Том 2 (1113040), страница 6
Текст из файла (страница 6)
58.36. 58. 38. 58.39. В пространстве вещественных многочленов М„дан оператор А, действующий по правилу Ар(1) = Р'рч(1) — 51р'(1) — ср(1). 1. Найти спектр А. 2. При каких 6, с оператор А имеет простую структуру? Указать диагональный вид матриц операторов, действующих в арифметическом пространстве К" и заданных в естественном базисе этого пространства следующими матрицами.
0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 ... 0 1 0 ... 1 0 58.40 58.41 0 0 0 ... 1 1 0 0 ... 0 1 ... 0 0 у у ... х — 1 1 1 — 1 58.43. 0 1 0 0 ... 0 0 и — 1 0 2 0 ... 0 0 0 и — 2 0 3 ... О 0 58.44. 0 0 0 0 ... 0 и — 1 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 — 1 0 0 — 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 — 5 — 2 — 3 — 1 4 2 2 1 6 3 3 1 2 — 3 4 0 у ° у 58.42. ' ' ', х, у Е К. 1 0 0 — 1 0 1 — 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 З58.
Операторы н матрицы простой структуры 0 1 0 0 ... 0 0 1 0 1 0 ... 0 0 0 1 0 1 ... 0 0 58.45 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 0 ... 1 0 0 1 0 0 ... 0 0 — 1 0 1 0 ... 0 0 0 — 1 0 1 ... 0 0 58.46 0 0 0 0 ... 0 1 О 0 О О ... — 1 0 58.47. Проверить, имеет ли матрица 0 ... 0 а1 0 ... аз 0 о„... 0 0 простую структуру, и, если да, указать ее диагональный вид, в следующих случаях: а)о,=...=а„,=1,о .„~ —— ...— — а„=4; б)о,=...=о,„=1,о .~1 —— ...— — о„=О; в) о~ — — ...
— — а = 1, а ~1 —— ... —— а„= — 1 (здесь т = [(и + 1)/2)). 58.48. При каких условиях на аы ам..., а„матрица А из предыдущей задачи подобна диагональной матрице? 58.49. Доказать, что если матрица А подобна диагональной матрице Л = йа8(Л„..., Л„) и Т 'АТ = Л, то диагональные элементы матрицы Л совпадают с собственными значениями А, а столбцы матрицы преобразования подобия Т вЂ” с линейно независимыми собственными векторами, отвечающими Лы Лм..., Л„ соответственно.
Для каждой из приведенных ниже матриц выяснить, имеет ли эта матрица простую структуру. В случае положительного ответа найти матрицу преобразования подобия, приводящую данную матрицу к диагональному виду. 32 О 1 2 0 0 0 0 О 2 3 0 0 О 0 0 0 1 О 0 2 0 О 3 0 0 О 58.51. 58.50 1 1 2 3 0 1 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 4 1 0 0 0 4 1 0 0 0 4 1 0 0 0 4 2 4 1 — 2 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 58.52 58.53. 58.54 58.55. 8 15 — 36 58.57. 8 21 — 46 5 12 -27 58.56.
58.58. 58.59. 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 3 — 1 5 — 1 . 58.61. 3 1 '( -з 58.60 58.62. Показать, что если матрица А подобна диагональной матрице йа8(Л„..., Л„), то многочлен ДА) от матрицы А подобен матрице йа8(1(Л,),..., 1(Л„)), причем с той же матрицей преобразования подобия. 58.63. Найти необходимые и достаточные условия диагонализуемости матрицы А = хут, где х,у Е К'*"' — заданные вектор-столбцы. 58.64. Пусть линейный оператор А, действующий в тр~смерном комплексном линейном пространстве, имеет в некотором базисе вещественную матрицу и по крайней мере один корень характеристического многочлена этой матрицы не является вещественным.
Локазать, что А — оператор простой структуры. 58.65. Может ли сопровождающая матрицаа многочлена 7" (Л) иметь простую структуру, если у этого многочлена есть хотя бы См. задачу 57.91. 0 О 0 0 0 3 4 0 1 1 0 2 0 0 0 0 1 3 — 1 — 2 5 2 4 5 6 4 4 — 4 1 Глава ХИ. Структура линейного оператора 858.
Операторы и матрицы простой структуры 33 один кратный корень? 58.66. Доказать, что матрицы А и В простой структуры подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый характеристический многочлен. 58.67. Доказать, что комплексная матрица, все собственные значения которой различны, подобна сопровождающей матрице своего характеристического многочлена. 58.68. Доказать, что всякий циркулянтз в поле комплексных чисел имеет простую структуру.
58.69. Пусть Лы..., ˄— все различные корни многочлена 11Л). Найти собственные векторы сопровождающей матрицы этого многочлена. 58.70. Пусть матрица А имеет простую структуру. Доказать, что для любого числа а ранг матрицы А — сз1 равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы. 58.71.
Доказать, что если А — оператор простой структуры, а Г(Л) — его характеристический многочлен,то ДА) = О, т.е. оператор простой структуры аннулируется своим характеристическим многочленом. 58.72. Найти 1гВ, где В = 1+А+Аз+...+Аза, А = ~ Г4 3 ~ 2 3 .58.73. Найти Аюа, где А = ~ Г 0 21 ~ — 3 5~' 58.74. Найти е, где А = ~ 1 à — 4 3 58.75. Найти А'чч, если 1+ А + А + А +... = — ~ 2 ~ — 2 1 58.76. Найти 1г Аач' 1пп 1г АЯ вЂ” 1 0 0 — 8 0 0 если а)А= 0 1 — 3;б)А= 0 1 — 3 0 3 1 0 3 1 58.77. При каких вещественных значениях параметра а ма- См.
задачу 87.88. Глава Х1'. Структура линейного оператора 34 трица А= [ 1 — 1 1 — 1 1 — 1 а — 1 1 959. Инвариантные подпространства. Прямая сумма операторов Пусть )à — линейное пространство над полем Р и А Е Е()г,)г). Линейное надпространство Ь пространства ьг называется иквариантиььм подпространством оганосительно оператора А, если для любого вектора х из Ь его образ Ах также лежит в Ь. Пример 59Л. Тривиальные надпространства (д) и Р инвариантны относительно любого оператора А Е С(Ъ', У).
Пример 59.2. для любого линейного оператора А инвариантными подпространствами будут )ьег А и пи А, так как если Ах = У, то А(Ах) = Аб = д, и если у = Ах, то Ау = А(Ах) = Ахы где хз = Ах. Пример 59.3. Лля оператора дифференцирования Я52) в пространстве многочленов М„инвариантными подпространствами являются все надпространства Мо, Мы..., М„ Теорема 59.1. Пусть А й Е(Ъ;(г) и Ь - ииеарианглиог падпространство относительно А. Тогда суиьсстеует базис првппранства и, в котором матрица оператора А имеет кваэитрсугольную узорму.
Теорема 59.2. Если пространство и является прямой суммой подпрастраиств Ьы...,Ьь, инвариаитиых относительно оператора А е С(Ъ',Р), ньо в пространстве и сутествует базис, е котором матрица оператора А имеет квозидиогональную форму. Пусть Ь вЂ” надпространство,инвариантное относительно оператора А е С(г; р). Отображение А~А: Ь -ь Ь, определенное равенством имеет простую структуру: а) над полем К; б) над полем С; в) над полем Я? 58.78. Доказать, что для любого и Е )з( и для любой ком- плексной матрицы А простой структуры найдется матрица В такая, что В" = А.
58.Т9. Доказать, что если матрицы А Е К ""' и В Е К""" диагонализуемы, то диагонапизуемы и следующие матрицы: А45В, А®1„+1 ЗВ. 58.80. Доказать, что если матрицы А й К " и В е К""" имеют простую структуру, то операторы 6 и У, действующие в пространстве матриц К "" по правилам ДХ = АХВ, УХ = АХ+ ХВ, также имеют простую структуру. 559.
Иннариантные нодлространстла (А)Ь)х = Ах, Ух е Ь, называется индуцированным оператором, порожденным оператором А или сужением (ограничением) оператора А на надпространство Ь. В силу линейности оператора А индупированный оператор также будет линейным. Он совпадает с оператором А на подпространстве Ь и не определен вне его. Итак, А~А Е С(Ы). Теорема 59.3. Характеристический миогочлен индуцированного оператора является делителем характеристического многочлена порождающего оператора.
Теорема 59 4. Если У = Ьс Ю...ЮЬь — прлмая сумма подпространств Ьы...,Ьь, иивариантньы относительно оператора А и ь()г, 1'), то характеристический многочлен 1(Л) оператора А равен произведению харакгперистическис миогочлеиов У~(Л),, 1ь(Л) индуцированных операторов А!Ьы...,А)оь: О 1 О ... О О О О 1 ... О О О О О ...
О 1 О О О ... О О ,Уь(О) = является ннльпотентиой матрипей индекса й. Т е о р е м а 59.5. Произвольный линейный оператор, действующий в комплексном простраисгпве, на любом своем инвариантном подпространстве имеегп хотя бы один собственный вектор. Теорема 59.8. П п-мерном комплексном пространстве (г длл любого линейного оператора А Е С(К (г) существует система п вложеикых друг е друга инвариантных подпростпранств Ьы..., Ь„всех размерностей от 1 до п, т.е.
таких, что Ь! СЬзС...СЙ =У, где с1пп Ьь = й, Й = 1, п. Теорема 59.7. Яля любого линейного оператора А, действующего в комплексном пространстве, существует базис, в котором матрица линейного оператора имеет треугольную форму, или, в матричной формулировке, любая квадрагпиая комплексная матрица подобна матрице, имеющей треугольную б(орлу. Теорема 59.8. У всякого линейного операторц действующего е комплексном пространсглве, существует одномерное инвариантное подпространство.
Теорема 59.9. У еслкого линейного оператора, действующего в вещественном пространстве, существуетп одномерное или двумерное инвариантное надпространство. Линейный оператор А ч Е()г, У) называется иильпотентным, если существует число а Е М такое, что Ав = О. Наименьшее число а, обладающее этим свойством, называется индексом нильпотентности (еьссотой) оператора А. Очевидно, что индекс нильпотентности ненулевого оператора д > 2. Аналогично определяется нильпотентная матрипа А Е Р""" и ее индекс нильпотентности. Пример 59.4.
В пространстве многочленов М оператор дифференпнрования (552) является нильпотентным оператором индекса п + 1. Пример 59.5. Жорданова клетка Глава ХУ. Структура линейного оператора 36 Те о рема 59.10. Если А й В(У, У) — нильпотентнмй оператор индекса д и хо й У вЂ” век!пор, для ко!порога Ая хе ~ й, шо векторы хо,Ахо,",А' 'хе Пример 59.б. Найти все инвариантные надпространства оператора, э заданного в естественном базисе пространства К матрицей А= 2 1 — 2 Решение.
Найдем характеристический многочлен оператора. Имеем: 4 — Л -1 -2 /(Л) = 2 1 — Л -2 1 — 1 1 — Л прибавим к 1-му ~ =( столбцу 2-й линейно независимы. Следе те не . Индекс нильпотектности нг превосходит размерности пространства. Теорема 59.11. В комплексном пространстве линейный оператор нильпотентен тогда и только тогда, когда есе его собстеенкые значения раеиь! нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
