Том 2 (1113040), страница 17
Текст из файла (страница 17)
62.39. Доказать, что оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда сопряженный оператор А' представляется многочленом от А. 62.40. Пусть А — нормальный оператор, действующий в евклидовом пространстве $', причем Аз = — Х. Доказать, что А' = — А. 62.41. Пусть а, б Е К и р(1) = 1з + а1+ 6 — многочлен, не имеющий вещественных корней. Предположим, что А — нормаль- 94 Глава ХЪ1.Линейные операторы в унитарном пространстве 0 1 1 62.50. А= 1 0 1 1 1 0 ,в= ~ ный оператор, действующий в евклидовом пространстве, причем р(А) = О.
Доказать, что А' = — А — аХ. 62.42. Пусть А — нормальный оператор, действующий в евклидовом пространстве 1', Ь вЂ” двумерное инвариантное относительно А подпространство в Ъ', причем А не имеет в Ь собственных векторов. Доказать, что подпространство Ь инвариантно относительно оператора А'. 62.43. Пусть А — нормальный оператор, действующий в двумерном евклидовом пространстве 1', причем спектр А пуст.
Доказать, что в любом ортонормированном базисе пространства Г матрица оператора А имеет вид -ь) 62.44. Доказать, что оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда для каждого инвариантного подпространства Ь оператора А его ортогональное дополнение Ьь также инвариантно относительно А. 62.45. Доказать, что оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда каждое подпространство, инвариантное относительно А, инвариантно и относительно сопряженного оператора А'.
62.46. Пусть нормальный оператор А перестановочен с некоторым оператором В Доказать,что: а) А' перестановочен с В; б) А перестановочен с В'. 62.47. Пусть нормальный оператор А, действующий в пмерном унитарном пространстве, имеет п различных собственный значений. Доказать, что любой оператор В, перестановочный с А, нормален. 62.48. Пусть А — комплексная нормальная матрица. Доказать, что существует такал нормальная матрица В, что Вз = А. 62.49. Доказать, что перестановочные нормальные операторы А и В имеют ортонормированный базис из общих собственных векторов. Показать, что указанные ниже матрицы А и  — нормальные и перестановочные, и построить для каждой пары ортонормированный базис из общих собственных векторов.
З62. Нормальные операторы и матрицы 95 2 2 — 1 1+51 †2+ 1 — 1 6251. А= 2 — 1 2, В= — 2+21 4+21 — 2+21 — 1 2 2 1 — ю' — 2+ 21 1+ 51 62.52. Доказать, что если нормальные операторы А и В перестановочны, то нормальными будут и операторы А+ В, АВ и ВА. 62.53. Пусть А и  — нормальные операторы, причем известно, что их образы ортогональны. Доказать, что А+ В— нормальный оператор. 62.54. Доказать, что если операторы А, В и АВ нормальны и хотя бы один из операторов А или В имеет не только простые, но и различные по модулю собственные значения, то А и В перестановочны. 62.55.
Доказать, что если операторы А, В и АВ нормальны и хотя бы один из операторов А или В не имеет различных собственных значений одинакового модуля,то А и В перестановочны. 62.56. Привести пример нормальных операторов А и В, для которых операторы АВ и ВА нормальны и различны.
62.57. Доказать, что комплексная матрица А = (аь,) Е С""" нормальна тогда и только тогда, когда )аь,)~ = ~~~ (Ль(~, ьд=1 ь=1 где Л„ ..., Л„ — все (с учетом кратности) собственные значения матрицы А. 62.58. Пусть А — нормальный оператор, действующий в и- мерном унитарном пространстве 1', и числа Л„..., Л„являются собственными значениями оператора А с учетом их алгебраической кратности.
Доказать, что А — нормальный оператор тогда и только тогда, когда Фг(А А) = Е 1Ль!2. ь=1 62.59. Матрицы А, В и АВ нормальны. Доказать, что матрица ВА также нормальна. 62.60. Спектральным радиусом р(А) оператора А называется максимальный из модулей его собственных значений Л„,..., Л„: р(А) = щах/Ль!. 96 Глава ХМ1.Пинейные операторы в унитарном пространстве Обосновать следующую экстремальную характеристику спек- трального радиуса нормального оператора А: р(А) = гпах !(Ах, х)! вйв (х, х) Что можно сказать о векторах, на которых достигается этот максимум? 62.61. Доказать, что имеют место следующие оценки для спектрального радиуса нормальной матрицы А и-го порядка: п а) р(А) > — ~ ~аь,, К)=1 Доказать что для б) р(А) > тпах (аьь).
62.62 спектрального радиуса нормального оператора А справедлива формула р(А) = тах —. )Ах! лФв ~х! Всякий ли вектор х, реализующий указанный максимум, будет собственным вектором оператора А? 963. Унитарные операторы и матрицы и*и =ии' =т. Из определения вытекает, что 1) оператор И унитарен (ортогонален) тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет унитарную (соответственно ортогональную) матрицу; 2) для унитарного (ортогонального) оператора и (Йейи) = 1; 3) для унитарного (ортогонального) оператора и и' =и 4) унитарный (ортогональный) оператор нормален.
теорема 63.1 (критерии унитарности). В унитарном (евклодовом) пространстве 1г слсдуюпьое углвержденпя равносильны: 1) оператор И упогларвн (вргпвевнален); 2)ИИ=Х; з) ии' =2; Линейный оператор и, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, называется уппгларпмм (соответственно врглвгопальнььм) оператором, если '363. Унитарные операторы и матрицы 97 4) оператор И сохранвет скалярное произведение, т.е.
(Их,Иу) = (х,у), Чх,у б У; 5) оператор И изометричен, т.е, сохраняет длину: )Их) = )х(, Чх б У; б) операьпор И переводит любой ортонормированный базис У в ортонормированный базис; 7) оператор И переводит хотя бы один ортонормированный базис У в ортонормироеанный базис. Сведет в и е. Унитарнььй (ортогональный) оператор на любом своем инвариантном подпространстве индуцирует унитарный (соответственна ортогональный) оператор. Теорема 63.2 (спектральная характеристика унитарного оператора). Нормальный оператор в унитарном пространстве унитарен тогда и только тогда, когда все его собственньье значения по модулю равны единице. Теорема 63.3. Если подпространство Ь инвариантно относительно унитарного (ортогонального) оператора И, пьо его орьпогональное дополнение Ь~ также инвариантно относительно И.
Теор е м а 63.4. Лля любого ортогонального оператора Д в евклидовом пространстве сутествуепь ортонормированный базис е, в котпором его ььатрица имеет квазидиагональную форму с клетками видо [ сов уь — з)п чь ] на главной диагонали: О (63.1) сов уьь — зьп уьь в)п уьь соз уьь соз уьь — ып ьрь зьп ьрь соз рь О Матрица (63.1) называется канонической формой матрицы орьпогонального оператора.
Простым враьцением называется оператор в евкпидовом пространстве, который в некотором ортоиормироввином базисе имеет матрицу вида 98 Глава ХЪЧ.Линейные операторы в унитарном пространстве 1 соз у — сйп у в!и у сову 1 Простым отпражением называется оператор в евклидовом пространстве, который в некотором ортонормироваином базисе имеет матрицу вида Теорема 63.5.
Всякий орп!огональный опера!пор може1п быть представлен как произведение некоторого числа простых врон!ение и простых отражений. Пример 63.1. Линейный оператор А унитарного (евклидова) пространства переводит векторы базиса 11,...,1„ соответственно в векторы д1,...,9 . Показать, что оператор А унитарен (ортогонален) тогда и только тогда, когда матрицы Грама систем 11,...,1„ и 91,...,д„ совпадают.
Решение. Пусть х = ~~! хй11 и у = ~~! 911, — произвольные векторы 1=1 1=1 пространства. Оператор А — унитарен (ортогонален)тогда и только тогда, когда он сохраняет скалярное произведение любой пары векторов. Так как в (х,у) = ~~! Хйуг(11,11), (Ах,Ау) = ~~! Хйуз(А11,А11) = ~ ~хйу1(дй,д1), й,1=1 й,1=1 й,1=1 то унитарность (ортогональность) оператора равносильна равенству хйу1(1й,11) = ~~' хйу1(9й,91) чх = ~хй11 у = ~~' 9111 й,1=1 й,1=1 й=1 1=1 что, как легко проверить, равносильно совпадению матриц Грама О(11,",1-) = О(91,",9») ° Пример 63.2.
Оператор А задан в некотором базисе четырехмерного пространства !1 матрицей 1 2 1 1 ~ 2 1 1 1 — 2 — 2 -2 -1 -2 -2 -1 -2 363. Унитарные операторы и матрицы 99 Покэзать, что оператор А является оператором отражения, и ввести скаляр- яое произведение в И так, чтобы оператор А был ортогональным. Решение. 1. Покажем, что оператор А имеет простую структуру, а его спектр состоит из двух чисел: Л» = — 1 и Лг = 1. В этом случае про- странство И разлагается в прямую сумму собственных подпространств Иг», я И'», отвечающих собственным значениям Лг = — 1 и Лг = 1 соответствен- на, дтсюда непосредственно следует, что оператор А является оператором отражения в подпространстве Иг» относительно И'»,. Лействитепьно: Чхб)г: х=х»ч-хг, Ах = Ахг+Ахз = — х»+хг хг е Иг»,, хг е 'и'», > Итак, построим характеристический многочлен оператора А: 1 — Л 2 -2 — 2 2 1 — Л -2 — 2 1 1 -2— -1 1 1 Л -1 — 2 — Л Пег(А — Л1) = -1 — Л 1+Л 0 0 2 1 — Л 1 1 0 0 -1 — Л 1+Л -2 -2 -1 -2 — Л -1 0 0 1 — Л 1 1 0 1 -1 — 2 — 1 — 2 — Л 1 2 0 -2 = (А+1)г 1 0 0 0 2 3 — Л 1 2 0 0 1 0 -2 -4 -1 — 3 — Л = (Л+ 1) (Л вЂ” 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
