Том 2 (1113040), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Покажем теперь, какие изменения нужно внести в метод элементарных лреобразоеаний. Отметим, что аннулировать все внедиагональные элементы матрицы А квадратичной формы элементарными преобразованиями столбцов и такими же преобразованиями строк не удастся, так как главная диагональ матрицы А нулевая.
Поэтому сначала выполним предварительное преобразование. "1бу. Формы в линейном пространстве 145 Прибавим к 1-му столбцу 2-й, а затем прибавим к 1-й строке 2-ю строку. Имеем: 1/2 11 0 01 А! =Х|АХ! = 1/2 0 1/2, где Х! = ~ 1 1 0 ~. 1 1/2 0 0 0 1 Теперь уже Ь! = 1 ф 0 и можно преобраэованиами, аналогичными проведенным в предыдущей задаче, обнулить внедиагональные элементы 1-го столбца и 1-й строки матрицы А!. Вычитая из 2-го столбца 1-й столбец, умноженный на 1/2, а затем вычитая из 2-й строки 1-ю строку, умноженную на 1/2, получим ) 1 — 1/2 0 1 где Хз= 0 1 0 ~0 0 1~ 11 0 11 АЗ = Хч А!Хз = 0 -1/4 0 1 0 0 ~ Вычитая из 3-го столбца 1-й столбец, а затем вычитая из 3-й строки 1-ю строку, получим ! 1 0 0~) Аз = Хз АЗХз = 0 — 1/4 0 0 0 — 1 ~ Г1 0 -1 где ХЗ=~О 1 0 0 0 1 Матрица Аз — диагональная, следовательно, квадратичная форма / приведена к каноническому виду 2 1 2 2 22 ХЗ.
4 Матрица Я перехода является произведением матриц используемых элементарных преобразований: ! 1 — 1/2 -1 ) Я=Х!ХЗХЗ= ~ 1 1/2 -1 ~. 0 0 1 Соответствующее преобразование координат осуществляется по формулам 1 1 Х! = З! — — 22 — ЗЗ, Х2 = 21 + -22 — ЗЗ, ХЗ = ЗЗ. 2 ' 2 Отметим также, что это преобразование, как и в модифицированном методе Лагранжа, не будет треугольным.
° Пример б7.5. Привести квадратичную форму / = 4х2 — 12|х ! хз — 1 Ох |2 к каноническому виду и найти приводящее к нему преобразование координат. Решение. Применим метод Лагранжа: / = (2Х1 — З|хз) + Охз ~— 10хз з= (2Х1 — 3|хз) — хз з= уз — УЗЗ, где у! = 2х! — ЗЗХЗ, уз = х|. Таким образом, каноническим видом будет фоРма У! — Уз, а формулы преобразования координат имеют вид 2 2 1 31 Х1 У1 + УЗ> Х2 = У2. ° 2 2 Глава ХИ1. Билинейные н квадратичные формы 146 Пример 67.6. Найти канонический вид квадратичной формы / = х', — 2х, '+ хз + 2х«хз + 4х«хз + 2хзхз. 1 1 2 Р еш е н не.
Матрица квадратичной формы равна А = 1 -2 1 2 1 1 ее угловые миноры равны соответственно: гз« = 1, Ьг = — 3, «зз = 8. Согласно формулам Якоби каноническими коэффициентами квадратичной формы являются числа «21 «Зг «2 з 8 Л« = — =1, Лз= — = — 3, Лз= — = — —, 1 ' «21 ' «зз 3' так что каноническим видом квадратичной формы будет форма 8 у, — зу — — и . ° 3 ЗАДАЧИ 4 2 4 2 — 3 0 4 0 4 1) 4 ' 2) ,з> [ 6Т.1. Составить матрицы данных билинейных форм в пмерном линейном пространстве: 1) хзу1 (и = 1); 2) хзуз (и = 2)', 3) хзуг — хгу1 (и = 2)', 4) 2хзу1 — хзуг — хгу1 — 5хгуг (и = 2)1 5) хзУг+ 2хгУз+ ЗхзУ, (и = 3); 6) х,У, — Зхзуз + 7хгУз + хгУ1 — ЗхзУ1 + 7хзуг + хзуз (и = 3); и и и 7) 2 хзу;; 8) 2 (з — у)хзу,; 9) 2 х,уие,,; «=1 «3=1 «=1 10) 2.
х у,; 11) 2 х у,. У 6<1 « — 1'<г 67.2. Для симметричных билинейных форм из предыдущей задачи записать соответствующие им квадратичные формы. 6Т.З. По данной квадратичной форме А(х,х) в п-мерном пространстве восстановить полярную к ней билинейную форму А(х, у): 1) — Зхг (п = 1); 2) — 18х,х, + 9хгг (и = 2); 3) хг + 4хгхг+ 4хзхз+ бхгг+ 12хгхз + 7хз г(и = 3); и-1 4) 2х', — бх,хг — Зх' (и = 3); 5) ~ х;х«.11. «=1 67.4. Выписать общий вид квадратичной формы, имеющей в некотором базисе матрицу: 167. Формы в линейном пространстве 147 2 — 1 ΠΠ— 1 2 — 1 — 1 Π— 1 2 ΠΠ— 1 О 2 4) 5) А = (а;,) Е К""", где а,, = ~ Г 1, /1 — Я=1, 67.5.
Как изменится матрица билинейной (квадратичной) формы, если изменить базис е,,..., е„следуюп»им образом: 1) поменять местами 1-й и ~-й векторы базиса; 2) умножить 1-й базисный вектор на число с» ~ О; 3) вектор е, заменить на е; + оез Ц ф 1); 4) векторы базиса записать в обратном порядке? 67.6. Квадратичная форма и линейный оператор имеют в некотором базисе одинаковые матрицы. Какой должна быть ма- трица перехода от этого базиса к другому базису для того, что- бы в другом базисе матрицы квадратичной формы и линейного оператора также совпадали? 67.7. Треуеольным преобразованием координат называется преобразование вида х» Дму»+ ч12уз+ ' ' + Ч»пуп~ х2 а Уз+" +аз»у, х„= Чип уи1 ~ = Л, у,'+... + 1,у,', где Л» ~ О (к = 1, г), необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры матрицы А квадратичной формы удовлетворяли усло- виям Ь»фО (й<т), Ь» — — О (й>т); где да Ф О, 1 = 1, и.
Доказать, что: а) треугольное преобразование не вырождено и преобразование, обратное у нему, тоже треугольное; б) угловые миноры».'»», к = 1., и, матрицы квадратичной формы при треугольном преобразовании координат, в котором все коэффициенты да, »' = 1, п, равны 1, не изменяются. 67.8.
Локазать, что: а) для того чтобы квадратичную форму 1 ранга т треугольным преобразованием можно было привести к каноническому ви- ду 148 Глава ХИ7. Билинейные и квадратичные формы б) указанный канонический вид определен однозначно,причем его коэффициенты находятся по формулам Лй=, й=1,г, Ьй г.йй — г где Ьа —— 1. 67.9. Найти канонический вид для следующих квадратич- ных форм: 1) 4х, + 4х,хг+ 5х,'; 2) х', — хгхг — хг; 3) 25хг + 30х, хг + 9хг; 4) — х', + 2х,хг — 2хг; 5) — 1бхз+24хзхг — 9хг; б) хз+х~~+4х~~+4хзхз+2хгхз, 7) хг — Зхг г4хз г+ 2хзхг + 2хзхз бхгхз; 8) хг + 5хг 4хз г+ 2х,тг — 4х,хз; 9) 4х~з + хг г+ хз г— Зхзхг + 4хзхз 4хгхз,' 10) — 12хг — Зхг — 12хг + 8хзхг — 24хзхз + 12хгхз' 11) хг + 2хг + 2хг + Зхг + 2хзхз + 2хгхз + 2хзхв,' 12) — хз хг хз + хзхг + хгхз' 67.10.
Доказать, что билинейная форма А(х, у) в и-мерном пространстве симметрична тогда и только тогда, когда суще- ствует базис е,,..., е„пространства, в котором она имеет вид и и п А(х,у) = 2 Хйхйуй, Чх = 2 хйей, 1зу = ~ уйей. й=з й=з й=й 67.11. Найти канонический вид и преобразование коорди- нат, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм: 1) 2х~~ + 18хгг + 8хгз — 12хзхг + 8хзхз — 27хгхз,' 2) 2хг + Зхг + 4хг — 2хзхг + 4хгхз — Зхгхз; 3) 9хг + 4хг + хг — 12хзхг бхзхз + 4хгхз,' 4) 8хг + 8хг + хг + 1бх,хг + 4х,хз + 4хгхз', 5) Зхг — 2хг + 2хз г+ 4хзхг — Зхзхз — хгхз', б) хг~ + 4хг г+ бхв хзхг + хгхз хзхя; 7) хзхг + хгхз + хзхв + хвхз' 8) Зхг + 2хг хз 2хв + 2хзхг — 4хгхз + 2хгхв,. 9) хзхг + 2хгхз — Зхзхв,' 10) хг + хг + хз + хв г+ ха г+ хв г— 2х,хз — 2хгхв — 2хзхв — 2хвхв; и 11) ~ айа,хйх,, где не все числа ио в = 1, и, равны нулю; йд=з й ти-1 12) ~ хйг+ ~ хйх; 13) ~ хйх,.; 14) ~ хйхй,, й=1 й<1 й<г й=з Зб7.
Формы в линейном пространстве 149 х, +... + х„ 15) 2 (хз — з)', где з = "; 16) 2 ~й — у~ хзх,; з=з гз з(1 17) 4хг — 12зхгхг — 9хгг, 18) 9хг+24(1+ з)хзхг + 1бхгг; 19) зхгхг, 20) (1+г)хг, +(2+2з)хгхз+зхгг+Зхгз; 21) хг + (2 — 2з)х,хг + 2х,хз + 2зх~ ~+ (2 + 2з)хгхз + (1 + з)хг„' 22) — хг — 4зхзхг — (2 — 2г)хзхз + 4хг — (4+ 4з)хгхз + 2зх~~. 67.12. Показать, что отношение конгруэнтности является отношением эквивалентности на множестве квадратных матриц одинакового порядка. 67.13.
Доказать, что две квадратичные формы от и пере- менных эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы конгруэнтны. 67.14. Для следующих квадратичных форм найти невыро- жденное линейное преобразование координат, переводящее фор- му 1 в форму д: 1) ~ = 2хг + 9хг г+ Зхз + 8хгхг — 4хзхз — 10хгхз, д = 2у,'+ Зу,'+бу,' — 4угуг — 4узуз+ 8угуз' 2) 1 = Зхг + 10хг + 25хг — 12хзхг 18хгхз + 40хгхз д = 5Уг + 6Уг + 12Уздг~ 3) ~ = 5хг + 5хг г+ 2хг + 8хзхг + бхгхз + бхгхз, д = 4уг + Угг + 9Узг 12УзУз.
67.15. Выяснить, какие из следующих квадратичных форм в вещественном пространстве эквивалентны между собой: 1) Л = хз — хгхз Уг = Узуг Уз Уз = гзгг+гз' г г г. 2) з з — — хг + 4хг + хз + 4х, хг — 2х,хз Уг — — Уг + 2Уг — Уг + 4УгУг — 2У,Уз — 4УгУз, зз = — 4г~~ — яг~ — гз~ — 4кг гг + 4а,гз + 18ггяз 67.16. Доказать, что в линейном пространстве И"'" выра- жение 1г(Хг) задает квадратичную форму. Определить ее ранг. з 67.17. Показать, что выражение 1(у,д) = )' ~(1)д(1) Ж явля- -1 ется симметричной билинейной формой в пространстве многоче- нов М„.
Привести ее к каноническому виду при п = 3. 1 67.18. Показать, что выражение 1(1, д) = ) 1'(1)д'(1) ~й явля— 1 ется симметричной билинейной формой в пространстве многоче- нов М„. Привести ее к каноническому виду при п = 3. Глава ХУХ1 Билинейные и квадратичные формы 150 868. Квадратичные формы в веп1ественном и комплексном пространствах Пусть А(х, х) — квадратичная форма в вещественном пространстве. Общее число ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичная формы ранга г равно г. Число к положительных коэффициентов называется положительным индексом инерции квадратичной формы, а число и = г — я — ошрицапьельным индексом инерции, их разность а = к — и — сигнатурой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
