Том 2 (1113040), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Доказать, что корневое подпространство разложимо в прямую сумму циклических подпространств. 1 1 — 2 0 2 1 0 2 1 0 1 1 0 — 1 2 1 1 — 1 0 0 1 — 1 0 0 — 3 3 2 2 3 — 3 — 2 — 2 60.46. 60.45. — 3 1 ΠΠΠΠ— 3 О 1 ΠΠΠ— 1 0 0 0 0 0 О 0 О 0 0 — 1 0 0 0 1 0 — 3 0 0 0 0 1 — 3 99 0 0 13 0 99 0 0 0 13 99 0 0 0 0 99 . 60.48. 60.47. 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 — 3 0 — 1 0 0 0 0 — 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 60.49. 60.50.
Найти канонический базис и жорданову форму оператора Рз двукратного дифференцирования в пространстве многочленов М„, предполагая, что п = 2к + 1 — нечетное число. Построить канонический базис и найти жорданову форму Построить канонический базис и найти жорданову форму следующих матриц. 100. Корневые подпространства. Жорданова форма 65 следующих матриц 3 — 3 1 4 1 1 2 — 2 1 .
60 52. — 2 1 — 2 2 — 3 2 1 1 4 60. 51. 3 — 1 0 0 1 1 0 0 3 0 5 — 3 4 — 1 3 — 1 3 — 1 1 — 7 9 — 3 — 7 — 1 0 0 4 — 8 0 0 2 — 4 60.53. 60.54. 5 1 — 1 — 1 1 5 — 1 — 1 1 1 3 — 1 1 1 — 1 3 60.55. 60.56. 60.57. 60.58. Найти канонический базис и жорданову форму оператора Юв двукратного дифференцирования в пространстве многочленов М„, предполагая, что и = 2Й вЂ” четное число. 60.59. Может ли в пространстве размерности 8 существовать нильпотентный оператор А, для которого числа гь — — г8 А" составляют последовательность б, 4, 3, 1, О? Построить канонический базис и найти жорданову форму следующих матриц.
15 — 6 — б 18 — 12 — 3 18 — 9 — б 0 1 0 — 4 4 0 — 2 1 1 — 2 — 1 1 5 — 1 4 5 1 2 — 4 4 2 60 65. -1 1 1 — 5 4 3 3 — 1 1 — 2 4 — 2 — 2 2 0 60.60. 60.62. 60.64. 1 — 1 0 — 1 0 2 — 2 0 — 1 0 1 — 1 — 1 0 0 2 — 1 0 — 2 0 2 — 1 0 — 1 — 1 60.61. 60.63. 2 0 3 4 5 0 2 0 6 7 0 0 2 0 8 0 0 О 2 О 0 0 0 0 2 Глава ХУ.Структура линейного оператора 66 1 1 . 6067. [ — 2 60.66 — 2 4 — 1 2 — 2 4 3 — 6 -4 — 5 0 0 0 2 — 2 4 3 — 2 2 — 1 3 15 0 5 — 3 — 3 2 2 0 0 — 1 0 О 0 0 — 1 60.68.
60.69. — 1 0 — 3 1 4 — 3 1 0 0 3 — 5 0 — 3 — 1 1 0 1 — 1 60. 70. 60.71. 2 2 1 — 4 0 — 4 3 1 0 — 2 — 6 — 2 — 5 — 3 0 0 0 0 ΠΠ— 5 3 — 3 1 0 1 0 — 2 60.ТЗ. 60.72. 4 1 — 1 2 6 1 — 6 — 1 1 1 3 0 0 — 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 0 1 — 1 — 1 4 1 — 1 1 2 60.75. 60.Т4. — 3 0 1 — 3 — 2 — 2 1 0 1 1 — 1 — 1 1 1 О 0 1 0 1 0 0 1 1 60.76.
0 — 1 2 — 1 6 1 1 0 0 0 4 0 1 0 — 2 — 3 0 0 1 0 0 3 6 1 0 0 0 0 4 0 0 — 1 — 2 — 3 60.Т8. 60. 79. оказать, что в любой жордановой форме оператора пановых клеток, отвечающих собственному значе- 60.80. Л А число жор 3 0 — 1 0 О 0 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 — 2 0 1 1 0 0 — 1 0 0 0 0 0 1 0 5 0 — 9 0 3 0 1 0 — 1 2 1 1 — 1 0 — 1 1 1 2 — 1 — 1 — 1 1 1 1 'З60. Корневые подпространства. Жорданова форма 67 Не вычисляя канонического базиса, найти жорданову форму следующих матриц. 7 914 8 10 15 0 11 16 5 12 17 0 13 18 0 019 506 050 005 000 000 000 3 1 — 2 0 — 2 0 3 0 — 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 60.84. 60.85.
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 110 0 — 301 0 300 1 000 1 010 — 3 001 3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 . 60.87. 0 0 0 0 1 1 — 1 — 2 2 1 60.86. 2 0 0 0 2 0 1 — 1 — 4 3 2 1 — 2 2 5 4 3 8 0 0 1 1 0 — 3 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 4 0 0 7 — 4 — 0 6 0 — 4 60.88. — 1 0 1 1 — 1 — 3 0 1 2 0 0 1 1 0 — 3 0 1 3 60.89. нию Лю равно дефекту оператора А — ЛеХ. 60.81. Доказать, что в любой жордановой форме оператора А число жордановых клеток, отвечающих собственному значению Ле и имеющих порядок, больший или равный а, определяется формулой 1я — — пя — пя „где пе — — О, пя — — деГ(А — ЛаХ)'.
60.82. Из результата предыдущей задачи вывести соотношение ~ь — — 2п„— пь,, — п~ „где 1~ — число жордановых клеток, отвечающих собственному значению Ле и имеющих порядок к. 60.83. Оператор А, действующий в и-мерном комплексном пространстве 1~, имеет собственные значения Л„...,Ля геометрических кратностей з„..., зь соответственно. Определить, сколько ненулевых элементов в жордановой форме оператора А. Глава ХУ.
Структура линейного оператора 68 1(Л) Г'(Л) У" (Л) 1"'(Л) ~'" 0(Л) 1! 2! 3! (п — 1)! У (Л) У"(Л) У!"-'>(Л) 1! 2! (и — 2)! 1(А) = 1(Л) 0 0 0 0 60.92. Найти жорданову форму квадрата жордановой клетки, на диагонали которой стоит число о ~ О. 60.93. Найти жорданову форму квадрата жордановой клетки с нулем на главной диагонали (нильпотентной клетки Жордана). 60.94. Векторы канонического базиса оператора А занумеровали в обратном порядке.
Кэк изменится матрица оператора в этом случае? 60.95. Зная жорданову форму оператора А, найти жорданову форму оператора: а) А — ЛэХ; б) А ". 60.96. Найти жорданову форму матрицы а 0 1 0 ... 0 0 0 0 а 0 1 ... 0 0 0 0 0 а 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... а 0 1 0 О 0 0 ... 0 а 0 0 0 0 0 ... 0 0 а порядка и > 3. 60.97. Показать, что если Л„,..., ˄— собственные значения оператора А, действующего в и-мерном пространстве (среди этих чисел могут быть и равные), то собственными значениями многочлена у(А) будут числа У(Л~),..., У(Л„).
60.98. Доказать, что всякий оператор, действующий в комплексном пространстве, является прямой суммой одноклеточных операторов. 60.90. Найти к-ю степень жордановой клетки 1„(а) порядка 60.91. Доказать, что значение многочлена 1(А) от клетки Жордана А = 1„(Л) определяется формулой ~60. Корневые подпространства.
Жорданова форма 69 Выяснить, являются ли подобными указанные матрицы А, В иС 59 -63 52 -147 159 -132 -244 263 -219 ,в=[ — 3 2 5 -12 8 20 3 — 2 — 5 60.110. А = 60.99. Доказать, что всякий оператор, действующий в комплексном пространстве, можно представить в виде суммы оператора простой структуры и нильпотентного оператора. 60.100. Доказать, что оператор А, удовлетворяющий условию А = 2 и не являющийся скалярным, есть оператор отражения. 60.101.
Доказать, что оператор А, удовлетворяющий условию А" = 2 для некоторого натурального числа Й, является оператором простой структуры. 60.102. Найти жорданову форму идемпотентного оператора А, т.е. оператора, удовлетворяющего условию Аз = А. 60.103. В пространстве многочленов Мв найти жорданову форму разностною оператора А1 г'(1) = г'(г + 1) — У(1). 60.104. В пространстве многочленов Мв найти жорданову форму: а) оператора трехкратного дифференцирования; б) оператора Аэ~(Ф) = ~(1 + 2) — 2Д1 + 1) + Д8); в) оператора АзДй) = ~(8 + 3) — ЗУ(~ + 2) + ЗД1 + 1) — 1(1).
60.105. Доказать, что если оператор А, действующий в пмерном пространстве, невырожден, то обратный оператор А ' можно представить многочленом степени п — 1 от А. 60.106. Доказать, что жорданова клетка,уь(Ле) аннулируется многочленом Д~) тогда и только тогда, когда число Ле является корнем этого многочлена кратности не менее й. 60.107. Что можно сказать о жордановой форме оператора А, если Аз = Аз? 60.108.
Пусть у(1) — заданный многочлен с комплексными коэффициентами степени и ) 1. Найти необходимые и достаточные условия того, что квадратная матрица Х порядка т (т > 2) удовлетворяет уравнению ДХ) = О. 60.109. Пусть характеристический мноючлен ДЛ) оператора А разложен в произведение многочленов (1(Л) и ~з(Л), не имеющих общих корней.
Доказать, что 1сег ~,(А) = пп ~з(А), йег ЯА) = пп ~,(А). Глава Х К Структура линейного оператора 70 59 -63 52 С = -147 159 -132 ~ — 244 263 — 218 3 1 — 1 — 3 — 1 З,В= — 2 — 2 4 5 5 — 2 — 2 — 1 1 — 1 — 1 2 60.111. А = 6 0 8 3 2 б — 2 0 — 2 с=[ — 1 — 1 2 — 8 12 — б 3 -5 6, В = -10 18 -10 2 -2 2 -12 24 — 14 60.112. А = =[ 0 6 6 -2 16 12 4 — 28 — 20 См. 157, задачу 57.91. 60.113.
Доказать, что всякая комплексная матрица А подобна транспонированной матрице Ат. 60.114. Что можно сказать о жордановой форме матрицы А, если А подобна обратной матрице А '? 60.115. Пусть А — нильпотентная матрица, и — максимальный размер жордановых клеток матрицы А. Доказать, что индекс нильпотентности матрицы А равен к. 60.116. Доказать, что матрица А порядка и нильпотентна тогда и только тогда, когда 1г(Ад) = 0 для р = 1, и. 60.117.
Доказать, что жорданова клетка подобна сопровождающей матрицез своего характеристического многочлена (матрице Фробениуса). 60 118 Доказать, что всякая комплексная матрица подобна квазидиагональной матрице, у которой все диагональные клетки являются матрицами Фробениуса. 60.110. Квадратная матрица А порядка т имеет простую структуру; известна жорданова форма 1 матрицы В порядка п. Найти жорданову форму матрицы: а) АЭВ; б) А®1„+1 ЗВ. 160. Корневьге лодлростралства. Жорданова форма 71 60.120.
Найти жорданову форму матрицы порядка и 1 1 1 1 где е — положительно и стоит на месте (п,1), а не указанные внедиагональные элементы равны нулю. 60.121. В жордановой форме матрицы А заменим внедиагональные элементы, равные единице (если таковые имеются), произвольным числом е ,-~ О. Доказать, что полученная матрица подобна матрице А. Глава От'1.
Линейные операторы в унитарном и евклидовом пространствах 361. Сопряженный оператор Пусть 1' и Ит — два пространства, оба унитарных или оба евклидовых, и А б Е(Ут Ит). ОтобРажение А*: Ит -т У называетсе сопРЯженным опеРа- тпором к оператору А, если (Ах,у) = (х,А'у), т(х е У, у е Ит. Теорема 61.1. Сопряженный оператор линеен. Теорема 61.2. Яля любого оператора А Е Е(У,И') существует, и притом единственный, сопряженный оператор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
