Том 2 (1113040), страница 18
Текст из файла (страница 18)
= (Л+ 1) Таким образом, собственными значениями являются числа Л~ = — 1 и Лг = 1 ачгебраических кратностей т» = 3 и гпг = 1 соответственно. Лля нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению Лг — — — 1, необходимо решить систему (А+1)х=О с= [2 2 1 1[0 [ Фундаментальная система решений этой системы е» = (1,-1,0,0) т ег = (0,0,1,-1)т, ез = (1,0,— 2,0) образует базис собственною подпространства Иг» „откуда следует, что геометрическая кратность собственного значения Лг = — 1 равна трем и совпадает с его апгебраической кратностью гам Лля нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению Лг = 1, необходимо решить систему О 2 1 1 0 1 -1 0 0 01 (А 1)х=б '=' -2 -2 -3 -1 О + 2 0 1 1 0 — 2 -2 -1 -3 0 0 0 — 1 1 0 Фундаментапьная система решений этой системы состоит из одного вектора е4 = (1,1,-1,— 1) и образует базис собственного подпространства т И»»г.
Тем самым, геометрическая кратность собственного значения Лг = 1 равна единице и совпадает с его алгебраической кратностью гпг. Согласно критерию теоремы 58.3 оператор А имеет простую структуру. 2. Как следует из теоремы 63.2, оператор А простой структуры с собственными значениями Лг = -1 и Лг = 1 будет ортогональным, если его собственные векторы образуют ортонормированный базис. 100 Глава ХЪУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве Введем скалярное произведение так, чтобы базис ег, ег, ез, с4, построенный выше, был ортонормированным. Пусть два произвольных вектора х и у пространства г' заданы вектор- столбцами своих координат в исходном базисе: Х = (Х1,Х2,ХЗ!Х4), У = (У1!У2,УЗ,У4) т т Разложим векторы х и у по базису е: х = агег+ агег+ азез 4-а4е4, у = !3!е1+!Згег 4.4гзез 4-134е4 (х У) !" 141 + аг! 2 !" азРЗ + а4!34.
(63.2) Очевидно, что в этом случае система е1, ег, ез, е4 станет ортонормированной. Чтобы найти координаты вектора х = (хг, хг, хз, х4) в базисе е, решим т систему: с 1 0 1 1 х! — 1 0 0 1 хз -1 0 0 1 х2 0 1 -2 — 1 хз 0 1 -2 — 1 хз 0 0 1 2 х!+хг 0 -1 0 -1 х4 0 0 0 2 2хг + 2хг + зз + Х4 аг = аз = а4— Аналогичные соотношения (с заменой х.
на у,) имеют место для координат вектора у = (уз, уг, уз, уз) в базисе е. т Окончательно из (63.2) получим формулу для скалярного произведения: (Х,У) = (Хг+ )(У1+ ) + (Х1+Хг+ )(У!+Уз+ + уз+ ЗУ4 2 ) -)- (х! + х2 !- хз + х4)(У! + У2 + Уз + УЯ) -!- (х! + х2+ +хз+Х4)( уз+У4) ЗАДАМИ 63.1. Доказать, что ортогональные (унитарные) операторы в пространстве Е('зг, 12) образуют мультипликативную группу. 63.2.
Образует ли подгруппу в группе всех ортогональных операторов, действующих в евклидовом пространстве: а) подмножество операторов с определителем, равным 1; и введем скалярное произведение равенством 2 0 0 0 2х!+Хзтх4 0 2 0 0 — 2Х! — 2хг — хз — Зх4 0 0 1 0 -х1 — хг — хз — Х4 0 О 0 2 2Х! 4-2хг 4-хз + х4 ХЗ + Х4 Х1+ 2 х! + Зх4 — х! — хг— 2 х! хг хз х4 ХЗ -!- Х4 хг+хг+ ЗбЗ. Унитарные операторы и матрицы 101 б) подмножество операторов с определителем, равным — 1? 63.3. Пусть $' — евклидово (унитарное) пространство, А — некоторое его подпространство. Образует ли подгруппу в группе ортогональных (унитарных) операторов подмножество операторов, для которых Ь является инвариантным подпространством? 63.4.
Показать, что произведение унитарного оператора на число а является унитарным оператором тогда и только тогда, когда )а) = 1. 63.5. Описать все унитарные операторы, действующие в одномерном пространстве. 63.6. Определить, является ли ортогональным (соответственно, унитарным) оператор: а) поворота плоскости Р~ на угол о; б) оператор, действующий в пространстве 1з по формуле Ах = (х, а), где а — заданный вектор; в) оператор, действующий в пространстве М„со стандартным скалярным произведением по правилу АД1) = ~( — 1); г) оператор, действующий в пространстве М„со стандартным скалярным произведением по правилу АЯ) = 1"Д1 '); д) оператор из пункта "в)", если скалярное произведение в М„задано формулой (61.1) с а = — 1, 6 = 1; е) оператор из пункта "г)", если скалярное произведение в М„задано формулой (61.1) с а = — 1, 6 = 1; ж) оператор, действующий в пространстве К "" (С "") со стандартным скалярным произведением по правилу УХ = АХ, где А — заданная матрица порядка тп; з) оператор, действующий в пространстве И "" (С "") со стандартным скалярным произведением по правилу УХ = ХВ, где  — заданная матрица порядка и.
63.7. Пусть А — нормальный оператор, действующий в трехмерном унитарном пространстве. Показать, что если собственные значения Л„Л„Лз этого оператора, рассматриваемые как точки комплексной плоскости, не лежат на одной прямой, то оператор А можно представить в виде А=аХ+рй, где И вЂ” унитарный оператор, а Е С, р ) 0 — некоторые числа. 63.8. Может ли оператор проектирования быть унитарным? 63.9. Показать, что оператор ортогонального отражения является унитарным оператором. 102 Глава ХЧ1.Линейные операторы в унитарном пространстве 63.10. Показать, что операторы задачи бз.б, пунктов "в)" и "г)" являются операторами ортогонального отражения. Найти собственные подпространства каждого из них. 63.11. Локазать,что нормальный оператор А, удовлетворя- ющий условию А" = Х при некотором целом й ~ О, является унитарным оператором.
63.12. Линейный оператор А евклидова (унитарного) про- странства переводит некоторый базис у„..., у„в систему век- торов д, = Ау„..., д„= Ау„. Показать, что оператор А ортого- нален (унитарен) тогда и только тогда, когда матрицы Грама сне~ем /„...,/„и д„...,д„совпадают. 63.13. Определить, является ли ортогональным оператор А н-мерного евклидова пространства, действующий на векторы ортонормированного базиса ем..., е„по формулам; а) Ае, = е,+е„Аез = ез, б) Ае, = е,+е„Аез = е,— е,; 1 1 в) Ае, = — (е, + ез), Аез = — (е, — ез); ъ/2 ~/2 1 1 г) Ае, = — (5е, — 12ез), Аез — — — (12е1+ 5ез); 13 13 1 1 д) Ае, = -(Зе, + 4е,), Аез = — (4е, + Зе,); 5 5 е) Ае, = е1+гез+гез, Аез — — ге1+ез — 2ез, Аез — — 2е1 — гез+ез, 1 1 ж) Ае, = -(2е, + ез — 2ез), Аез = — (е1+ ез), 3 ,/г 1 Аез — — — ( — е1 + 4ез + ез); 3,/г 1 1 1 з) Ае1 — — — (е1+ез), Аез — — — (ез+з/Зез) Аез = (е1 — ез).
~/2 ' 2 =,/з 63.14. Определить, является ли унитарным оператор А п- мерного унитарного пространства, действующий на векторы ор- тонормированного базиса е„..., е„по формулам: а) Ае, = е, +1ем Аез — — 4е„б) Ае, = е, +1ем Аез = ге„+е„ 1 1 в) Ае1 — — — (ге1+1ез), Аез — — — (~е1+ гез); ~/5 ~/5 1 1 г) Ае, = — (2е, + (1+ 21)ез), Аез — — — (5е, — 2(1 + 21)ез); 3 ЗЛ 163. Унитарные операторы н матрицы 103 1, 1 д) Аез — — — (ез + зез), Аез — — -(зез + ез — зз/2ез), з/2 ' 2 1 Аез = — (е, — зег+ з/2ез); 1, 1 е) Аез = †(е, — зез), Аег = -(2зе, + ез — 2зез), з/2 3 1 Аез = -(е, — 2зез+ 2ез). 3 63.15.
Линейный оператор А евклидова пространства пе- реводит систему векторов, заданных в некотором ортонормиро- ванном базисе координатными столбцами а„..., а„, в систему векторов, заданных в том же базисе координатными столбцами Ьн..,,Ь„соответственно. Проверить, является ли оператор А ортогональным, если: а) а, = (3, 4)з, аг = (1 3)т Ьз (5 0)т 6з (3 1)т б) о (2 Цт о ( 1 1)т 6 (1 2)т Ь = (1 1)т. в) аз — †(1, 2, 2)т, аз — †(1, 1, 0)з, аз — †(О, 1, -1)з, Ьз = (2, 2, 1)т, Ьз — — (О, 1, 1)т, Ьз — — ( — 1, 1, 0) г) аз — †(2, 2, 2, 2)з, аз — †(2, О, 2, 2)т, аз = (2, 2, О, 2)т, а4 = (2 2 2 0)т Ь (4 О О 0)т 6з (3 1 1 1)т Ьз = (3 11 '1 1)т Ь, = (3, 1, 1, -1)'.
63.16. Пусть А — матрица линейного оператора в некотором базисе, à — матрица Грама этого базиса. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять матрица А для того, чтобы этот оператор был: а) ортогональным (в евклидовом пространстве); б) унитарным (в унитарном пространстве)? Отдельно рассмотреть случай, когда базис ортонормированный.
63.17. Пусть А — матрица линейного оператора в ортонор- мированном базисе п-мерного евклидова (унитарного) простран- ства. Показать, что каждое из следующих условий необходимо и достаточно для ортогональности (унитарности) этого опера- тора: а) столбцы матрицы А, рассматриваемые как векторы К" (С"), образуют ортонормированный базис; б) строки матрицы А, рассматриваемые как векторы К" (С"), образуют ортонормированный базис. 63.18. Проверить, является ли ортогональным линейный 104 Глава ХЧ1.Линейные операторы в унитарном пространстве оператор, заданный в ортонормированном базисе евклидова про- странства матрицей: ~ 3 2 3 в)б 34 0 1 1 — 1 0 — 1 — 1 1 0 63.19. Проверить, является ли унитарным линейный оператор, заданный в ортонормироваппом базисе унитарного пространства матрицей: а) 1, б) ~~2, 1 ., в)д 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 г)— 2 где Уп — клетка порядка й.
63.20. Доказать, что если матрица А = (ая,) Е С""" унитарна, то В = ((а,) Е С""", где бьз — — ~аь, ~', — дважды стохастическая матрица. 63.21. Доказать, что всякая матрица перестановок является унитарной матрицей. 63.22. Доказать, что если р(Л) — характеристический многочлен ортогональной матрицы порядка п, то Л"р(1/Л) = хр(Л). 63.23. Доказать, что каждый элемент унитарной матрицы равен по модулю своему дополнительному минору. 63.24. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров порядка к, стоящих в произвольных я строках (столбцах) унитарной матрицы, равна единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
