Том 2 (1113040), страница 23
Текст из файла (страница 23)
130 Глава ХЪ'1.Линейные операторы в унитарном пространстве 266. Разложения линейных операторов и матриц Теорем а 66.1. Линейный оператор А е унитарном (ееклидоеом) пространстве может быть представлен, и притом единственным абра. эом, е виде суммы А = Н+)С (66.1) эрмитоеа (симмегпрического) оператора Н и косоэрмитоеа (кососимметрического) оператора К. Разложение (66.1) называется эрмитоеым разложением операгпора А. В унитарном пространстве эрмитово разложение может быть переписано в виде А = Нз + 1Нз, где Н~ и Нз — зрмитовы операторы.
Теорема 66.2. Линейный оператор А Е С(Ъ','ь') е унитарном (ееклидоеом) пространстве нормален тогда и только тогда, когда операторы Н и К е эрмитоеом разложении (66.1) этого оператора перестаноеочны. Теорема 66.3. Любой оператор А е унитарном (ееклидоеом) пространстве может быть предстаелен е виде проиэеедения (66.2) неотрицательного оператора Н и унитарного (ортогонального) оператора И. При этом оператор Н определен однозначно, а если А обратим, гло однозначно определен и операгпор И.
Разложение (66.2) называется полярным разложением операглора А. Теорема 66.4. Оператор А нормален тогда и только тогда, когда е любом его полярном разложении (66.2) операторы Н и И перестаноеочны. à — 1 -71 Пример 66.1. Найти полярное разложение матрицы А = [ 1 7]. Р е го ение. Известно (см. задачи 66.46 и 66.47), что в полярном разложении А = ВУ матрица В является квадратным корнем из матрицы ААт, а матрица Г) переводит ортонормированный базис из собственных векторов матрицы А А в ортонормированный базис из собственных векторов матрицы АА .
Имеем А А = 2 [ 7 49 ~ собственными значениями А А являт т ются числа р( — — О, рзз — — 100, а ортонормированным базисом из собственных векторов А А — векторы е~ = — (7,-1), ез = — (1,7) . Аналогичт 1 т 1 т бз/2 бз/2 т Г 1 — 11 2 2 но, АА = 50 [ 1 1 ~, числа р~ — — О, рэ = 100 являются собственными т 1 т 1 т значениями АА, а векторы (ь = — (1, 1), уз = — ( — 1, 1) образуют орс/2 з/2 тонормированный базис из собственных векторон ААг. Обозначим через 'т,';[-~ ~1 =Д[1 ~1 матрицы, столбцами которых являются векторы ем ее и Л,уз. В этих обо.
значенияхАА = 1е [О 100 1 1е = Я [О 100~ 14, поэтому В = (АА ) т -зГО 01 тГО 01 т Пз збб. Разложения линейных операторов и матриц 131 тГО 01 Г 5 — 51 Г 5 -51 [О 19]Я=[ 5 5].Такимобразом,В=[ 5 5]. Спрут 1ГЗ вЂ” 41 гой стороны, ГГег = Ум ГГез = Уз, т.е. ГГР = Я и сГ= ЯР = — [ 4 5 ~ Таким образом, А = ВГГ, где В = 5 5 ], ГГ = — [ 4 51 3 а м е ч а н и е. Во избежание больших вычислений полезно помнить, что собственные значения матриц А А и АА лишь множителем отличаются Г1 71 Г 1 -1 от собственных значений матриц [ 7 49 ] и [ 1 1 ] соответственно, а собственные векторы совпадают. ° ЗАДАЧИ Эрмитово разложение 66.1. Во что переходит эрмитово разложение матрицы порядка п при и = 1? 66.2.
Что можно сказать о линейном операторе А, действующем в унитарном пространстве ~', если (Ах, х) = 0 для всякого вектора х Е $'? 66.3. Что можно сказать о линейных операторах А и В, действующих в унитарном пространстве $', если для всех векторов х Е ь' выполнено равенство: а) (Ах,х) =(Вх,х); б) ГАх,х) = (х,Вх)? 66.4. Доказать, что если для линейного оператора А, действующего в унитарном пространстве 1", скалярное произведение (Ах, х) есть число действительное, каков бы ни был вектор х Е $', то А — эрмитов оператор. 66.6.
Показать, что в определении положительно определенного оператора, действующего в унитарном пространстве, требование, чтобы этот оператор был эрмитовым, является излишним. 66.6. Пусть 'Н и Б — эрмитовы операторы. Показать, что скалярное произведение (Мх, Ях) будет действительным числом для любого вектора х тогда и только тогда, когда операторы Я и 8 перестановочны. 66.7. Что можно сказать о матрице А Е С""", если она ортогональна а) любой эрмитовой матрице; б) любой косоэрмитовой матрице в смысле скалярного произведения (А, В) = 1г(ВнА)? 132 Глава ХЧ1.Линейные операторы в унитарном пространстве 66.8. Пусть матрица А Е С""" такова, что для любой эрмвтовой матрицы Н след произведения АН есть действительное число.
Доказать, что в этом случае матрица А эрмитова. 66.9. Как связаны эрмитовы разложения оператора А и его сопряженного А'? 66.10. Показать, что для нормального оператора А, действующего в унитарном пространстве, собственные значения операторов Я, и Н, в его эрмитовом разложении А = 'Н, + Жз совпадают соответственно с действительными и мнимыми частями собственных значений оператора А. 66.11.
Показать, что всякий ортонормированный базис из собственньгх векторов нормального оператора А является в то же время базисом из собственных векторов и для операторов 'Н„ Яз его эрмитового разложения А = Н~ + Жз. 66.12. Пусть А и  — перестановочные нормальные операторы, и А = Я~ + гНз, В = Б~ + зВз — их эрмитовы разложения. Доказать, что все операторы Н„Яз, Бм Бз перестановочны. 66.13. Пусть А — оператор п-мерного унитарного пространства 1' с эрмитовым разложением А = 'Н, + зНз. Доказать, что множество значений скалярного произведения (Ах,х), где т Е И вЂ” произвольный нормированный вектор, заключено в прямоугольнике (аы Д ), (аы р"„), (а„, Д ), (а„, В„).
Здесь аы Д и а„, )3„— соответственно наибольшие и наименьшие из собственных значений операторов Н~ и Яз. 66.14. Пользуясь предыдущей задачей, доказать следующую теорему Бендиксона: действительные (мнимые) части собственных значений оператора А, действующего в унитарном пространстве, заключены между наибольшим и наименьшим из собственных значений оператора Н, (соответственно Нз) его эрмитова разложения А = Н~ + Жз.
66.15. Доказать, что собственные значения оператора А, действующего в евклидовом пространстве, заключены между наибольшим и наименьшим из собственных значений оператора Я его эрмитова разложения А = 'Н + К. 66.16. Известно, что в эрмитовом разложении А = 'Н, + з"Й, оператора А, действующего в унитарном пространстве, оператор 'Н~ положительно определен. Доказать,что оператор А невырожден. 66.17. Доказать, что в условиях предыдущей задачи выпол- збб. Разложения линейных операторов и матриц 133 нено неравенство ( с1ей А! > бес й,. Когда достигается равенство в этом соотношении? 66.18. Доказать, что пространство й""" является ортогональной суммой надпространств симметрических и кососимметрических матриц.
66.19. Что можно сказать о линейном операторе А, действующем в евклидовом пространстве Ъ', если (Ае,е) = 0 для всякого вектора т Е Ъ"? Сингулярное разложение 66.20. Пусть А — линейный оператор ранга г, действующий из и-мерного унитарного (евклидова) пространства Ъ' в тмерное унитарное (соответственно евклидова) пространство И' и ем..., е„— ортонормированный базис из собственных векторов оператора А'А, причем векторы ем..., е„отвечают ненулевым собственным значениЯм Рзм..., Р~ (Р, > О, 1 = 1,г). Доказать, что: 1) векторы е„~„..., е„образуют базис 1сегА; 2) векторы е„..., е„образуют базис ппА*; 3) векторы Ае„..., Ае„ортогональны и образуют базис пп А; 4) (Аея) = ры /с = 1, г; 5) каждый их векторов Аеы к = 1, г, является собственным вектором оператора АА*, отвечающим собственному значению ря' 6) если положить у~,.
— — р,, 'Аем то А'уя = ряея 66.21. Доказать, что ненулевые собственные значения операторов А'А и АА' совпадают. Арифметические значения квадратных корней из общих собственных значений операторов А'А и АА' называются синеулярными числами оператора А. Аналогично определяются сингулярные числа прямоугольной матрицы А (комплексной или вещественной). 66.22. Зная сингулярные числа оператора А, найти сингулярные числа: а) оператора А', б) оператора аА, где о — произвольное комплексное число. 66.23.
Доказать, что сингулярные числа оператора не изменяются при умножении его на унитарный оператор. 134 Глава ХЪ'1.Линейные операторы в унитарном пространстве 66.24. Показать, что оператор А не вырожден тогда и только тогда, когда все его сингулярные числа отличны от нуля. 66.25. Показать, что модуль определителя оператора равен произведению его сингулярных чисел. 66.26.
Предполагая, что оператор А невырожден, найти связь между сингулярными числами операторов А и А '. 66.27. Доказать, что сингулярные числа нормального оператора совпадают с модулями его собственных значений. 66.28. Доказать, что оператор А, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, унитарен (соответственно ортогонален) тогда и только тогда, когда все сингулярные числа этого оператора равны единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
