Том 2 (1113040), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тем самым, геометрическая кратность собственного значения Лз = 3 — й как и собственного значения Лз = 3 + з равна единице. Так как для вектора ез выполнено соотношение (А — (3+ з)1)ез = О, то переходя к комплексно сопряженным величинам, получим (А- (3 — з)1)ез = О, откуда следует, что вектор ез = ез = (4,3,2+ з) составляет фундаментальную систему решений рассматриваемой системы. Следовательно, собственными векторами оператора А, отвечающими собственному значению Лз = 3 — й являются векторы, координатные столбцы которых в исходном базисе совпадают с Нез, где у ф О.
Пример 57.7. Матрица л 1 о ... о о О Л. 1.".. 'О О о о о ... л о о о ... о ле дь(ле) = размера й х й называется зхордакоеой клешкой й-ео порядка. Эта матрица имеет: 1) характеристический многочлен 1(Л) = (Ле — Л); 2) собственное значение Л = Ло алгебраической кратности к; 3) собственные векторы, которые являются нетривиальными решениями однородной системы уравнений с матрицей 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 0 ...
0 1 0 0 О ... О 0 В= уз(Л ) — Л 1= ранг которой, очевидно, равен й — 1. Таким образом, геометрическая кратность собственного значения Л = Ло равна единице и матрица уь(ло) (а также оператор, задаваемый этой матрицей) имев~ один линейно независимый собственный вектор. З57. Собственные значения и собственные векторы 13 ЗАЛА ЧИ 57.1. Найти собственные значения и собственные векторы каждого из следующих операторов: а) нулевою; б) единичного; в) скалярного. 57.2. Какой вид имеет матрица линейного оператора А, если первые Й векторов выбранного базиса пространства являются собственными векторами А? 57.3. Дохазать, что: 1) ядро линейною оператора совпадает с собственным подпространством, отвечающим нулевому собственному значению; 2) если Лв — собственное значение линейного оператора А, то кег(А — ЛвХ) есть собственное подпространство оператора А, отвечающее этому собственному значению; 3) собственные векторы, отвечающие ненулевым собственным значениям, лежат в образе оператора.
57.4. Пусть А — матрица линейного оператора, действующего в и-мерном линейном пространстве, а Лв — собственное значение этого оператора. Чему равна размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению Лв, если ранг матрицы А — Лв1 равен г? 57.5. Показать, что при умножении оператора на ненулевое число собственные векторы не меняются, а собственные значения умножаются на это число. 57.6.
Показать, что оператор А — оХ при любом а имеет те же собственные векторы, что и оператор А. Найти связь между собственными значениями этих операторов. 57.7. Показать, что если х — собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению Л, то х будет собственным вектором и для оператора: а) Аз; б) Ав при любом натуральном /с; в) 7'(А), где Дг) — любой многочлен. Найти соответствующие собственные значения этих операторов.
57.8. Верно ли следующее утверждение: если х — собственный вектор для некоторого многочлена ДА) от оператора А, то х является собственным вектором и для самого оператора А? 57.9. Показать, что если оператор Аз имеет собственное значение Лз,то одно из чисел Л или -Л является собственным значением оператора А. 57.10. Доказать, что характеристические многочлены ДЛ) Глава ХУ. Структура линейного оператора 14 2 4 8 9 20 44 10 113 0 — 10 -63 13 159 -400 63 -219 93 31 23 113 -14 -28 -10 -20 36 72 -12 -24 50 100 — 3 2 5 2 4 -12 8 20 7 1 3 — 2 — 50 12 4 — 1 3 7 0 10 12 11 5 — 7 9 18 9 36 45 1 2 1 4 5 7 14 7 28 35 5 10 5 20 25 3 6 3 12 15 59 — 147 — 24 15 10 — 7 4 — 5 13 18 47 — 6 63 25 10 а) и — 3 8 65 57 35 б) матрицы А и д(Л) матрицы А — Лв1 связаны соотношением д(Л) = 1(Л + Ло).
5Т.11. Используя задачу 57.10, показать, что алгебраические кратности соответствующих собственных значений операторов А и А — ЛвХ одинаковы. Равны ли их геометрические кратности? 57.12. Доказать, что матрица невырождена тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического многочлена отличны от нуля. 57.13. Доказать, что ранг матрицы не меньше числа ее ненулевых собственных значений. 5Т.14. Доказать, что если оператор А невырожден, то А и А ' имеют одни и те же собственные векторы. Найти связь между собственными значениями этих операторов.
57.15. Пусть квадратная матрица А п-го порядка невырождена. Доказать, что характеристические многочлены 1(Л) матрицы А и?з(Л) матрицы А ' связаны соотношением Ь(Л) = ( — Л)"/А/ '1(Л '). 5Т.16. Используя задачу 57.15, показать, что алгебраические кратности соответствующих собственных значений операторов А и А ' одинаковы. Равны ли их геометрические кратности? 57.17.
Пусть А Е С""". Доказать, что вещественный вектор- столбец является собственным вектором матрицы А тогда и только тогда, когда он является собственным вектором, общим для вещественной и мнимой частей матрицы А. Что можно сказать о собственных значениях этих матриц? 57.18. Известно, что матрицы А и В подобны. Как связаны их собственные векторы? 57.19. Выяснить, подобны ли следующие пары матриц: '057. Собственные значения и собственные векторы 15 112 17 23 44 -17 43 0 0 0 0 и 17 26 18 0 0 24 11 25 5 0 23 10 0 0 0 0 54 193 87 100 0 0 0 0 — 375 120 23 5 101 10 0 0 37 29 63 0 0 0 -48 101 в) 57.20. Ответить на следующие вопросы, не находя собственных значений и собственных векторов указанных матриц: 10 -19 10, В= 12 -24 13 а) одна из матриц А= — 212 — 102 — 203 подоб- на диагонапьной матрице Р = с(1а8(1, 1, — 1); какая именно? б) диагональная матрица Р = йа8(1,1, 0) подобна одной из — 1 4 3 011 матриц А = — 2 5 3, В = 1 1 0; какой именно? 2 — 4 — 2 — 1 О 1 в) из двух матриц А = 2 — 1 — 1 1 0 — 1 одна 3 — 1 — 2 подобна диагональной матрице Р, = йа8(1, — 1, 0), а другая— диагональной матрице Рз — — йа8(1, 1, 0); какая какой именно? 2 5 1 57.21.
Матрица А = — 1 — 3 0 подобна одной из мат- — 2 — 3 — 2 риц' — 1> )з( — 1), с(1а8( — 1 7з( 1)). Какой именно? 1 0 0 — 1 1 0 0 — 1 0 1 — 1 0 0 1 — 1 0 57.22. Из матриц А = В= одна подобна матрицез .7е(0). Какая именно. 57.23. Доказать, что собственные значения треугольной ма- 'Матрицы Хе( — 1),,Уе( — 1) — жордаиовы клетки (см. пример 57.7). Матрица Д(0) — жордаиова клетка (см. пример о7.7). 3 — 1 — 1 — 1 1 1 1 — 3 1 1 — 3 1 — 1 3 — 1 — 1 7 ,в=[ 1 0 0 — 1 0 1 — 1 0 0 1 — 1 0 1 0 0 — 1 16 Глава Х г'. Структура линейного оператора трицы совпадают с ее диагонапьными элементами. Верно ли обратное: если собственные значения квадратной матрицы совпадают с ее диагональными элементами, то эта матрица является треугольной? 57.24. Показать,что характеристический многочлен квази- треугольной (квазидиагональной) матрицы равен произведению характеристических многочленов диагональных клеток.
57.25. Найти характеристический многочлен, собственные значения и собственные векторы: а) оператора поворота плоскости $'э геометрических векторов на угол ~р е [0,2я); б) оператора поворота пространства гз геометрических векторов на угол р Е [0,2я) вокруг заданного ненулевого вектора а; в) оператора А, действующего в пространстве 1з геометрических векторов по правилу Ах = [х, а[, где а — заданный ненулевой вектор; г) опеРатоРа пРоектиРованиЯ пРостРанства 1г = Ь, 9 Ьз на 1 1 параллельно Ьэ, д) оператора отражения пространства 1г = Ь, ® Ь, относительно Ь, параллельно Ьг,.
е) оператора дифференцирования в пространстве вещественных многочленов М„; ж) оператора дифференцирования, действующего в пространстве, натянутом на функции 1,(г) = соя 1, ~э(1) = з1п1. 57.26. Известны и — 1 (с учетом их алгебраических кратностей) собственных значений Л„..., Л„, матрицы А порядка и. Как найти еще одно собственное значение Л„? 57.27.
Показать, что если собственными значениями [с учетом их кратностей) квадратной матрицы А и-го порядка являются числа Л„..., Л„, то для любого к Е Я выполнено соотношение 1гАЯ = ~ Л~ 1=1 [сумма в правой части называется й-л .иоменгпом собственных значений матрицы А). 57.28. Пусть А и  — квадратные матрицы п-го порядка. Доказать, что для того, чтобы А и В имели одни и те же (с учетом их алгебраических кратностей) собственные значения, З57. Собственные значения и собственные векторы 17 необходимо и достаточно, чтобы 1г Аь = 1г Вь для всех и = 1, и.
57.29. Найти определитель матрицы А третьего порядка, если известно, что Фг А = 2, $г Аз = б, 1гАз = 8. 57.30. Доказать, что в действительном линейном пространстве нечетной размерности спектр всякого оператора непуст. Вычислить собственные значения и собственные векторы следующих матриц. 2+31 3+1 ) 3 — 1 2 — 31~ 57.31. 0 3 .
57.32. 2 1 '.. 57.33 5735. 2 4 1 57.34 — 1 — 2 — 3, 57.37. 4 — 3 2 . 5739. ю>. 4 — 4 2 — 2 — 4 4 57.36. 7 — 12 10 -19 12 — 24 57.38. 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 3 О 2 0 2 О 0 0 1 1 2 — 1 — 2 0 О 1 2 57.41. 57.40. 3 — 1 0 О 0 3 0 0 1 0 3 1 О 1 О 3 0 3 2 0 57.43. 0 3 57.42. 57.44. 2 . 57.45. 1 — 2 — 2 0 0 — 1 — 1 2 1 0 0 — 2 0 1 3 0 1 О 2 О 0 1 0 2 4 О 3 0 . 5747.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
