Том 2 (1113040), страница 8
Текст из файла (страница 8)
зо 59.12. Линейный оператор А задан матрицей А в некотором базисе е пространства Ъ'. Найти все инвариантные подпространства относительно этого оператора, если: А)А=~ )А=~ 4 1 1 г)А= 2 4 1 0 1 4 ° )А= [ 4 — 4 2 2 — 2 1 — 4 4 — 2 1 с 5 — 1 — 1 — 1 5 — 1 — 1 — 1 5 2 — 3 6 е)А= д)А= з) А= ж) А= 59.13. Что можно сказать об операторе А Е Е(К Ъ'), относительно которого любое подпространство в $' инвариантно? 59.14.
Доказать, что если в п-мерном пространстве Ъ' всякое подпространство размерности Й, где Й вЂ” фиксированное натуральное число, 1 < Й < п, инвариантно относительно оператора А, то А — скалярный оператор. 59.15. Пусть п Е )) — произвольное число. Привести пример и-мерного линейного пространства 1' и линейного оператора А Е А"..(К, Р), имеющего ровно п + 1 различных инвариантных подпространств. 59.16.
Что можно сказать о линейном пространстве Г и операторе А Е А"..(К 1А), если оператор А имеет лишь два различных инвариантных подпространства? 59.17. Доказать, что ненулевой линейный оператор А ф Х, для которого Аз = А, является оператором проектирования на пи А параллельно нег А. 59.18. Доказать, что всякий линейный оператор А, не являющийся скалярным и для которого Аз = Х, является оператором отражения относительно собственного подпространства, 42 Глава ХЧ. Структура линейного оператора отвечающего собственному значению Л, = 1, параллельно собственному подпространству, отвечающему собственному значению Л, = — 1.
59.19. Доказать, что оператор простой структуры А на каждом своем инвариантном подпространстве Ь индуцирует также оператор простой структуры А~А. 59.20. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что всякое нетривиальное инвариантное подпространство оператора А, имеющего простую структуру, натянуто на некоторую систему собственных векторов этого оператора. 59.21. Доказать, что любое подпространство ь комплексного пространства Ъ', инвариантное относительно линейного оператора А, содержит одномерное подпространство, также инвариантное относительно А. 59.22. Доказать,что любое нечетномерное подпространство Ь действительного пространства Ъ', инвариантное относительно линейного оператора А, содержит одномерное подпространство, также инвариантное относительно А.
Верно ли это утверждение для инвариантных подпространств четной размерности? При каких условиях подпространство Ь содержит одномерное подпространство, все векторы которого остаются неподвижными под действием оператора А ? 59.23. Доказать, что комплексное пространство, содержащее единственное одномерное подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А, неразложимо в прямую сумму двух ненулевых подпространств, инвариантных относительно А. 59.24. Пусть А Е .С(К,Ъ') — заданный оператор.
Доказать, что комплексное пространство 1' разлагается в прямую сумму (одного или нескольких) инвариантных относительно А подпространств, каждое из которых содержит единственное одномерное инвариантное подпространство и, значит (согласно предыдущей задаче), далее не разложимо. 59.25. Пусть Ле — собственное значение линейного оператора А, действующего в пространстве Ъ'. Доказать, что всякое подпространство в г', содержащее пп(А — ЛвХ), инвариантно относительно А. 59.26. Доказать, что если линейный оператор имеет собственный вектор, то для него существует (и — 1)-мерное инва- з59.
Инвариантные лодлространства 43 -3 10 -10 — 7 4 — 4 — 2 — 3 3 1 1 1 2 2 2 — 3 — 3 — 3 3 ) А= [ )А= [ б)А= [ 0 0 1 0 0 0 0 1 3 4 0 0 — 1 — 1 0 0 — 1 — 2 2 — 2 — 1 2 — 3 — 2 3 ~ г) А= 0 2 — 2 — 2 0 4 2 — 4 0 0 5 — 1 4 — 3 — 1 0 — 4 — 5 3 1 1 0 2 — 2 0 — 1 2 0 1 1 — 1 2 0 0 1 — 1 2 2 О 1 — 1 д)А= ;е)А= 59.33. Пусть линейный оператор А действует в простран- риантное подпространство. 59.27.
Доказать, что в и-мерном комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство размерности п — 1. 59.28. Доказать, что всякое к-мерное инвариантное подпространство линейного оператора, действующего в комплексном линейном пространстве Ъ', содержит (Й вЂ” 1)-мерное инвариантное подпространство. 59.29. Что можно сказать о комплексном линейном пространстве К и операторе А Е Е(К ~"), если оператор А имеет: а) ровно три различных инвариантных подпространства; б) ровно четыре различных инвариантных подпространства? 59.30. Локазать, что если оператор А, действующий в пмерном комплексном пространстве Г, обладает единственным одномерным инвариантным подпространством, то он имеет ровно и + 1 различных инвариантных подпространств. 59.31.
Пусть А — матрица линейного оператора А в некотором базисе е, Л вЂ” собственное значение оператора А и ненулевой столбец а удовлетворяет уравнению ат(А — Л1) = О. Доказать, что уравнение атя = 0 в базисе е определяет (п — 1)-мерное подпространство, инвариантное относительно оператора А. 59.32. Найти (и — 1)-мерные подпространства в К", инвариантные относительно линейного оператора, заданного своей матрицей А, если; Глава ХУ.
Структура линейного оператора стве Ъ' над полем Р и имеет в некотором базисе матрицу а, 1 0 ... 0 аг 0 1 ... 0 а„» 0 0 1 а„О 0 0 — 5 — 2 — 3 — 1 4 2 2 . 1 б 3 3 1 2 — 3 4 0 )А=[ б)А= 59.36. Доказать, что всякая, действительная квадратная матрица подобна верхней (нижней) квазитреугольной матрице, у которой диагональные клетки имеют порядок 1 или 2. 59.37. Из результата предыдущей задачи вывести следующее утверждение: в и-мерном действительном пространстве всякий оператор имеет инвариантное подпространство размерности и — 1 или и — 2. 59.38. 1. Пусть линейный оператор А, действующий в и- мерном линейном пространстве Г, имеет систему вложенных друг в друга инвариантных подпространств Ь» С Ьз С .'..
С Ь„= 1", где скип Ь» — — к, й = 1, и. Доказать, что в Ъ' существует базис, в котором матрица оператора А верхняя треугольная. 2. Пусть в базисе е„ ...,е„ пространства ~' матрица линейного оператора А имеет верхнюю треугольную форму. Доказать, что подпространства Ь» —— ».(е„..., е»), Й = 1, и, инвариантны относительно А и строго вложены друг в друга. Доказать, что если у многочлена х" — а,х" ' —... — а,х — а„ нет корней из Р, то оператор А не имеет нетривиальных инвариантных подпространств.
59.34. Пусть Л = »»+Ц (р ~ 0) — собственное значение вещественной матрицы А порядка и, х = х +»у Е С" — собственный вектор матрицы А (х, у — вещественные векторы). Доказать, что х и у образуют базис двумерного инвариантного подпространства пространства й" матрицы А. 59.35. Найти двумерные инвариантные подпространства для линейного оператора, действующего в пространстве К" и заданного в некотором его базисе матрицей: 'ЗБ9.
Инварнантные лсдпространства 45 59.39. Привести вещественную матрицу А к треугольному виду и указать соответствующую матрицу преобразования подобия, если: 1 1 1 2 2 2 — 3 — 3 — 3 5 2 1 — 8 — 3 — 2 7 4 3 )А= [ )А= [ )А=[ б)А= [ )А= [ )А= [ 2 5 1 — 1 — 3 Π— 2 — 3 — 2 ~ 1 О 1 — 1 — 1 — 1 О 1 О 59.40. 1.
Пусть Ь) С Ь, С ... С Ь, = 1' — цепочка подпространств линейного пространства г', инвариантных относительно линейного оператора А, и йп) Ь, = и, (и, < пз « ... и„= п). Пусть базис еы...,е„выбран так, что векторы ем...,е„ принадлежат Ь, (г = 1,г). Показать, что матрица А, — верхняя квазитреугольная с диагональными блоками порядков йо где й, = п, — и;, (1 = 2, г), й, = и,.
2. Пусть в некотором базисе пространства матрица линейного оператора имеет верхнюю квазитреугольную форму. Доказать, что оператор обладает системой вложенных друг в друга инвариантных подпространств. Выразить их размерности через порядки диагональных блоков. 59.41. Найти все инвариантные подпространства для линейного оператора, имеющего в некотором базисе е„..., е„матрицу, совпадающую с жордановой клеткой .7„(Л))). 59.42. Пусть операторы А и В перестановочны.
Доказать, что ядро и образ оператора В инвариантны относительно оператора А. 59.43. Доказать, что всякое собственное подпространство оператора А инвариантно относительно любого оператора, перестановочного с А. 59.44. Доказать, что если оператор А, действующий в и- мерном пространстве, имеет п различных собственных значений, то любой оператор В, перестановочный с А, является оператором простой структуры. При этом все собственные векторы оператора А будут также и собственными векторами оператора В. 46 Глава ХМ. Структура линейного оператора 59.45. Доказать, что для перестановочных операторов А и В простой структуры существует базис пространства, составленный из общих собственных векторов этих операторов. 59.46.
Операторы А и В, действующие в и-мерном комплексном пространстве Г, перестановочны и имеют простую структуру. Доказать, что если Л„..., Л„и и„..., и„— занумерованные с учетом алгебраической кратности собственные значения операторов А и 6 соответственно, то собственными значениями оператора А + В будут числа Л, + рь, Л, + р„,..., Л„+ д,„, где 1„ ...,~„ — некоторая перестановка. 59.47. Доказать, что любые два перестановочных оператора комплексного пространства имеют общий собственный вектор.
59 48 Доказать, что для любого (хотя бы и бесконечного) множества С, состоящего из попарно перестановочных операторов комплексного пространства У, найдется собственный вектор, общий для всех операторов из С. 59.49. В пространстве И""" оператор А задан равенством АХ = (А,Х], где А — фиксированная матрица. Доказать, что следующие подпространства инвариантны относительно А: а) подпространство матриц с нулевым следом; 6) подпространство все верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная); в) множество всех кососимметрических матриц (если матрица А кососимметрическая); г) множество всех диагональных матриц (если матрица А диагональная).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
