Том 2 (1113040), страница 4
Текст из файла (страница 4)
0 — 1 0 3 57.46. Найти собственные значения следующих матриц: а) в поле действительных чисел; б) в поле комплексных чисел. 18 Глава Х 1г. Структура линейного оператора 57.48. Найти собственные значения матрицы 3 1 0 2е' 1 3 — 21 0 0 21 1 1 — 21 0 1 1 57.49. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, матрица которого в некотором базисе е„ ..., е„ линейного пространства является жордановой клеткой ,у„'('л.'). " 57.50. Пусть х, у — собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям.
Показать, что вектор ох + 13у будет собственным вектором этого оператора тогда и только тогда, когда ровно одно из чисел и или Д отлично от нуля. 57.51. Показать, что все отличные от нуля векторы пространства являются собственными векторами оператора А тогда и только тогда, когда А — скалярный оператор.
57.52. Пусть Л„..., ˄— собственные значения линейного оператора А, действующего в комплексном пространстве С". Найти собственные значения оператора А как оператора, действующего в вещественном пространстве Сй. 57.53. Линейный оператор А переводит векторы естественного базисаз пространства К' в векторы ( — 1, О, 1, — 1), (3, 1, — 2, 3), ( — 3, — 1,2, — 3), ( — 2, — 1,1, — 2) соответственно. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
57.54. Линейный оператор А переводит векторы (1,0, 0,0), (1, 1, О, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1) пространства К~ соответственно в векторы (0,2,1,0), (1,2,1, — 1), ( — 1,2,1,1), ( — 1,4,2,1). Найти собственные значения и собственные векторы оператора А. 57.55. В пространстве й'"~ дан линейный оператор АХ = ! 1 11 (1 01 1 ~ Х + Х ~ 1 1 ~. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А. 57.56. Оператор С в пространстве 1г квадратных матриц второго порядка определен равенством СХ = [А, Х), где А — заданная матрица. Найти собственные значения и собственные векторы оператора С, если: См. 144, пример 44.1.
З57. Собственные значения и собственные векторы 19 2х2, О 1 2х2 о о ~ 1'=)й; 6).4= ~1 о~ '=11 Π— 1 ~ 1А Сзхз о~ )А= ~ )А=~ 57.57. В пространстве Мз многочленов степени не выше трех линейный оператор А переводит многочлены 1, 1, 22, 12 соответственно в многочлены 1 — 1+ 612 — 612, 1 — 8 + Р— 12, 1 — 1 — 422 + 422> 1 — 1 — Р + 12. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
57.58. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А = тут порядка больше единицы, где т, у — заданные вектор-столбцы одинакового размера. 57.59. Найти собственные значения и собственные векторы а х и-матрицы 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 а Ь Ь ... 6 Ь а 6 ... Ь Ь 6 а ... Ь 0 а а ... а Ь 0 а ... а 6 Ь 0 ... а б) а) 6 Ь Ь ...
а Ь Ь Ь ... 0 где а и 6 — заданные вещественные числа. 57.62. Найти собственные значения матрицы о ь, о ь 0 0 0 0 о о ... о ь„ , с) с2 .. с„ ) а где а, Ьо сп 2 = 1, п — 1, — заданные вещественные числа. 57.60. Найти собственные значения и собственные векторы МатрИцЫ А = (ае) Е К" х", ГдЕ а;, = р)!рз, 2,у = 1, П, а р), р„— заданные ненулевые числа.
57.61. Найти собственные значения и собственные векторы и х и-матриц) Глава ХМ. Структура линейного оператора 20 57.63. Доказать, что стохастическая матрица имеет собственное значение единица. Найти какой-либо соответствующий этому собственному значению собственный вектор. 57.64. Доказать, что все собственные значения стохастической матрицы по модулю не превосходят единицы. 57.65. Найти собственные значения матрицы 0 ...
0 621 0 ... 622 0 66„... 0 0 где оо г = 1, и, — заданные вещественные числа. 57.66. Найти собственные значения матрицы «-1 2(«-Ц я е е з( -ц ( — ц' Я 2я . 21г где е = соз — + г з)п —, и — нечетное число. п и 5Т.ОТ. Для матрицы Р порядка и 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 Р= 0 0 0 ...
0 1 1 0 0 ... 0 0 найти: а) характеристический многочлен; б) собственные значения в поле комплексных чисел и соответствующие им собственные векторы. 57.66. Найти собственные значения циркулянта а, аг аз .. а„ а„а, а, ... а„1 а„1 а«а1 ° а -г а2 аз а4 111 1 1 1 1 1 е ег ез 2 4 6 .3 .6 9 1 « — 1 Я г( -ц е з( — и з57. Собственные значения и собственные векторы 21 где аь 1 = 1, и, — заданные вещественные числа.
57.69. Найти собственные значения следующих трехдиагояальных матриц п-го порядка: а) б) а ЬО... 00,а,ЬЕК. Ьа Ь... 00 0 Ьа ... 00 0 — 1 0...0 0 1 0 — 1...0 0 0 1 0...0 0 0 0 0...0 — 1 0 0 0...1 0 000...аЬ 000... Ьа 57.70. Пусть А — вещественная трехдиагональная матрица: а, Ь1 0 ... 0 0 Ь1 аз Ьг . 0 0 0 Ьз а, ... 0 0 Ьь ф О, /с = 1, и — 1. 0 0 0 а„1 Ь 0 0 О Ь„1 а„ Доказать, что: а) все корни характеристического многочлена матрицы А вещественны; б) геометрическая кратность каждого собственного значения матрицы А равна единице. 57.71. Доказать, что утверждения предыдущей задачи остаются справедливыми и для вещественной трехдиагональной ма- трицы а, Ь, 0 ...
0 0 с1 аз Ьз ... 0 0 0 сз аз 0 0 А„= 0 0 0 ... а„1 Ь„1 0 0 0 ... с„, а„ если Ь,с, > О, з = 1,п. Такая Якоби. 57.72. Выяснить, может ли матрица называется матринеб а) матрицы состоять из 1277 311 617 -300 210 129 2 0 51 49 спектр: 63 11 47 89 1 53 137 -691 120 283 129 61 46 41 -200 Глава ХУ.
Структура линейного оператора 22 чисел 100, 63, 15, 1, 0; 1 — 3 15 -45 9 — 27 7 — 21 12 -36 3 5 -3 45 75 -45 27 45 -27 21 35 -21 36 60 -36 б) матрицы состоять из чисел 27, 1, О, О, -20. 57.73. Найти собственные значения и собственные векторы следующих операторов, действующих в пространстве М„мно- гочленов степени не выше ьп а) А1(1) = г~'(1); б) Ау(1) = 1" 1 в) А~(1) = ~(1+ а), где а е ся — заданное ненулевое число; с с ) АУЯ= — У туг; д) АПЕ) = РУ тс1л; П1+ 5) — У(1) е) А~(1) =, где 6 е К вЂ” заданное ненулевое число; 1(а+ 8) — 1(а — 1) ж) Аг"(с) = , где а Е К вЂ” заданное ненуле- вое число; з) А~(1) = ~(а)+ —,(1 — а)+, (1 — а) +...+, (г — а)", 1'(а) 1 "(а) з 1се(а) где а Е К, /с Е И, сс ( п — заданные числа.
57.74. Доказать, что ранг оператора проектирования равен его следу. 57.75. Пусть сс — оператор отражения пространства У = Хс ссс Ьз относительно Ьс параллельно Ьэ. Доказать, что след оператора сс вычисляется по формуле 1г сс = 2с(1тЬ, — с1ппУ, 57.76.
Доказать,что характеристический многочлен транс- понированной матрицы Ат совпадает с характеристическим многочленом матрицы А. 57.77. Оператор Т действует в пространстве й""" по пра- вилу: ТА = Ат. Доказать, что спектр оператора Т состоит из чисел 1 и — 1. Указать собственные векторы, отвечаюшие этим собственным значениям. 57.78. Оператор й действует в пространстве И""" по пра- вилу: ДХ = АХ, где А Е К""" — заданная матрица. З57. Собственные значения н собственные векторы 23 а) Доказать, что число Л Е К является собственным значением оператора й тогда и только тогда, когда оно принадлежит спектру матрицы А. б) Пусть векторы а„..., а~ образуют базис собственного подпространства матрицы А, отвечающего собственному значению Л.
Найти все собственные векторы оператора 0, отвечающие этому же собственному значению Л. 57.79. Оператор й действует в пространстве К""" по правилу: ЯХ = ХВ, где В Е К""" — заданная матрица. а) Доказать, что число Л Е К является собственным значением оператора й тогда и только тогда, когда оно принадлежит спектру матрицы В. б) Указать, какие матрицы являются собственными векторами оператора 6. 5Т.80. Пусть характеристические многочлены квадратных матриц А и В имеют простые корни Л„..., Л и л„..., д„соответственно. Найти собственные значения кронекерова произведения А ® В матриц А и В.
57.81. Пусть Л и х — собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы А Е К ", а р и у — собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы В Е К""". Доказать, что кронекерово произведение х З у является: а) собственным вектором матрицы А ® В; б) собственным вектором матрицы А З 1„+ 1„, Э В. Какому собственному значению отвечает этот собственный вектор? 5Т.82. Пусть А Е К""" — заданная матрица и Л„..., ˄— ее собственные значения. Найти собственные значения оператора, действующею в пространстве К""" по правилу: а) У'Х = АХАТ. б) У'Х = АХА " (матрица А невырождена); в) УХ = [Х, А], где [Х, А] — коммутатор матриц Х и А.
5Т.83. Пусть Л„..., Л„и и„..., д„— собственные значения заданных матриц А и В соответственно. Найти собственные значения оператора, действующего в пространстве К""" по правилу: а) У'Х = АХВ; б) У'Х = АХ + ХВ. 57.84. 1. Доказать, что если хотя бы одна из двух матриц 24 Глава ХЧ.Структура линейного оператора А, В невырождена, то матрицы АВ и ВА подобны. Как в этом случае связаны собственные векторы матриц АВ и ВА? 2. Верно ли утверждение предыдущего пункта, если обе матрицы А и В вырождены? 57.85.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
