Том 2 (1113040), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Используя теорему КурантаФишера, доказать, что собственные значения ры..., (ги з матрицы Н„„занумерованные в порядке невозрастания, разделяют собственные значения матрицы Н, иными словами, Лз > рз > Лз > )гз > ... Ли — г > ра — г > Ла. 665. Знакоопределенные операторы н матрицы Теорема 65.1. Линейный оператор А в унитарном прострамстиве )г эрми)пов тогда и только гаогда, когда (65.1) (Ах, х) Е К, Чх Е )г. Условие (65.1) формально верно и в евклидовом пространстве, однако лишено смысла, так как справедливо для любого линейного оператора А. Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве )) называется положительно определенным, если (Ах,х) > О, Чх ~ й, меотрицательно определенным (отрицательнв определенным, неположительно опрвделвммымЛ если (Ах,х) > О, Чх б (г (соответственно (Ах,х) < О, Ъх ф й) или (Ахх) < О, Чх Е Ъ).
Обозначение) А > О, А > О, А < О, А < О соответственно. Эрмитова (симметрическая) матрица А порядка и называется положительно определенной если для любого ненулевого вектора-столбца х Е С" (соответственно х Е Й ) х Ах > О (соответственно х Ах > О). Аналогично определяются отрицательно, меотрица)нельма и неположительно определемные матрицы. Из определения следует, что оператор положительно определен тогда в только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет положительно определенную матрицу. Аналогичное утверждение имеет место в для операторов А > О, А < О, А < О. Теорема 66.2.
Самосолряжеммый оператор А в унитарном или евклидовом прострамстве наложи)лелька определен (А > О, А < О, 365. Знакоопределенные операторы и матрицы 119 А < О) тогда и только тогда, когда все его собственные значения Л положительны (соответственно, Л > О, Л < О, Л < 0). Следствие 1. Если А > О (или А < О), то А обратим. Следствие 8.
Определитель положительно (неотрицатпельно) определенного оператора положителен (соответственно неотрицателен). 5 5 3 -3 5 5 3 — 3 3 3 5 — 5 — 3 — 3 — 5 5 Решение. Найдем собственные значения матрицы А: 5 — Л 5 3 — 3 — 3 -3 -5 5 — Л 5 3 5 — Л 3 3 5 — Л -3 — 5 с)ес(А — Л1) = — Л Л О 5 5 — Л 3 0 0 -Л -3 -3 — 5 1 0 0 0 5 10 — Л 3 — 6 0 0 1 0 — 3 — 6 — 5 10 — Л 0 -3 -Л 5 — Л вЂ” Лз =Л / 6 10 Л /=Л(Л вЂ” 4)(Л вЂ” 16). Итак, собственными значениями матрицы А являются числа Л1 = О, Лз = 4, Лз = 16.
Так как все Л неотрицательны, то в силу теоремы 65.2 матрица А неотрицательно определена. Поэтому для нее существует квадратный корень Аиз (теорема 65.4). Пля нахождения Аиз построим матрицу Я преобразования подобия, приводящего исходную матрицу А к диагональной форме: А = ЯЛЯ ', где Л = 6)а8(0, О, 4, 16). Тогда Аиз = ЯйизЯ ', где ЛН~ = о(аб(0, 0,2,4).
Чтобы построить матрицу Я (см, пример 58.1), найдем базис из собственных векторов матрицы А. Так как матрица А симметрическая, то этот базис можно выбрать ортонормированным (теорема 64.1). Теорема 65.3. Оператор, обратный к положительно (отрицательно) определенному оператору, положительно (соответственно отрицагаельно) определен. Теорема 65.4. Яля любого неотрицательно (положигпельно) определенного оператора А существует, и притом единственный, неотрицательно (соответственно положительно) определенный оператор Е такой, что В' = А.
Оператор Е называется квадратным корнем из оператора А и обозначается Аиз. Аналогично определяется квадратный корень АН~ из положительно (неотрицательно) определенной матрицы А. Пример 65.1. Найти квадратный корень из матрицы 120 Глава ХЪ~1.Линейные операторы в унитарном пространстве Собственные векторы, отвечающие Л1 = О, являются ненулевыми решениями системы Ах=О'=Э [З З 5 -5)О1 '[О О 1 -1)О1. 5ззо 51-1оооз (А — 41)хмок=э 3 3 1 5 О -+[О 2 1 — 1 0~. 5 1 3 — 3 0 з 3 5 1 0 0 0 1 1 0 Отсюда ез = -(1, 1, — 1, 1) 2 Наконец, собственное подпространство, отвечающее Лз = 16, также одномерно и, решая систему (А — 161)х = 0 я=Э -11 5 3 -3 5 — 11 3 — 3 3 3 — 11 — 5 — 3 — 3 — 5 — 11 (1 -1 0 0 01 -+ ~0 -2 1 -1 0~, 00110 получим ея = -(1, 1,1, -1) 2 Тем самым, матрица Я преобразования подобия имеет вид 1 1 1 0 з/2 2 2 1 1 1 0 за 2 2 1 1 1 0 ,/2 2 2 1 1 1 0 з/2 2 2 Так как векторы еы ею ез, ез и, следовательно, столбцы матрицы о образуют ортонормированную систему, то Я вЂ” ортогональная матрица.
Поэтому — ~т Таким образом, получим 0 0 1 2 0 0 1 2 О 0 -1 2 0 0 1 — 2 А1/3 — ЯЛ1/зЯт— Базис этого собственного подпространства образуют нормированные векторы ез = — (1,— 1,0,0), ез = — (0,0,1,1) . Нетрудно видеть, что эти з/2 з/2 векторы ортогонэльны. Собственное подпространство, отвечающее Лз = 4, очевидно, одномерно, и соответствующий линейно независимый собственный вектор ез находится из системы ~65.
Знакоопределенные операторы и матрицы 121 ЗАДАЧИ 65.1. Может ли положительно определенный оператор 'Н переводить ненулевой вектор т в вектор у, ортогональный к к? 65.2. Показать, что положительно определенный оператор не вырожден. 65.3. Пусть 'Н вЂ” положительно определенный оператор евклидова пространства $~. Показать, что для любого ненулевого вектора к Е 1' его образ образует с и острый угол. 65.4. Показать, что всякий оператор ортогонального проектирования является неотрицательно определенным оператором. 65.5. Пусть 'Н и Б — неотрицательно определенные операторы. Показать, что для любых неотрицательных чисел а и Д оператор а'К + )Ю является неотрицательно определенным.
65.6. Пусть Н и Б — неотрицательно определенные операторы, и пусть для некоторых оюД Е К оператор ао'К + ДБ положительно определен. Показать, что в таком случае положительно опеределены все операторы аН + 338, где о и ~3 — произвольные положительные числа. 65.7. Показать, что эрмитов оператор 'Н является неотрицательно (положительно) определенным тогда и только тогда, когда для всякого положительного (соответственно неотрицательного) числа е оператор Я + еХ не вырожден. 65.8. Пусть 1' и И" — пара унитарных (или евклидовых) пространств и А — произвольный линейный оператор, действующий из 11 в И'. Показать, что произведение А'А является неотрицательно определенным оператором, действующим в пространстве Р', а произведение АА* — неотрицательно определенным оператором, действующим в пространстве И~.
Соответственно, для любой матрицы А Е С""" матрицы АнА и ААн неотрицательно опеределены. 65.9. Доказать, что ГКА'А = гКАА' = гкА. 65.10. Доказать, что операторы А'А и АА* положительно определены тогда и только тогда, когда оператор А обратим. 65.11. Пусть 'Н вЂ” неотрицательно определенный оператор и (Як,ж) = О для некоторого вектора к. Доказать,что: а) т принадлежит ядру йег 'Н оператора Я; б) оператор Н~Т, индуцированный на образе Т = пп'Н опе- 122 Глава ХЧ1.Линейные операторы в унитарном пространстве ратора Я, является положительно определенным. 65.12.
Что можно сказать о неотрицательно определенном операторе Н, если его след равен нулю? 65.13. Пусть Н вЂ” комплексная положительно определенная матрица. Доказать, что матрица Н также положительно определена. 65.14. Главной подматрицей квадратной матрицы называется матрица, составленная из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами, Доказать, что любая главная подматрица неотрицательно (положительно) определенной матрицы сама является неотрицательно (соответственно положительно) определенной.
65.15. Главнььи минором квадратной матрицы А называется определитель соответствующей главной подматрицы. Показать, что в положительно определенной матрице все главные миноры положительны. 65.16. Угловым минором к-го порядка квадратной матрицы А называется главный минор, стоящий на пересечении строк и столбцов с номерами 1, 2,..., lс. Доказать следующий критерий Сильвестра положительной определенности: для того чтобы эрмитова матрица Н была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры этой матрицы были положительны. 65.17.
В неотрицательно определенной матрице Н угловой минор порядка и равен нулю. Доказать, что равны нулю все угловые миноры порядка выше Й. 65.18. Доказать, что в отрицательно определенной матрице Н все главные миноры нечетного порядка отрицательны, в то время как все главные миноры четного порядка положительны. 65.19. Сформулировать и доказать критерий Сильвестра отрицательной определенности эрмитовой матрицы Н. 65.20. Доказать, что если е — какой-либо базис унитарного пространства Г, то матрица Грама этого базиса положительно определена. 65.21. Доказать, что если матрица А Е С""" положительно определена, то в любом и-мерном унитарном пространстве Р' матрица А является матрицей Грама некоторого базиса в $". Для каждой из указанных ниже трехдиагональный матриц порядка и определить, является ли эта матрица положительно з65.
Знакоопределенные операторы и матрицы 123 или отрицательно определенной. 65.22. 65.23. 65.24 65.25 65. 26 усть в матрице А все диагональные элементы равны се внедиагональные равны а. Доказать, что если атрица А положительно определена. 65.27. П единице, а в (а) (1, то м п — 1 1 0 ... 0 0 0 1 и — 2 1 ... 0 0 О 0 1 и — 3 ... 0 0 0 0 0 0 ... 2 1 0 0 0 0 ... 1 1 1 0 0 0 ... 0 1 0 и+1 1 0 ... 0 0 0 1 п 1 ... 0 0 0 0 1 и — 1 ... 0 0 0 0 0 0 ...
4 1 0 0 0 0 ... 1 3 1 0 0 0 ... 0 1 2 и 1 0 ... 0 0 0 1 и — 1 1 ... 0 0 0 0 1 п — 2 ... 0 0 0 0 0 0 ... 3 1 0 0 0 0 ... 1 2 1 0 0 0 ... 0 1 1 п~ 1 ... 0 О 1 (и — 1)2 ... О О 0 0 ... 4 1 0 0 ... 1 1 1 1 0 ... 0 0 1 2 1 ... 0 0 0 1 2 ... 0 0 0 0 0 ... 2 1 0 0 0 ... 1 1 124 Глава ХЪ'1.Линейные операторы в унитарном пространстве 65 28. Доказать, что если в трехдиагональной матрице вида а 6 0 ...
0 0 6 а 6 ... 0 0 0 Ь а ... 0 0 0 0 0 ... а Ь 0 0 0 ... Ь а действительные числа а и 6 удовлетворяют условию а — 1 > Ьг, то эта матрица положительно определена. 65.29. Доказать, что если в трехдиагональной матрице вида а, Ьд 0 ... 0 0 Ьд аг Ьг ... 0 0 0 Ьг аз . 0 0 0 0 0 а„д 6„д 0 0 0 Ь„д а„ действительные числа ад и 6д таковы, что а, > 1, ад.дд > Ьд~ + 1, И = 1, и — 1, то эта матрица положительно определена. 65.30. В неотрицательно определенной матрице А = (ад,) для некоторого Ь выполнено аы — — О. Доказать, что адд — — а д — — 0 для всех у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
