзхз бхгхя + 2хзхз~ 8) 5хг + 5хг г+ 5хзз + 5х4 — 10хзхг + 2хзхз + бхзхя + бхгхз + 2хгх4 10хзхз,' 9) Зх~з + Вхзхг — Зхг + 4хз — 4хзх4 + х4~ 10) х1 + 2хзхг + хг — 2хз — 4хзхз — 2х4,' 11) 9х~ + 5хг + 5хз + Вх.з + Вхгхз — 4хгх4 + 4хзх4; 12) 4х,' — 4х,хг + хг г+ 5хз г— 4хг + 12хзхз + хгз; 13) 4хг 4хг г— Вхгхз + 2хзг — 5хг ~+ бх4хз + Зхг; 14) Зхг + Вхзхг — Зхг + 4хз бхзх4 — 4х4 + 4хз г+ 4хзхз + хзг; 15) ~ хз г+ ~ хзхг; 16) ~ , 'хзх .
я=1 я<э Я<1 69.3. Доказать, что невырожденную вещественную квадра- тичную форму можно привести к нормальному виду ортогональ- ным преобразованием тогда и только тогда, когда ее матрица ортогональна. 69.4. Доказать, что матрица положительно определенной квадратичной формы ортогональна тогда и только тогда, когда эта форма есть сумма квадратов. Как это утверждение форму- лируется на языке матриц? 69.5. Пусть Ь вЂ” г-мерное линейное подпространство и-мерно- го евклидова пространства $'. Обозначим через к(х) квадрат длины ортогональной проекции вектора х на подпространство Л.
Доказать, что отображение х з й(х) задает квадратичную форму в Ъ'. Найти канонический вид этой квадратичной формы. 69.6. Найти унитарное преобразование, приводящее следу- ющие эрмитовы квадратичные формы к каноническому виду (к главным осям), и написать этот канонический вид: 1) 2!х,!'+ зх,х, — зх,х, + 2!хг!г.
2) !х,!'+ (3 — 4з)х,хг + (3+ 4г)хгх, + !хг!~; 3) 3!хз!~ + 3!хг!г — 5!хз!' — зх,хг — гхгх,; 4) !х,!'+!хг!~+!хз!'+хзхг+хгхз+зхзхз — гхзхз+зхгхз — гхзхг', 5) 12!хз!г — (1 + г)х,хг — (1 — г)хгх, + 2хзхз + 2хзхз + (3 + Зг)хзхз + (3 — Зз)хзхз + 12/хг!г + (1 — г)хгхз + (1+ г)хзтг 2хгхз— 2х4хг + 8/хз!г — (1+ г)хзх4 — (1 — з)х4хз + 8/х4!г.
69.7. Доказать, что квадратичная форма является положи- тельно определенной тогда и только тогда, когда все собствен- збд. Формы в евклидовом и унитарном пространствах 171 кые значения ее матрицы положительны, и отрицательно определенной тогда и только тогда, когда отрицательны.
69.8. Доказать, что все собственные значения трехдиагональной матрицы порядка 9 вида — 2 1 0 ... 0 1 — 2 1 ... 0 0 1 — 2 ... 0 0 0 0 ... 1 отрицательны. 69.9. Доказать, что трехдиагональная матрица порядка 10 вида 1 — 3 0 0 ... 0 — 3 2 1 0 ... 0 0 1 — 2 1 ... 0 0 0 0 0 ... — 2 9 от и ательных собственных значени" имеет р ц и, а ее максимальное собственное значение больше единицы. 69.10. Доказать, что собственные значения вещественной симметрической матрицы А лежат на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда квадратичная форма с матрицей А — ЛэХ положительно определена при любом Лв < а и отрицательно определена при любом Лэ ) Ь.
69.11. Пусть А и  — вещественные симметрические матрицы. Доказать, что если собственные значения матрицы А лежат на отрезке [а, Ь[, а собственные значения матрицы  — на отрезке [с, д], то собственные значения матрицы А+ В лежат на отрезке [а + с, Ь + д~.
69.12. Доказать, что квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты характеристического многочлена ее матрицы отличны от нуля, и знаки этих коэффициентов чередуются, причем свободный член положителен. 69.13. Пусть у и д — пара квадратичных форм от одних и тех же переменных, причем форма д невырождена. Доказать, что при любом преобразовании координат, приводящем обе формы к каноническому виду у Л 2+ +Л 2 д р,92+ + 92 172 Глава ХУП. Билинейные и квадратичные формы .л, л„ совокупность отношений —,..., — одна и та же, причем зти И»з отношения являются корнями Л-уравнения (А — ЛВ( = О, где А и  — матрицы форм 1 и д соответственно.
69.14. Пусть дана пара квадратичных форм ~ и д от одних и тех же переменных, причем форма д положительно определена. Доказать, что канонический вид 1 = Л,д~ +... + Л„дг, получаемый для формы 7" при любом линейном преобразовании, приводящем форму д к нормальному виду, определяется одно- значно с точностью до порядка слагаемых, причем его коэффи- циенты Л„ ...,Л„ являются корнями Л-уравнения )А — ЛВ! = О, где А и  — матрицы форм 7' и д соответственно 69.16. Выяснить, можно ли следующие пары квадратичных форм привести к каноническому виду одним вещественным не- вырожденным линейным преобразованием: 1) 7' = х, + 4хгхг — хгг, д = х', + бх,хг + 5хгг; 2) 7 = хг + х>хг — хг, д = х, — 2х,хг. г г г 69.16.
Пусть даны две положительно определенные квадра- тичные формы 7 и д, и пусть одно невырожденное линейное преобразование переменных приводит форму 7" к виду 2 Лгуг, г=г а форму д к нормальному виду, а второе преобразование, на- оборот, форму 7' приводит к нормальному виду, а форму д к » виду 2 д,г~. Найти связь между коэффициентами Лм..,,Л„и >=1 >» > ° ° »>».
69.17. Найти канонический вид квадратичной формы ~> к которому она приведется преобразованием, приводящим поло- жительно определенную квадратичную форму д к нормальному виду (не находя самого преобразования), если: 1) ~ = — 4хгхг> д = х> — 2х>хг + 4хг', 2) У = хг + 56хг + 16х>хг, д = хг + 26хг + 10х>хг, 3) У = хг + 2х>х, + хг, д = 10хг + бх>хг + хгг; 4) ~ = 89х', — 42х,х, + 5хг, д = 41х', — 18х>хг + 2х', 5).~ = 7хгхг + 31хг д хг + 2х>хг + 2хгг' 6) >г = 8х> — 5х>хг + гхг, д = х> — хгхг + гхг> 7) ~ = 2х~ ~+ х>хг + х>хг 2хгхг + 2хгхя д = 7хг + хг + х', + 2х4 + 2хгхя, "збд.
Формы в евклидовом и унитарном пространствах 173 8) з = хг + г хг — 2хзг + х4 + 2хгхг + 4хгхз, д хг + Зхг + хз + хг + 2хгхз. г з г г г 69.18. Проверить, что по меньшей мере одна из двух дан- ных квадратичных форм является знакоопределенной. Найти преобразование переменных, приводящее эти две формы одно- временно к каноническому виду, и записать получающиеся ка- нонические виды обеих форм: 1) 7' = хг + 2х,хг + Зхг, д = 4хг + 16х,хг + бхг; 2) У' = 2хг — Зх,хг — '-хг, д = 2хг + бх,хг + 5хг; 3) ~ = 11хг — бхгхг+хг, д = 13хг — 10х,х, + Зхгг; 4) ~ = дхг — 10хгхг + Зхгг, д = 2хгхг — хгг; 5) у = хг — 2х,х, + хг, д = 17хг+ бх,х, +хг; 6) г' = хг + 2х,хг + 5хгг, д = 2х1хг — гхг — хгг; 7) у = хг+ 2хгг+ Зхг з+ 2хгхг — 2хгхз, д = 2хг + 8хг + Зхг + бхгхг + 2х,хг + 4хгхз, 8) Г' = — хг 5хг г14хгз + 4хгхг + бхзхз 8хгхз д = — хг — 14хг г— 4хз г+ 8хгхг — 2хгхз + 4хгхз~ 9) ~ = 5хг + 2хгхг + 4хгхз + хг + 4хгхз + 4хг, д = 5х, — 2хзхг + 4х,хз + хг г+ 2хгз,' 10) У = 15хгг — 4хзг — 10х,х, — 8х,хз + 22х,хз, д = х~г — 2хгхз + 4хгг + 4хгхз + 5хзг', 11) У' = бхг + бх,хз + хг — бхгхз + бхзг д = 2х', + 2х,хз + х, '— 2х,хз + 2х'„ 12) ~ = 2хг — 2х, хг — 2х,хз + хг + 2хг, д = 9хг — 12х,х, — 24х, хз + 4хг + 1бхгхз + 16хг; 13) У' = хг+ Зхгг+ хгз — хг~ — 2хгхг — 4хгхз+ 2хзх41 д = хг + 2хг г+ 2хз г+ 2х4 — 2хгхг — 2хгхз — 2хзх4', 14) ~ = хг+7хгг+1бхзг+19хг — 4хгхг+10хгхз — 10х,х4 — 2бхгхз+ 8хгх4 — 2хзх4~ д = — х, +2хгхг — 2хг+4хгхз — 5хз+бхзхг — 10хг 15) 7 = хг — 4хгхз + 4хгз — 4хзхг + 4х4, д = хг — 2хгхг + 2хг г— 2хгхз + 2хз г— 2хзх4 + 2х~~.
69.19. Пусть А и  — матрицы квадратичных форм ~ и д от переменных х„..., х„, причем известно, что форма д поло- жительно определена. Локазать, что: а) корни Л-уравнения )А — ЛВ! = 0 совпадают с собственными значениями симметрической матрицы В '~гАВ '~г; б) если ортогональная матрица У приводит матрицу В '~гАВ '~г к диагональной форме Ю = йаб(Л„..., Л„) пре- образованием подобия: 174 Глава ХЪ'11. Билинейные и квадратичные формы [7т(В-цгАВ-г/г)Я Р то замена переменных (х " х-)' = БЬ " д-)' где Я = В '~гУ, приводит обе квадратичные формы ~ и д к ка- ноническим видам: ~ = Лздг+...+Л„дг, д = дг+...
+дг. 69.20. Пусть А и  — матрицы квадратичных форм 7" и д от переменных хм...,х„, причем известно, что форма д невы- рождена, а матрица В 'А диагонализуема и при этом Я '(В "А)Я = Р = йаб(Л„..., Л„), где Я вЂ” невырожденная матрица соответствующего преобразо- вания подобия. Доказать, что: а) если все диагональные элементы Л„...,Л„матрицы Р различны, то квадратичные формы ~ и д приводятся к кано- ническим видам одним преобразованием (х " х-)' = В(д " д-)'; б) в случае, когда среди диагональных элементов матрицы Р есть равные числа, то существует ортогональная матрица У такая, что преобразование (хз...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
