Том 2 (1113040), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Оператор А задан формулой Ах = ~(х, Х1)д1, где »=1 Х1,..., Х, д„...,д — некоторые заданные векторы. Доказать, что: а) ядро оператора А представляет собой ортогональное до- полнение линейной оболочки, натянутой на векторы ~ (ды д;)Л, Х(х) = (х,р), где р — некоторый фиксированный (для данного функционала) 1=1,т; б) образ оператора А является линейной оболочкой, натяну»»» той на векторы ~ ~(Х„, Х,)д1, Й = 1, пз. »=1 61.13. Показать, что всякий линейный функционал Х(х) унитарного (евклидова) пространства ~' можно задать как скалярное произведение 78 Глава ХЪЧ.Линейные операторы в унитарном пространстве вектор пространства. 61.14. Пусть и Е И Показать, что для любого и = 0,п, любых чисел а,6, Сэ Е К можно Указать многочлен Рь(С) Е М„, что равенство выполняется для всех многочленов ~(1) Е М„. Сопряженный оператор 61.15.
Доказать, что для оператора А, действующего в унитарном (евклидовом) пространстве, выполнено: а) (А )' = (А*) для всякого гл е Я; б) если оператор А невырожден, то свойство пункта а) имеет место для любого целого числа т; в) если ф) = ав+ а,1+... + а г"' — произвольный многочлен, то где Д1) = ос+ о1С+... + а С 61.16. Доказать, что свойства, перечисленные в предыдущей задаче, выполняются и для операции сопряжения на множестве квадратных матриц А (комплексных или вещественных). 61.17. Показать, что для нильпотентного оператора А с индексом нильпотентности д сопряженный оператор А* также нильпотентен и имеет тот же индекс нильпотентности.
61.18. Показать, что если операторы А и 6 перестановочны, то перестановочны и сопряженные операторы А' и Б'. 61.19. Что представляет собой сопряженный оператор для: а) тождественного оператора; б) скалярного оператора в евклидовом (унитарном) пространстве; в) произвольного оператора, действующего в одномерном евклидовом пространстве; г) произвольного оператора, действующего в одномерном унитарном пространстве? 61.20.
Пусть е„,..., е„— ортогональный (но не ортонормированный) базис пространства )". Найти связь между матрицами оператора А Е Е(К $') и сопряженного оператора А' в этом базисе. В каком случае выполнено соотношение (А'), = Ан ? З61. Сопряженный оператор 61.21. Что можно сказать об операторе А Е Е(У, У), если в любом базисе е пространства У выполнено соотношение: (А'), = (А) 61.22. Пусть е,д и ~,й — пары биортогональных базисов в пространствах У и 1У соответственно.
Доказать, что справедливо соотношение (А'),ь — — (Ау,)н. 61.23. Пусть 1', И' — унитарные (евклидовы) пространства, е„..., е„и („..., 1 — ортонормированные базисы У и И' соответственно и А Е Е(У, И~). Доказать, что имеют место равенства: а) А'Д = ~ ~'(Д, Ае;)е,, Чу' = 1, т; 1=1 и,, т б) А' = ь(~ь, д,)о„А,)) „ю* е я'. 1=1 з=1 61.24. Найти сопряженный оператор для оператора поворота геометрического пространства У, на угол о. 61.25. Найти сопряженный оператор для оператора, действующего в пространстве Уз по правилу Ах = [х, а], где а— заданный вектор. 61.26.
Найти оператор, сопряженный линейному функционалу ~, действующему в унитарном пространстве У по правилу: а) у(х) = (х, й), где Ь Е У вЂ” заданный вектор; т б) Дх) = ~~ (Аях,й„), где Ья Е У, я = 1,т, — заданные я=1 векторы, Ая е Е(У, У) — заданные операторы. 61.27. Оператор, действующий в и-мерном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением, задан формулой Ах = Вх, где  — заданная матрица порядка и. Найти сопряженный оператор А', если пространство: а) вещественное К"; б) комплексное С". 61.28. Найти оператор, сопряженный к оператору, действующему в евклидовом (унитарном) пространстве матриц К (С "") со стандартным скалярным произведением и определенному равенством: а) УХ = АХ, где А — заданная квадратная матрица порядка 80 Глава ХЧ1.Линейные операторы в унитарном пространстве т; б) ДХ = ХВ, где  — заданнак квадратная матрица порядка и; в) СХ = [А, Х), где гл = и и А — заданная квадратная матрица порядка и.
61.29. Пусть скалярное произведение в пространстве М„задано формулой (61.1) с произвольными а,б Е К: а ( б. Для линейного оператора, действующего по правилу г~ Ар(й) = / К(й,з)р(з) Из, а и где К(Г, з) = ~ Ис,(з) и й,(з) Е М„, найти сопряженный опера- тор. 61.30. Пространство У является прямой суммой подпространств Ь1 и Ьз. Доказать, что: а) оператор, сопряженный проектированию пространства Ъ' на Ь1 параллельно Ьм является оператором проектирования на Ь~з параллельно Ь1; б) оператор, сопряженный отражению пространства Ъ' относительно Ь, параллельно Ь„является оператором отражения относительно Ь~з параллельно Ь~.
61.31. Найти оператор, сопряженный оператору А геометрического пространства Ум если: а) А — ортогональное проектирование на линейную оболочку вектора а ф 0; б) А — ортогональное отражение относительно линейной оболочки,натянутой на вектор а ~ О. 61.32. Пусть Оху — прямоугольная система координат на плоскости и А — оператор проектирования на ось Ох параллельно биссектрисе первой и третьей четверти. Найти сопряженный оператор А*. 61.33. Пусть Охух — прямоугольная система координат в пространстве и А — оператор проектирования на координатную плоскость Оху параллельно прямой, задаваемой уравнениями х = у = г. Найти сопряженный оператор А'.
Матрица сопряженного оператора 61.34. Пусть е„ез — ортонормированный базис двумерно- З61, Сопряженный оператор 81 го пространства )т и линейный оператор А в базисе 11 = е„ 1 21 72 = е, + е, имеет матрицу АА — — ~. Найти матрицу сопряженного оператора А' в том же базисе 7'„12. 61.35. Линейный оператор А евклидова пространства в базисе из векторов 11 = (1,2,1), 12 = (1,1,2), 13 = (1,1,0) задан матрицей 44= [ (! 4 а) Л = е„Л = -е1+ ег, А = б) Л = е,, Л = 2е, + ег, А = 2 1+2 в) ~1 —— е1 + ег, ~2 — — е1 — гег, А = 0 0 2 1 0 0 0 1 0 г) ~1 —— е1+ег+ез зг = ег+ез Уз = ег — ез А = — 1 1 1 д) Л = е1 ег ез Л = е1+ег+ез! ~з = ез, А = е) З'1 = е1 + ег З'г = ег+ ез ~з = е1+ ез А = ж) 21 = е1+е2 зг = е1 е2+е3,43 =е1 е2 ез Найти матрицу сопряженного оператор А' в том же базисе у, считая,что координаты векторов даны в некотором ортонормированном базисе. 61.36. Найти матрицу линейного оператора А*, сопряженного к оператору А в ортонормированном базисе е„ ег,ез, если А переводит векторы а, = (О, О, 1), а, = (О, 1, 1), аз — — (1, 1, 1) в векторы Ь1 —— (1,2,1), Ьг — †(3,1,2), Ьз — †(7, — 1,4) соответственно (координаты всех векторов считаются заданными в базисе е1, ег, ез) 61.37.
Пусть е1,..., е„— ортонормированный базис в евклидовом или унитарном пространстве $'. Матрица А линейного оператора А, действующего в Ъ', задана в базисе у„..., у„. Найти матрицу сопряженного оператора А* в базисе Л,..., 1„, если: 82 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве А= 0 2 5 з) Гз —— ем,Гг = зе, +ем,Гз = — зез+зег+ез А = 61.38. Скалярное произведение в евклидовом (унитарном) пространстве задано через координаты векторов в некотором базисе е.
Линейный оператор имеет в базисе е матрицу А. Найти матрицу сопряженного оператора в базисе е, если: Г2 51 а) (х, У) = хзУз — 2хзУг — 2хгУз + 5хгдг, А = ~ 1 5 — 31 б) (х, у) = хзуз + хзуг+ хгуз + Зхгуг А = Г 0 з1 в) (х,у) = хзуз+(1+в)хзуг+(1 — з)хгуз+Зхгуг, А = ~ г) (х,у) = хзуз + 5хгуг+ 2хзуз+ 2хзуг+ 2хгуз хгуз хзуг А= 0 1 — 2 2х — 2 д) х У) = 2хзуз + Зхгуг+ хзуз — зуг хгуз + хзуз+ хзуз И! ]] хгуз — хзуг .4 = зхзуг зхгуз + (1 — з)хгуз+ е) (х, у) = 2хзуз + хг Уг + 5хзуз + (1+ з)хзуг, А = 61.39. Линейный оператор двумерного евклидова пространства переводит векторы с координатными столбцами а, и аг в векторы с координатными столбцами 6, и 6, соответственно; базис, в котором заданы координаты, ортонормированный.
Найти матрицу сопряженного оператора в этом базисе, если: а) аз — — (О, 1), аг — — (1, 3)т, Ьз — — (3, 1), 6г — — (2, 3) б) аз = (1,1)г, аг = (1,4)з, Ьз — — (О, -2)т, Ьг — — ( — 3,7)г. 61.40. Оператор дифференцирования Ю действует в пространстве многочленов Мг со скалярным произведением (61.1), в котором а = — 1, 6 = 1.
Найти матрицу сопряженного оператора Д*, з61. Сопряженный оператор 83 а) в базисе 1, ь', й', б) в базисе 1, 1, Згз — 1; в) в базисе ~з ь ~з 1 Ьз+6 61.41. В пространстве Мз введено скалярное произведение (У, д) = У(-1) д( — 1) + У(0)д(0) + У(1)д(1).
Найти матрицу оператора Р*, сопряженною к оператору диффе- ренцирования Р, в каждом из базисов, указанных в предыдущей задаче. Сравнить полученные матрицы с соответствующими матрицами предыдущей задачи. 61.42. Оператор дифференцирования Р действует в про- странстве многочленов М, с естественным скалярным произве- дением. Найти матрицу сопряженного оператора Р* в каждом из базисов, указанных в задаче 61.40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
