Том 2 (1113040), страница 15
Текст из файла (страница 15)
61.43. Оператор дифференцирования Р действует в про- странстве многочленов М„со скалярным произведением (61.1) с произвольными а,6 е К: а < 6. Доказать, что сопряженный оператор действует по правилу В.р(~) = — ~р(~) + 6,(~), где 6,(6) — многочлен степени не выше и, однозначно определяе- мый из соотношений /' Ьз(ь)ьь ььь = Ь р(6) — а р(а), й = О, и. а 61.44. Оператор двукратного дифференцирования Р' дей- ствует в пространстве многочленов М„со скалярным произве- дением (61.1) с произвольными а, Ь Е К: а < 6. Доказать, что сопряженный оператор действует по правилу Р')'р(Ь) =В'Ф)+6 (~), где 6,(6) — многочлен степени не выше п, однозначно определяе- мый из соотношений ь ь Йз(8)йь ьй = И'(й,бз(Й)), Й = О,п, а а ~ (6) ~'(Х) в которых и1(~, д) =, — вронскиан функций ь'(х) и д(ь).
д() д() 61.45. Доказать, что для кронекерова произведения А Э В сопряженная матрица имеет вид Ан З Вн. 61.46. Показать, что в пространстве С""" со стандартным скалярным произведением сопряженными для операторов ДХ = АХВ и УХ = АХ + ХВ, где А,  — заданные квадратные матрицы и-го порядка, являются операторы Д*Х = АнХВн и 84 Глава ХИ'.Линейные операторы в унитарном пространстве У "Х = АнХ + ХВн соответственно. 61.47. Пусть А — матрица линейного оператора в базисе е евклидова пространства, А" — матрица сопряженного оператора в том же базисе.
Доказать, что А' = Г 'АтГ, где à — матрица Грама базиса е. 61.48. Пусть А — матрица линейного оператора евклидова пространства в некотором базисе, à — матрица Грама этого базиса. Найти матрицу А' сопряженного оператора в том же базисе, если: б — 21 2 2)' б 2) 1 1 1 1 1 1 О,Г= — 1 1 0 в)А= ,Г= 1 2 0 2 1 0 — 1 — 1 0 1 0 — 3 2А= ~ 61.4Я. Доказать пзеорему Фредгольма: для того чтобы неоднородная система линейных уравнений Ах = Ь была совместна, необходимо и достаточно, чтобы столбец Ь был ортогонален ко всем решениям сопряженной однородной системы А*у = О.
61.50. Доказать альтернативу Фредгольма: или система уравнений Ах = Ь совместна при любой правой части Ь, или сопряженная однородная система А'у = 0 имеет ненулевое решение. 61.51. Доказать, что для любого оператора А выполнены соотношения: а) йег А*А = МегА; б) ппА*А = нпА'. 61.52. Пусть операторы А и В таковы, что В'А = О. Доказать, что образы этих операторов суть ортогональные подпространства.
61.53. Доказать, что если АВ" = В'А = О, то ранг оператора А+ В равен сумме рангов операторов А и В. При этом ядро оператора А+ В есть пересечение ядер операторов А и В. 61.54. Найти ядро и образ оператора, сопряженного к оператору дифференцирования Р, действующего в пространстве Мз 161. Сопряженный оператор 85 со скалярным произведением, определяемым: а) формулой из задачи 61.41; б) формулой (61.1) с а = — 1, Ь = 1; в) стандартным образом. 61.55. Оператор дифференцирования й действует в пространстве многочленов М„с естественным скалярным произведением.
Описать все инвариантные подпространства сопряженного оператора ы". 61.56. Оператор дифференцирования З действует в пространстве многочленов М„со скалярным произведением: а) определяемым равенством и (р,ч) =, "рЖ)д(й); яья б) формулой (61.1) с а = — 1, Ь = 1. В каждом из этих случаев найти и-мерное инвариантное подпространства сопряженного оператора З'. 61.57. Найти двумерные инвариантные подпространства оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства матрицей: 3 — 2 3 1 2 1 0 1 1 б) [ »[ [ [ д) — 3 — 5 — 3 0 — 1 1 — 1 0 2 1 — 1 1 61.58.
Пусть 1, — подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А, действующего в евклидовом (унитарном) пространстве Г, Ре Е Е(К Ь) — оператор ортогонального проектирования $' на Ь. Доказать, что (А~1,) Ре=Р,А. 61.59. Оператор А, действующий в и-мерном евклидовом (унитарном) пространстве $', имеет инвариантное подпространство 1 размерности п — 1. Доказать, что подпространство Ь' натянуто на некоторый собственный вектор оператора А*.
61.60. Оператор А действует в и-мерном пространстве Г. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что любое его инвариантное подпространство размерности и — 1 содержит образ оператора А — ЛеХ, где Ле — некоторое собственное значение оператора А.
86 Глава ХЧ1.Линейные операторы в унитарном пространстве 61.61. Доказать, что линейный оператор А, действующий в п-мерном вещественном линейном пространстве, имеет (л — 1)-мерное инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда спектр оператора А не пуст. 61.62. Построить ортонормированный базис (базис Шура), в котором матрица линейного оператора А трехмерною евклидова пространства будет верхней треугольной, и найти эту матрицу, если А задан в некотором ортонормированном базисе матрицей: 1 2 — 1 О 1 1 О 2 Π— 3 2 5 9 Π— 9 О 3 3 3 2 Π— 2 3 — 1 — 1 ~ в) 1 О О .[ .[ 61.63. Найти все базисы Шура линейного оператора пункта д) предыдущей задачи и найти соответствующие каждому такому базису верхние треугольные матрицы оператора.
61.64. Найти базис Шура для оператора дифференцирования Р, действующего в пространстве Мя со скалярным произведением, определяемым: а) формулой из задачи 61.41; б) формулой (61.1) с а = — 1, 5 = 1; в) стандартным образом. 61.65. Доказать, что перестановочные операторы А и В, действующие в унитарном пространстве, имеют общий базис Шура, в котором матрицы этих операторов треугольные одинакового вида. 61.66. Доказать, что любая квадратная комплексная (вещественная) матрица А унитарно (соответственно ортогонально) подобна квазитреугольной матрице В с треугольным клетками на главной диагонали, т.е. существует такая унитарная (ортогональная) матрица Я, что А = онВЯ. 61.67. Оператор А действует в унитарном пространстве Ъ'.
Найти связь между собственными значениями оператора А и сопряженного оператора А'. 61.68. Пусть х — общий собственный вектор сопряженных операторов А и А'. Доказать, что соответствующие вектору т собственные значения Л и р являются комплексно сопряженными числами. 61.69. Пусть т — собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению Л, у — собственный вектор опера- 87 862. Нормальные операторы и матрицы тора А*, отвечающий собственному значению (х, причем,и ф Л. Доказать,.что векторы х и у ортогональны.
61.70. Пусть К„и К,*, — корневые подпространства операторов А и А', отвечающие соответственно собственным значениям Л и )т, причем р, Ф Л. Доказать, что подпространства Кх и К„' ортогональны. 61.71. Как связаны жордановы формы сопряженных операторов А и А*? 61.72. В пространстве многочленов М, с естественным скалярным произведением найти канонические базисы Жордана дпя оператора дифференцирования '0 и сопряженного к нему оператора Р'. 61.73. Доказать, что базис Шура оператора А определен неоднозначно. Именно, для любого заранее заданного расположения собственных значений Л,,..., Л„оператора А найдется ортонормированный базис унитарного пространства, в котором матрица этого оператора — верхняя (нижняя) треугольная, причем на главной диагонали стоят собственные значения Л, в указанном порядке. 862.
Нормальные операторы и матрицы Пусть 1' — унитарное или евклидова пространство. Линейный оператор А Е Е((тти) называетсЯ ноРмальным опеРатоРом, если АА' = А*А. Квадратнак матрица А (комплексная или вепюственная) называется нормальной митричей, если ААт' = Ат'А. Из определения и теоремы 61.8 следует, что оператор нормален тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе его матрица нормальна.
Теорем а 62.1. Собственный вектор нормального оператора, отвечающий собственному значению Л, ввляетсв собственным вектором сопряженного оператора, отвечающим собственному значению Л. Сл е д с т е и е . Если А — нормальный оператор, то 1тегА = цп" А, 1тетА = пп А'. Теорема 62.2. Собственные вектпоры нормального оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны, Те о р е м а 62.3 (критерий нормальности). Оператор, действующий е унитпарном просшранстве, нормален тпогда и отолько шогда, когда существует ортонормированный базис из собственных векторов этпого оператора. 88 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
