Том 2 (1113040), страница 20
Текст из файла (страница 20)
64.7. Доказать, что отражение унитарного (евклидова) пространства й относительно подпространства Ь, параллельно под- 112 Глава ХИ.Линейные операторы в унитарном пространстве 1 — 3 — 1 — 2 7 2 3 2 — 4 а) ; б) ; в) . [ пространству Ь, будет самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда А, и 7, ортогональны. 64.8. Описать все эрмитовы операторы, действующие в одномерном пространстве. 64.9.
Линейный оператор А действует в двумерном евклидовом пространстве, причем для некоторой пары неколлинеарных векторов х и у выполнено (Ах,у) = (я, Ау). Доказать, что А — симметрический оператор. 64.10. Показать, что оператор, действующий в геометрическом пространстве Ъ; по правилу Ах = [х, а), где а — заданный вектор, является кососимметрическим. 64.11. Оператор, действующий в пространстве К~ со стандартным скалярным произведением, переводит векторы 1~ (0~ 1~ 1~ 1)~ ~з ( 1~0~ 1~ 1)~ ~з ( 1~ 1~0~ 1)~,~4 ( 1~ 1~ 1)0) соответственно в векторы д~ — — (3, — 1, — 1, — 1), дз — — (1, — 3, — 1, — 1), дз — — ( — 1, — 3, — 1, 1), д, = ( — 3, — 1, — 1, 1).
Будет ли этот оператор симметрическим? 64.12. Показать, что операторы задачи 62.6 являются симметрическими в пространстве М„со стандартным скалярным произведением. 64.13. Показать,что оператор, унитарный и эрмитов одновременно, или равен ~Х,или является оператором ортогонального отражения. 64:14. Доказать, что если линейный оператор А, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, обладает любыми двумя из следующих трех свойств: 1) А — самосопряженный оператор; 2) А — унитарный (соответственно, ортогональный) оператор; 3) А — инволюция, т.е. Аз = 2', то он обладает и третьим свойством.
Найти все классы операторов, обладающих всеми этими свойствами. 64.15. Выяснить, будет ли самосопряженным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе следующей матрицей: З64. Самосопряженные операторы и матрицы 113 64.16. Выяснить, будет ли самосопряженным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе унитарного пространства следующей матрицей: а) . ; б) . ; в) . ; г) е) 1+з 3 1 д) 64.17. Может ли матрица самосопряженного оператора в некотором базисе евклидова пространства быть несимметрической? 64.18.
Найти ортонормированный базис е из собственных векторов и матрицу А, в этом базисе для линейного оператора, заданого в некотором ортонормированном базисе матрицей: 11 2 — 8 2 2 10 — 810 5 17 — 8 4 — 8 17 — 4 4 — 4 11 2 2 ' б) г' 4 [ 64.19. Привести указанные матрицы унитарно подобным преобразованием к диагональному виду: а) А= 2 — 2' 1,'б) А= 2 ' 7,в) А= 64.20. Показать, что в пространстве С""" со стандартным скалярным произведением: а) оператор умножения на заданную эрмитову матрицу (слева или справа) является самосопряженным; б) оператор умножения на заданную косоэрмитову матрицу (слева или справа) является косоэрмитовым; в) оператор эрмитова сопряжения является эрмитовым.
64.21. Пусть Н, и Н, — эрмитовы матрицы и-го порядка. Показать, что операторы УХ = Н,ХН, и ДХ = Н,Х + ХН, являются эрмитовыми. 64.22. Пусть А — матрица линейного оператора в некотором базисе, à — матрица Грама этого базиса. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять матрица А для того, чтобы этот оператор был: а) симметрическим (в евклидовом пространстве); б) эрмитовым (в унитарном пространстве)? 114 Глава ХЪ7.Линейные операторы в унитарном пространстве 64.23.
Линейный оператор А евклидова или унитарного пространства задан матрицей А в некотором базисе; à — матрица Грама этого базиса. Определить, является ли оператор А само- сопряженным, если: а)А= 1 1,Г= 1 2 , .6)А= 1 1,Г= в)А= 2 З,Г= 3 5, г)А= — 2' О,Г= 1 О О 1 2 Π— 1 — 3 — 1 )А= ~ ,г= [ Π— 1 О,Г= — 1 2 — 2 1 — 1 — 1 — 1 2 Π— 1 О 3 1 — 1 — 1 ж) А= Г= 1 О О з) А= — 2в' -1 О 2 — Зз 2 — 2 — г Г= ) Я вЂ” К ~ 64.24.
Симметричный оператор, действующий в пространстве многочленов Мз со стандартным скалярным произведением, переводит многочлены 2+ 21 — Р и 2 — 1+ 2~з соответственно в 5 — 1 — гз и 3+ 31+ Згз. След этого оператора равен 3. Найти его матрицу в базисе 1, 1, 1з. 64.25.
Что можно сказать об операторе А, если он в любом базисе имеет эрмитову матрицу? 64.26. Пусть Н, и Нз — комплексные эрмитовы матрицы одинакового порядка. Доказать, что след матрицы Н,Нз есть число действительное. 64.27. Пусть эрмитова матрица Н представлена в виде Н = Я+ гК, где Я и К вЂ” действительные матрицы. Показать, что Я вЂ” симметрическая, а К вЂ” кососимметрическая матрица. 64.28.
Доказать, что в условиях предыдущей задачи действительная матрица зб4. Самосопряженные операторы и матрицы 115 является симметрической. 64.29. Доказать, что кронекерово произведение эрмитовых матриц Н, и Нз (имеющих, быть может, разный порядок) само является эрмитовой матрицей. 64.30.
Доказать, что симметрическая матрица ортогонально подобна вещественной диагональной матрице. 64.31. Доказать, что для эрмитова оператора 'Н скалярное произведение (Нх, х) есть число действительное для любого вектора х. 64.32. Доказать, что если 'Н вЂ” самосопряженный оператор и скалярное произведение (Нх, х) равно нулю для любого вектора х, то оператор Н нулевой. 64.33.
Доказать, что если 'Н1 и Нз — самосопряженные операторы и для любого вектора х выполнено (Н1х, х) = (Нзх, х), то Н1 — Нг. 64.34. Доказать, что если для любого вектора х унитарного пространства $' скалярное произведение (Нх,х) есть число действительное, то оператор Н эрмитов. 64.35. Доказать, что если А — унитарный оператор и оператор А — Х обратим, то оператор 1(А — Х) '(А+ Х) эрмитов. 64.36. Пусть А — эрмитов оператор. Доказать, что: а) оператор А — хХ обратим; б) оператор В = (А — 11) '(А + 1Х) унитарен; в) оператор  — Х обратим; г) имеет место равенство А = 1( — Х) з(В+ Х). 64.37. Показать, что оператор А является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда оператор 1А эрмитов.
64.38. Показать, что собственные значения косоэрмитова оператора суть чисто мнимые числа. 64.39. Пусть А — кососимметрический оператор, действующий в евклидовом пространстве 1'. Доказать, что (Ах, х) = 0 для любого вектора х Е 1'. 64 40 Доказать, что если А — линейный оператор, действующий в унитарном пространстве Ъ', и для всех векторов х Е 1' выполнено равенство (Ах, х) = О, то оператор А нулевой. Справедливо ли подобное утверждение в евклидовом пространстве? 64.41.
Доказать, что ортогональное дополнение Ь~ к подпространству Ь евклидова (унитарного) пространства, инвариант- 116 Глава ХЧ1.Линейные операторы в унитарном пространстве ному относительно кососимметрического (соответственно, косоэрмитова) оператора А, также инвариантно относительно А. 64.42. Доказать, что характеристический многочлен косо- симметрической матрицы имеет только чисто мнимые корни. 64.43. Доказать, что характеристический многочлен косо- симметрической матрицы является четным многочленом. 64.44.
Доказать, что кососимметрический оператор, действующий в нечетномерном пространстве, вырожден. 64.45. Доказать, что если косоэрмитов оператор А в унитарном пространстве имеет в некотором ортонормированном базисе вещественную матрицу и собственный вектор, отвечающий собственному значению гсг, а 6 И, представлен в виде х+ гу, где векторы т и у имеют вещественные координаты, то: а) векторы х и у ортогональны; б) векторы х и у имеют одинаковую длину; в) выполнены соотношения: Ах = — оу, Ау = сгх. 64.46. Доказать, что для любого кососимметрического оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет квазидиагональную форму с клетками второго порядка вида О ~, ф ф О, и О ~31 нулевыми клетками первого порядка на главной клеточной диагонали.
64.47. Доказать, что кососимметрическая матрица ортогонально подобна вещественной квазидиагональной матрице с нулевыми клетками первого порядка и кососимметрическими клетками второго порядка на главной клеточной диагонали. 64.48. Найти характеристический многочлен вещественной матрицы, одновременно ортогональной и кососимметрической. 64.49. Доказать, что вещественная трехдиагональная матрица а, Ьг О ... О О Ь, аг Ьг О О О Ьг аз О О ЬяФО,Ус=1,п — 1, О О О ... а„, Ь„, О О О ... Ь„г а„ ортогонально подобна диагональной матрице с различными диа- гональными элементами.
З64. Самосопряжениые операторы и матрицы 64.50. Используя результат предыдущей задачи, показать, что матрица Якоби ад Ьг 0 ... 0 0 с, аг Ьг . 0 0 0 сг аз 0 0 Ьсг>О,г=1,и, 0 0 0 ... а„, Ь„, 0 0 О ... с„, а„ вещественно диагонализуема. 64.51 Доказать справедливость следующих представлений для максимального и минимального собственных значений эрмитова оператора 'Н: ('Нх, х) Л, =шах Фв (х, х) (Нх, х) Л„= ппп *Фв (х, х) Л, > шах Ьы, Л„< пппЬы. г г 64.53. Пусть максимальное собственное значение Л, эрмитовой матрицы Н = (Ьяг) совпадает с некоторым диагональным элементом Ьгы Доказать, что все внедиагональные элементы Й-й строки и Й-го столбца матрицы равны нулю.
64.54. Пусть подпространство 1, натянуто на собственные векторы е„..., ег эрмитова оператора 'Н, отвечающие собственным значениям Л„..., Лы занумерованным в порядке невозрастания. Доказать, что выполнены соотношения; (Нх, х) Лг — — шах *еыхФВ (х, х) ('Нх, х) Ля = ппп хецхФВ (х х) 64.55. Пусть собственные значения Л„..., Л„эрмитова оператора Н, действующего в и-мерном пространстве И, занумерованы в порядке невозрастания. Доказать следуюшую пгеорему Показать, что векторы, на которых достигаются указанные экстремумы, являются собственными векторами оператора 'Н.
64.52. Показать, что для максимального и минимального собственных значений эрмитовой матрицы Н = (Ьь,) справедливы оценки: 118 Глава Х'у1.Линейные операторы в унитарном пространстве Куранша-Фишера: для каждого собственного значения Ль спра- ведливы представления: ('Нх, х) (гтх, х) Ль — — шак ппп, Ль — — пцп шах ьь яйьь,еге (Х) Х) ь„-ь+) яей„-ь+),ага (Х) Х) В первом равенстве максимум берется по всем (с-мерным подпространствам 1ь пространства 1', аналогично, во втором равенстве минимум берется по всевозможным подпространствам Ь„ь+, размерности и — (с + 1. 64.56. Пусть Н„, — произвольная главная подматрица эрмитовой матрицы Н порядка и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
