Том 2 (1113040), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Так как пз = 1, построение каноническот го базиса подпространства К», закончено: ез = (4, 4, О, 0)т, ез = (1, 0,0, 0)т. Аналогично строится канонический базис К»з Здесь цепочка вложений имеет вид '360. Корневые подпространства. Жорданова форма 57 № С)чз =Кхю где пз = 1, пг = 2, общее решение для векторов из № имеет вид Хз =Х4, Хз — Х4 ХЗ вЂ” Х4 при любом х4, а для векторов из № — вид ( Хз =ХЗ, ХЗ вЂ” Х4 при любых хз, х4 ° Поступки так же, как и в подпространстве Кх,, находим вектор уз = (0,1,0,1)т, дополняющий базис (1,1,1,1) подпространства № до базиса №. Вектор В/4 — — ( — 2, — 2, — 2, -2) завершает построение канонического т базиса Кх,: ез = ( — 2, — 2, -2, — 2)т, е4 = (0,1,0,1)тТаким образом, канонический базис пространства — зто векторы ез = (4,4,0,0)т, ез = (1,0,0,0)т, ез = (-2, — 2,-2, -2)т, е4 = (О, 1,0,1)т, а жорданова форма матрицы А имеет вид 4 )$ 4, = Пример 60.6.
Найти канонический базис и жорданову форму матри- цы 2 1 1 0 0 0 4 2 1 1 0 -2 0 0 -2 0 0 0 5 -3 0 0 0 3 — 1 Решение. Характеристический многочлен матрицы А в силу ее квазитреугольной структуры равен: У(А)=О с(А —,'41)=(2 й)$ — г — Л $'$3 — 1 — Л $=(2 ") . 0 1 1 0 0 0 0 2 1 1 0 — 2 — 2 0 — 2 0 0 0 3 — 3 0 0 0 3 — 3 В = А — 21 = и изучим ядра № = ~ег В ь 1. №: Вх=О. Следовательно, й = 2 — единственное собственное значение матрицы А алгебраической кратности 5. Отвечающее ему корневое надпространство Кх имеет размерность 5.
Пля построения корневого подпространства Кх рассмотрим матрицу Глава Х 'з'.Структура линейного оператора 10110 О О) Эта система равносильна системе ~ 0 0 0 1 0 0 ~, из которой сле- (0000103' дует, что пз = бпп )зз = 2 и общее решение системы имеет вид хз хз хз = хз = О, Чхм хз Е ))я. Так как пз < 5, то Мз ф К», и следовательно, необходимо перейти к Мз. 0 0 0 1 — 1 0 0 0 8 — 8 0 0 0 — 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2. )'з'з: В х = О, где В Следовательно, подпространство Мз описывается уравнением х4 = хз при любых хм хз, хз, х*, и, кроме того, нз = сйш Мз = 4. Так как из < Ь, то Жз ЗЕ КЮ и следует перейти к г1з.
3. ~~;: Вз =О где В = О. Отсюда вытекает, что пз = 5 = г)1шКз и решением системы является любой вектор (хыхз,хз,х4,хз) Е К . т з Тем самым, корневое подпространство Кз построено и цепочка вложений имеет вид: й1з С )чз С )чз = Кю Построим теперь канонический базис Кю Так как пз — пг = 1, то единственный корневой вектор гз высоты 3 должен дополнять какой-либо базис Жз до базиса Фз: Корневой вектор 11 = (0,0,0,0,1) порождает корневой вектор В)з = т (0,1, — 2,— 3,— 3) высоты 2 и корневой вектор В~11 = (-1,— 8,8,0,0 высоты 1.
Так как нз — пз = 2, то необходимо построить два корневых вектора дм дз высоты 2, дополняющих какой-либо базис Из до базиса Жз. В качестве д1 возьмем уже имеющийся вектор В/и а вектор дз найдем аналогично тому, как это было сделано выше; '360. Корневые подпространства. Жорданова форма 59 Корневой вектор дг = (0,0,1,0,0) порождает корневой вектор Вдг = (1,2, -2,0,0) высоты 1. Так как пг = 2, то базис 1зг состоит из двух корневых векторов высоты 1. Такие векторы уже построены: В /г и Вдг, поэтому все векторы, г входяпгие в канонический базис, найдены. Жорданова "лестница" имеет вид: поэтому векторы канонического базиса нумеруются так; ег = В /г, ег = В/г, ез = А, ея = Вдг, ез = дг, а жорданова форма матрицы А состоит из двух клетох размеров 3 и 2: - [ Матрица Т преобразования подобия (Т 'АТ = Аг) имеет вид -1 0 0 1 0 -8 1 0 2 0 8 -2 0 -2 1 0 -3 0 0 0 0 — 3 1 0 0 с- [ ЗАДАЧИ 60.1.
Доказать, что корневой вектор высоты 1 является собственным вектором. 60.2. Пусть у — корневой вектор оператора А, отвечающий собственному значению Л, и имеющий высоту 9 19 ) О). Доказать, что: а) вектор 1А — ЛзХ)1 имеет высоту д — 1; б) вектор 1А — Лг.с)1, где Л, — отличное от Л, собственное значение оператора А, имеет высоту о; в) если Л, — корень многочлена у1Л) кратности 1 < д, то вектор 1'1А)у имеет высоту д — 1; г) если А обратим, то вектор А 'у имеет высоту 9; д) если Б — оператор, перестановочный с А, то высота вектора оу не превосходит о.
60 Глава ХЧ. Структура линейного оператора 60.3. Пусть ~„~, — корневые векторы оператора А, отвечающие одному собственному значению Л, и имеющие ненулевые высоты о» и ом причем д» > дэ. Доказать, что для любого числа а вектоР 7» + а~в также ЯвлЯетсЯ коРневым, пРичем его высота равна о,. 60.4. Доказать, что в корневом подпространстве существует базис, состоящий из корневых векторов максимально возможной в этом подпространстве высоты. 60.5. Доказать, что ненулевые корневые векторы различных высот, отвечающие одному собственному значению, линейно независимы. 60.6.
Доказать, что ненулевые корневые векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы. 60.7. Показать, что корневой вектор 7' оператора А будет корневым вектором той же высоты: а) для оператора А — ЛвХ; б) для оператора А ', если А обратим. 60.8. Пусть 7' — вектор из К», имеющий высоту д. Показать, что: а) система векторов (А ЛХ)в ~ (А ЛХ)' ~ (А ЛХ)~ ~ (60 7) линейно независима; б) линейная оболочка системы (60.7) является инвариантным подпространством оператора А. Систему векторов (60.7) называют серией, порожденной вектором 7', а ее линейную оболочку — циклическим подпространством, порожденным вектором 7'. 60.9.
Пусть Х вЂ” циклическое подпространство, порожденное корневым вектором 7 высоты о оператора А. Построить матрицу оператора А~А в базисе (60.7). 60.10. Пусть Ь вЂ” циклическое подпространство, порожденное вектором 7" е К» высоты д оператора А. Построить матрицу оператора А~А в базисе ~, (А — ЛХ)~,..., (А — ЛХ)в '~. 60.11. Доказать, что если ʄ— корневое подпространство оператора А, соответствующее собственному значению Ло то: а) К», есть корневое подпространство оператора А — ЛоХ, соответствующее собственному значению Л; — Лв; б) К» есть корневое подпространство оператора А ', соотвествующее собственному значению 1/Ло если оператор А обратим. 160.
Корневые подпространства. Жорданова форма 61 60.12. Показать, что: а) высота всякого вектора из Км не превосходит алгебраической кратности собственного значения Л„ б) множество всех векторов из Кя, высота которых не превосходит заданного Й Е И, является подпространством, инвариантным относительно А.
60.13. Доказать, что всякое корневое подпространство оператора А является инвариантным подпространством любого оператора Н, перестановочного с А. 60.14. Показать, что для того, чтобы оператор А имел простую структуру, необходимо и достаточно, чтобы для каждого собственного значения Л, этого оператора собственное подпространство И~~ совпадало с корневым подпространством Кк .
60.15. Доказать, что оператор простой структуры не имеет корневых векторов высоты больше единицы. 60.16. Доказать, что оператор простой структуры А на каждом своем инвариантном подпространстве индуцирует оператор простой структуры. Построить корневые подпространства следующих матриц. 1 1 0 — 4 — 2 1 4 1 — 2 60.18. 60.17. 2 — 3 4 †1 — 2 2 — 4 0 0 2 — 3 0 0 1 — 2 2 3 0 3 — 1 0 1 2 оз гз. 6ОгО. 1 2 — 1 0 60.19.
60.21. Оператор А, действующий в и-мерном пространстве Г, называется одноклеточным, если максимальная возможная высота его корневых векторов совпадает с размерностью п пространства. Доказать, что; а) всякий базис пространства Г содержит по крайней мере один вектор высоты и; б) если ~ — вектор высоты и, отвечающий собственному значению Лэ, то система векторов (А — ЛэХ)" 'у, (А — ЛэХ)" зу,..., (А — ЛэХ)у, ~, т.е. серия, порожденная вектором у, является базисом пространства Ъ'; в) оператор обладает единственным собственным значением; г) матрица оператора А в базисе пункта "б)" есть жорданова Глава ХМ.
Структура линейного оператора 62 5 — 9 — 4 б — 11 — 5 — 7 13 б 60.24. -4 3 . 60.25. 60.26. 5 — 10 10 — 5 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 3 1 0 0 0 2 1 0 60 28. 0 0 2 1 — 1 — 1 — 1 1 60.27. Найти жорданову форму следующих матриц порядка и. — 1 — 1 0 ... 0 0 0 — 1 — 1 ... 0 0 0 0 — 1 ... 0 0 60.29 О 0 0 ...
— 1 0 О 0 ... 0 1 сз 0 0 ... 0 0 0 1 а О ... 0 0 0 0 1 сз ... 0 0 — 1 — 1 , где а7ьО. 60.30 0 0 0 0 ... 1 сз 0 0 0 0 ... 0 гз 9 сз, 0 0 ... 0 0 0 9 аз 0 ... 0 0 0 0 9 сзз 0 0 , где сз,... сз„, ф О. 60.31 0 0 0 0 ... 9 0 0 0 0 ... 0 ЯСм. 157, задачу 57.91. клетка порядка и, отвечающая этому собственному значению. 60.22. В условиях предыдущей задачи найти матрицу оператора А в базисе У, (А — Лез.)~,..., (А — Ло2)" 'У, (А — Ло2)" 'У. 60.23. Пусть А — одноклеточный оператор и 7' — его корневой вектор максимальной высоты и, отвечающий собственному значению Лз.
Доказать, что в базисе 7', А7',..., А" з7' его матрица совпадает с сопровождающей матрицейз многочлена (Лв — Л)". Построить канонический базис и найти жорданову форму следующих матриц. з60. Корневые надпространства. Жорданова форма 63 1 1 1 1 ... 1 0 1 1 1 ...
1 0 0 1 1 ... 1 60.32 0 0 0 0 ... 1 1 2 3 4 ... и 0 1 2 3 ... и — 1 0 0 1 2 ... и — 2 60.33 0 0 0 0 ... 1 2 3 4 5 ... и+1 0 2 3 4 ... п О 0 2 3 ... 21 — 1 60.34 0 0 0 0 ... 2 а 12 а12 а1 0 сз а22 ... а2 0 0 сз ... аз„ 60.35 , где а„агз .. а„з,п Ф О. 0 0 0 ... а 60.36.
Найти канонический базис и жорданову форму оператора 72 дифференцирования в пространстве многочленов М„. 60.37. Доказать, что если А — одноклеточный оператор с собственным значением Лз ~ О, то одноклеточными будут также: а) оператор Аз; б) оператор А' для любого натурального числа 1; в) оператор А '. 60.38. Показать, что если А — одноклеточный оператор с нудевым собственным значением, действующий в пространстве размерности п ) 1, то Аз уже не будет одноклеточным оператором. 60.39.
Доказать, что для одноклеточного оператора А с собственным значением Лз дефект оператора (А — ЛзХ)" при к = 1, п равен Й. 60.40. Доказать, что одноклеточный оператор А с собственным значением Ле не имеет нетривиальных инвариантных надпространств, отличных от надпространств кег(А — ЛзХ)". 60.41. Пусть А и  — перестановочные одноклеточные опера- Глава ХК Структура линейного оператора 64 торы. Доказать, что инвариантные подпространства этих операторов совпадают. 60.42.
Пусть корневые векторы ~,..., Д„оператора А, отвечающие собственному значению Лю образуют линейно независимую систему векторов высоты д, для которых никакая нетривиальная линейная комбинация не является корневым вектором высоты д — 1. Доказать, что векторы (А — Лв2)л,..., (А — ЛеГ)у образуют линейно независимую систему векторов высоты д — 1, для которой никакая нетривиальная линейная комбинация не является корневым вектором высоты д — 2. 60.43. Доказать, что в условиях предыдущей задачи серии, построенные исходя из векторов у„ ..., Д„, образуют в совокупности линейно независимую систему. 60.44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
