Том 2 (1113040), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Теор ем а 61.3. Операция сопряжения линейного оператора обла- даетп следующими свойствамит 1) (А+ 6) = А* + 6', 2) (оА)' = оА', 3) (АБ) =6 А, 4) (А') ' = (А '), 5) (А')' = А, выполненными для любых операторов, для которых определены укаэанные операции. Теорема 61.4. Если е и ( — ортонормироеанные базисы про- странств У и И" соответственно, то ( 4 )тт = (Атт) Сл едете ие. гйА = гбА'.
Теорема 61.5. Юля любого оператора А Е Е(У, Ит) 1сег А = (пп А') ~, 1пг А = (1сег А) лсва базиса ес,..., е„и )с,..., ( пространства У называются биортогональной парой базисов, если (е„/ ) = бтт, где б, — символ Кронекера. Теорема 61.6. лсля любого базиса ет,...,е унитарного (евклидова) пространства существует, и притом единственный, биортогональный базис (ст т)л Те о рема 61.7. В паре биортогональных базисов е и 1' унитарно. го (евклидова) пространства У матрицы операторов А и А* связаны соотпнощением (А')т = (А,) Теорема 61.8.
Юля любого оператора А, действуютцего е пространстве У (унитарном или ееклидоеом)т 1) если е — ортонормироеанный базис У, то („4') — (,4 ')н. 73 361. Сопряженный оператор 2) выполнены равенства десА = беЬА, г8А' = гбА; 3) если подпространство 6 инвариантно относительно оператора А, то езо ортогональное дополнение ь инвариантно относительно сопряженного операгаора А'. Теорема 61.9 (теорема Шупа). Яля любозо оператора, действующего в унитарном пространстве, сущесгпеует ортонормироеанныб базис, в котором он имеегп треуеольную матрицу. Следствие. Если Лы..., ˄— собственные значения операгаора А, гзо собственными значениями оператора А' будугп числа Лы..., Л . Ортонормированный базис унитарного (евклидова) пространства, в котором матрица линейного оператора имеет треугольную форму, называется базисом Шура для этого оператора.
Пример 61.1. Найти сопряженный оператор для оператора А, действующего в геометрическом пространстве 1'з по правилу: Ах = ] х, а], где а — фиксированный вектор. Решение. Покажем, что А' = -А. С одной стороны, для любых векторов х, у Е 1гз; (Ах, у) = (х А' у). С другой стороны; (Ах, у) = ([х, а], у) = (х, а, у) = — (х, у, а) = — (х, — ]у, а]) = (х, — Ау). Таким образом, ( х, А' у) = ( х, — Ау), з'х, у Е (гз, следовательно (задача 61.1), А' = — А. ° Пример 61.2. Линейный оператор А переводит векторы Ь| = (2,3,5), Ьз = (0,1,2), Ьз = (1,0,0) в векторы сг = (1,1, 1), сз = (1, 1, — 1), сз = (2,1,2) соответственно. Найти матрицу оператора А' в ортонормированном базисе еы еэ, ез, в котором заданы координаты всех векторов.
Решение. Заметим, что векторы Ьы Ьз, Ьз линейно независимы, следовательно, оператор А определен однозначно. Легко показать (см. пример 52.10 352), что А, = СВ 1, где столбцы матрицы В и С состоят из Ьы Ьз, Ьз н сы сз, сз соответственно. Использование метода Жордана (38) обращения матрицы дает матрицу А,= 1 — 7 4 Так как еы ез, ез — ортонормированный базис, то (А*), = (А,)т, т.е. 2 1 21 (А*), = -11 — 7 — 1 . ° 6 4 0 Пример 61.3. ' Написать уравнения гиперплоскостей, инвариантных относительно линейного оператора А, заданного в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства матрицей 4 -23 17 1 А= 11 -43 30 ~, 'г 15 -54 37 'Ср.
с примером 59.8, 359. Решение. Все двумерные подпространства, инвариантные относительно оператора А, являются ортогональными дополнениями к одномерным инвариантным подпространствам оператора А', т.е. линейным оболочкам С(е) собственных векторов е оператора А . Найдем собственные значения матрицы Ат: 4 — Л 11 15 ( прибавим к 1-й 1 — 23 — 43 — Л вЂ” 54 = ~ строке 2-юи 3- ) = 17 30 37 — Л ю строки -2 — Л вЂ” 23 17 -2 — Л вЂ” 2 — Л вЂ” 43 — Л вЂ” 54 = -(Л+ 2)(Л + 3).
30 37 — Л Таким образом, оператор А' имеет единственное собственное значение Л = — 2, которому отвечает единственный линейно независимый собственный вектор е = (3, — 3,1). Искомое инвариантное подпространство, являясь ортогональным дополнЕнием к Е(е), определяется уравнением Зхь — Зхз + хз = 0 Пример 61.4. В пространстве Мз многочленов степени не выше 2 скалярное произведение задано формулой гь У,д) =/ У(1)д(1)41, (61.1) причем а = — 1, Ь = 1.
Найти оператор 27*, сопряженный к оператору ьп дифференцирования в Мг. Решение. Рассмотрим в пространстве Мг естественный базис еь(1) = 1, ез(1) = 1, ез(1) = 1~. Нетрудно показать, что этот базис не является даже ортогональным базисом относительно введенного в этой задаче скалярного произведения (например, (ем ез) = 2/3 т О). Поэтому для матриц 77, оператора В и (ь ), сопряженного оператора ь: равенство (27"), = Р~, вообще говоря, не справедливо. Нля построения матрицы (17'), воспользуемся соотношением: (Эе„ег) = (емь ез) = ~~~ аь (е„еь), ь,у = 1,3, (61.2) где (р'), = (аьу). При каждому = 1, 3 соотношения (61.2) с ь = 1,2, 3 образуют систему линейных уравнений относительно неизвестных пьм азы азз с квадратной матрицей коэффициентов, совпадающей с матрицей Грама базиса емез, ез, и следовательно, (теорема 47.5 347) невырожденной.
Поэтому эта система уравнений совместна и определенна при любых правых частях. Матрица Грама базиса ем ез, ез равна Правые части систем имеют вид: 74 Глава ХЧХ.Линейные операторы в унитарном пространстве 76 '361. Сопряженный оператор - при 1 = 1 (2гег,ег) = О, (Рег,ег) = 2, (ьез,ег) = О; — приз=2 (ьеьег) = О, (гег,ег) = О, (ггез,ег) = 4/3; — при 1 = 3 (зег,ез) = О, (Рег,ез) = 2/3, (Рез,ез) = О. Решая все три системы одновременно: с 2 О 2/3 О О О О 2/3 О 2 О 2/3 2/3 О 2/5 О 4/3 О получим ом = О,агг = З,азг = О, аы = — 5/2,агг = О, азг = 15/2,огз = О, агз = 1, азз = О.
Таким образом, Пользуясь полученной матрицей, установим, как действует сопряженный оператор тг' на произвольный многочлен Д1) = аз+ аг1+ агг Е Мг: г '/(1) = аоР*ег(1) + аг2г'ег(1) + аг11'ез(1) = 5 15гз 5 15 г = ао 31+ аз (- — + — 1 ) + аг1 = --аг + (Заа+ аз)1-ь — аг1 ° 2 2 2 2 ЗАДАЧИ Задание линейного оператора в евклидовом (унитарном) пространстве 61.1.
Пусть И и И' — унитарные (евклидовы) пространства, А и  — линейные операторы из Е(Ъ;И'). Доказать, что если для любых х Е Г, у Е И' выполнено (А* у) = (В ' й') то операторы А и В совпадают. 61.2. В унитарных (евклидовых) пространствах И и Иг фиксированы некоторые базисы е„ ...,е„ и /„,...,/ соответственно. Пусть для линейных операторов А е Е(Ъ; И') и В е Е(Иг, Ъ') выполнены соотношения (Аео /г) = (ег, В/г), г' = 1, п, г = 1, т.
Доказать, что в таком случае А* = В. 61.3. Линейный оператор А Е Е(У, И') переводит ортонормированный базис е„..., е„пространства Г в систему векторов /г,,,/„из И'. Доказать, что: 76 Глава ХЧ1.Линейные операторы в унитарном пространстве а) Ах = ~ (х, е;)/,, Чх Е Ъ'; б) А"у = ~ (у, Це,, Чу Е И'. в=1 а=1 61.4. Пусть оператор А действует в евклидовом (унитарном) пространстве $~. Показать, что 1гА = ~~ (Ае„е;) ~=! для любого ортонормированного базиса е„..., е„рассматриваемого пространства 1'.
61.5. Пусть е,..., е„— ортонормированный базис подпространства Ь евклидова пространства У. Используя скалярные произведения (у, е,),..., (у, еь), найти образ произвольного вектора у Е 1' для оператора: а) ортогонального проектирования на подпространство Ь; б) ортогонального проектирования на подпространство Ь~; в) ортогональною отражения относительно подпространства Ь; г) ортогонального отражения относительно подпространства 61.6.
Подпространство 1 задано системой уравнений: (х,е~) = О,..., (х, ея) = О, где еы..., еь — некоторая ортонормированная система векторов. Найти, используя скалярные произведения (у, е~),..., (у, еь), образ произвольного вектора у Е У для оператора: а) ортогонального проектирования на подпространство Ь; б) ортогонального отражения относительно подпространства 1 61.7. В естественном базисе е пространства К~ найти матрицу оператора ортогонального проектирования на линейное подпространство Ь, если Ь натянуто на систему векторов: а) (2,3,-1,1)т; б) (1,2,1, — 2)т; в) (1 1 2 0)т ( 1 1 1 3)т.
г) (1 1 1 1)т (О 1 1 0)т. д) (1, 1, — 1, 0)т, (О, 1, 1, — 1)т, ( — 1, 1, О, 1)т; е) (О 1 0 1)т (1 0 3 0)т (О 1 1 1)т 61.8. В базисе е найти матрицу оператора ортогонального отражения относительно подпространств Ь, заданных в задаче 61.7. 61.9. Линейное подпространство Ь четырехмерного евкли- зб1. Сопряженный оператор дова пространства Е в некотором ортонормированном базисе е задано системой уравнений.
Найти в том же базисе матрицу оператора ортогонального проектирования на Х, если: =О, =0 б) Х Х1 — Х2+ Хз — Х.» Зхг — 2хз + ЗХ4 =0 » =О, =0 \ О, О, О. 9 найти в базисе е мат и а) Х: х1+хг+хз+ Х4 — — 0; х1 + 2хг — хз + Х4 в) Х»: х» + Х2+ 2хз — Х4 Х1+ Зхг — 4хз + Зх4 Х1 + Х2 + Хз — Х4 Г) Х': Х1 — Х2+Хз+Х4 Х1+хг хз 2х4 = 61.10. В словиях з ачи 61 У ад р цу опе- ратора ортогонального отражения пространства К относительно указанных подпространств Х. 61.11. Пусть системы векторов Х„..., Х и д„..., д удо- влетворяют условиям (Х„д1) = О, 1,2 = 1,т, 1 ф 2.
Пусть Х, = Е(Х„..., Х„,), а подпространство Хз задано системой урав- нений (х,д,) = О,..., (х, д ) = О. Найти через скалярные про- изведения векторов у, Х„..., Х, д„...,д образ произвольного вектора у Е 'г' для оператора: а) проектирования на Х1 параллельно Х2, б) отражения относительно Х1 параллельно Х2. »»» 61.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
