Том 2 (1113040), страница 19
Текст из файла (страница 19)
63.25. Пусть угловой минор порядка я унитарной матрицы У по модулю равен единице. Доказать, что в таком случае У имеет квазидиагональный вид 'З63. Унитарные операторы и матрицы 105 63.26. Пусть о' = Р + ٠— комплексная унитарная матрица порядка и. Показать, что действительная матрица порядка 2п вида А= 1~ 7 е, + е» Ь = е„А = — ~ 5 ~ — 8 ез, зг = ег+ег, А = — ~ ~г~ а) у, = б) ~г —— в) 1з —— 1 Зез+ег, Л = 2ег+ег, А =— Ло ем ~г — — — ег+ег 1з = ез — ег+ез А= г) ~, = — 3 0 0 1 д) гз = ег + ез .6 = е, + ем уз = е, + ег, А =— 63.32. Доказать, что линейный оператор, сохраняющий ортогональность любых двух векторов, лишь числовым множителем отличается от некоторого унитарного оператора. 63.33. Показать, что всякое отображение, действующее в евклидовом (унитарном) пространстве и сохраняющее в нем ска- является ортогональнои. 63.27.
Показать, что кронекерово произведение унитарных матриц У и 1" (имеющих, быть может, разный порядок) само является унитарной матрицей. 63.28. Пусть о' и ~' — унитарные матрицы и-го порядка. Показать, что: а) оператор г-Х = оХ1' является унитарным; б) оператор йХ = о'Х + Х1', вообще говоря, не является унитарным. 63.29. Показать, что при унитарно подобном преобразовании нормальная матрица переходит в нормальную.
63.30. Может ли матрица ортогонального (унитарного) оператора в некотором базисе быть неортогональной (неунитарной)? 63.31. Линейный оператор А, действующие в евклидовом пространстве ~', задан в базисе ~„..., ~„матрицей А; е„..., е„ вЂ” ортонормированный базис в Г. Определить, является ли оператор А ортогональным, если: 106 Глава ХЪЧ.Линейные операторы в унитарном пространстве 4 — 3 ' ) яшо созо ' ) вша — сова -г1 .[ 1 3 ~/6 3 1 — ъ(6 — /6 ~/б — 2 1 1 1 — 1 1 1 — 1 1 1 — 1 1 1 — 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 н)— м) 63.36.
Найти собственные значения и какой-либо ортонормированный базис из собственных векторов унитарного оператора, заданного в ортонормированном базисе унитарного пространства матрицей: Д 1 1 ' ) 5 — 3 5 ' ) з1па сова 2 1 — з ' )3 — 2 1+21 лярные произведения, линейно. 63.34. Может ли ортогональный оператор: а) не иметь собственных векторов; б) обладать базисом из собственных векторов; в) иметь по крайней мере один собственный вектор, но не иметь базиса из собственных векторов? Привести соответствующие примеры.
63.35. Найти собственные значения и какую-нибудь максимальную ортонормированную систему собственных векторов ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства матрицей: ~/2 1 1 ' ~/2 1 — 1 ' 5 — 3 5 '163. Унитарные операторы и матрицы 107 1 3 ~/6 3 1 — ~/б — з/6 ~/6 — 2 ж) — 1 2 — 2 ~ /2 1 1 и) — — ~/2 1 1 0 ~/2 — ~/2 1 — — 1 — 1 1 — 1+1 — 1 — г 1 — в' 0 л) 63.37. Пусть линейный оператор евклидова (унитарного) пространства обладает ортонормированным базисом из собственных векторов, отвечающих собственным значениям, по модулю равным единице.
Доказать, что оператор является ортогональным (унитарным). 63.38. Доказать, что оператор А, заданный в ортонормиро- ванном базисе евклидова пространства матрицей сова в1по ~ гйпа — сова ~' б) — 4 — 3, в) д) представляет собой ортогональное отражение относительно некоторого подпространства Ь.
Найти это подпространство. 63.39. В базисе 1,1,Р пространства Мз оператор А имеет матрицу 3 — 2 — 2 2 — 1 — 2 2 — 2 — 1 Показать, что А — оператор отражения. Ввести в Мз скалярное произведение так, чтобы А был ортогональным оператором. 63.40. Пусть в некотором ортонормированном базисе матрица унитарного оператора А вещественна и пусть у — собственный вектор оператора А, отвечающий комплексному собственному значению Л = а+ Ц, ~3 ф О.
Пусть | = и+ 1е, где векторы и и е имеют в том же базисе вещественные координаты. Доказать, 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 ъ'2 1 2 2 г) — 2 1 — 2 2 — 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 О 1 0 108 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве что: а) вектор д = и — зе является собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению Л = а — ц3; б) векторы и и е ортогональны и, кроме того, )и~ = (е) = ~ Д/з/2, Аи = ои — 13е, Ае = 13и + ое. 63.41.
1. Пусть А — ортогональный оператор и Л = а+ Ц ф ф 0) — комплексный корень его характеристического много- члена. Доказать, что найдется пара ненулевых ортогональных векторов и, е таких, что Аи = ои — фе, Ав = фи + ое. 2. Показать, что всякий ортогональный оператор обладает одномерным или двумерным инвариантным подпространством.
63.42. Ортогональный оператор А в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства задан матрицей: 0 0 1 1 0 0 0 1 0 [ а) ', 1 -1 б) -' 4 3 Уб 3 1 — з/6 — ъ~6 ъ'6 — 2 2 1 1 2 — 2 2 1 е)— 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 ж)— 2 1 1 1 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 1 1 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 е ато а А в этом базисе 1 и)— 2 1 к)— 2 (А )юо А — 1 является унитарным.
63.45. Известно, что все собственные значения оператора А Е Е(У, У) по модулю равны единице и )Ат( ( ~т( для всех Найти канонический базис и матрицу оп р р 63.43. Доказать, что унитарная матрица второго порядка с определителем, равным единице, подобна вещественной ортогональной матрице. 63.44. Доказать, что линейный оператор А„удовлетворяющий условию 109 "ЗбЗ. Унитарные операторы и матрицы ХЕ1'. 1. Доказать,что оператор А имеет простую структуру. 2.
Показать, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. 3. Вывести из полученных выше свойств, что А — унитарный оператор. 63.46. Доказать, что любая квадратная комплексная (вещественная) матрица А может быть представлена в виде (63.3) А = ЯН, где Я вЂ” унитарная (ортогональная) матрица, Н вЂ” правая треугольная. Представление (63.3) называется ЯЯ-разложением матрицы А. 63.47.
Пусть А = ЩВ1 и А = ~2В2 — два ЯЯ-разложения невырожденной матрицы А. Доказать, что найдется унитарная (ортогональная) диагональная матрица Н такая, что Я2 Я1Н~ Н1 (1Н2 63.48. Доказать, что для матрицы Н из разложения (63.3) имеет место равенство А" А = Л'Н. 63.49. Найти условие на вектор-столбец и, при выполнении которого матрица вида Н = 1 — Зигшн (63.4) является унитарной. 63.50.
Пусть и — нормированный вектор-столбец Доказать, что соответствующая ему матрица (63.4), рассматриваемая как оператор арифметического пространства со стандартным скалярным произведением, задает в нем ортогональное отражение. Такая матрица Н называется матрицеб отражении. 63.51. Для матрицы отражения найти: а) собственные значения и собственные векторы; б) ее определитель.
63.52. Показать, что всякая унитарная матрица, все собственные значения которой равны 1 и — 1, причем собственное значение — 1 простое, может быть представлена в виде (63.4). 1 сова зша 1 63.53. Показать, что матрица ~ ~ есть матри- ~ з1па — сова ~ ца отражения. Найти соответствующий ей вектор 2н. 110 Глава ХЪ7.Линейные операторы в унитарном пространстве 63.54. Показать, что вектор щ можно выбрать так, чтобы порожденная им матрица отражения переводила заданный вектор х в вектор, коллинеарный единичному столбцу ез (предполагается, что сам вектор х не коллинеарен е,). 63.55.
Используя результат предыдущей задачи, построить алгоритм получения ьдВ-разложения квадратной матрицы. 364. Самосопряженные операторы и матрицы Линейный оператор А, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, называется самосопряженкым, если А = А*. Самосопряженный оператор в унитарном пространстве называют эрмитввььм, а в евклидовом пространстве — симмешрическим.
Квадратная матрица А (комплексная или вещественная) называется самосопряжеккой, если А = А . Комплексную самосопряженную матрицу называют эрмишовой, а вещественную — симмешрической или вещественнвэрмитовой (очевидно, для симметрической матрицы: А = А ). т Из определения вытекает, что: 1) самосопряженный оператор нормален; 2) оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет самосопряженную матрицу; 3) определитель самосопряженного оператора веществен; 4) если подпространство Ь инвариантно относительно самосопряженного оператора А,то ортогональной дополнение ( ~ также инвариантно относительно А; б) самосопряженный оператор на любом своем инвариантном подпространстве индуцирует самосопряженный оператор.
Теорема б4.1 (спектральная характеристика самосопркженного оператора). Нормальный оператор в унитарном (евклидоввм) пространстве самосопрлжен шогда и только тогда, когда все корни егв характеристического многочлена вещественна, или, в другой формулировке, оператор, действующий в унигаарном (евклидовом) пространстве, самосопрлжен тогда и только тогда, когда существует ар|ненормированный базис, в котором его матрица имеет вещественную диагональную форму, или, в матричной формулировке, нормальная льатрица (комплексная или вг1цгствгкная) является самосопряженкой тогда и только тогда, когда она унигаарко подобна ве1цественкой диагональной матрице. Линейный оператор А, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, называется косоэрмитовым (соответственно, кососимметрическим), если А = — А.
Квадратная комплексная матрица называется косоэрмитовой, если А = — А. Квадратная вещественная матрица называется кососиммешрии ческой, если А = — А, т Из определения следует, что оператор А косозрмитов (кососимметричен) тогда и только тогда, когда его матрица в любом ортонормированном 'з64. Самосопряженные операторы и матрицы базисе пространства косоэрмитова (соответственно, кососимметрична). Теорема 64.2. Ликебимб оператор А в унитарном пространстве эрмитов тогда и только тогда, когда оператор зА косоэрмитов. Из этой теоремы следует, что все свойства самосопряженных операторов переносятся на косоэрмитоны (кососимметрические) операторы с той лишь разницей, что в последнем случае все корни характеристического многочлена чисто мнимые.
ЗАДАЧИ 64.1. Доказать, что множество всех самосопряженных операторов, действующих в унитарном (евклидовом) пространстве образует аддитивную группу. 64.2. Пусть 1г — евклидово пространство. Доказать, что в линейном пространстве Е(Ъ; 'ь') множество всех симметрических (кососимметрических) операторов образует линейное подпространство. Справедливо ли это утверждение для эрмитовых (косоэрмитовых) операторов, действующих в унитарном пространстве $'? 64.3. Показать, что произведение ненулевого эрмитова оператора на число сг будет также эрмитовым оператором тогда и только тогда, когда число сг действительно. 64.4.
Пусть А — линейный оператор, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве Г. Проверить самосопряженность операторов; а) А+А', б) АА*; в) А'А; г) з(А — А") (если к' — унитарное пространство). 64.5. Пусть 71, и Яг — самосопряженные операторы, действующие в унитарном (евклидовом) пространстве ь'. Доказать, что: а) Я,йз + 'Нз'Н, — самосопряженный оператор; б) 'Н;Нз — самосопряженный оператор тогда и только тогда, когда операторы 'Н, и Яз перестановочны; в) их коммутатор (Н„Нз] косоэрмитов (соответственно кососимметричен). 64.6. Доказать, что проектирование унитарного (евклидова) пространства 1Г на подпространство Ьз параллельно подпространству Ьз будет самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда Ьз и Ьз ортогональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
