Том 2 (1113040), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если У = Ь»й»Ьзй»...й»Ь» — прямая сумма подпространств Ь», Ез,..., Ь»., инвариантных относительно линейного оператора А с Е(У, У), то оператор А называется прямой суммой индуцироеаикых опера!норов А(Ь»,...,А~А». Эту же ситуацию описывают словами: оператор А приводится подпростракстеами Ь», Ьз,..., Ьь. Теорема 59.12.
Произвольный линейный оператор А б Е(У, У) яеляется прямой суммой нильпогпеншкого и обратимого операторое, причем это разложение единсп»агино. Указанное в теореме разложение может быть получено следуюшим образом. Если А б Е(У, У), )»»ь = йдг А, Т» = 1ш А», то ядра )Уь строго вложены друг в друга до некоторого момента д, начиная с которого все 1»»», совпадают: )У! С № С ... С Ф, = Ж,ь! = ....
Подпространства Мл и Тр дают требуемое разложение: ~~э 'р Ть» Фя, Тз инвариантны относительно оператора А; оператор А(Фь нильпотентен; оператор А~Та обратим. Из теоремы 59.12 следует,что в комплексном пространстве У; 1) оператор А на подпространстве Фз имеет только нулевые собственные значения, а на подпространстве Тэ его собственные значения отличны от нуля; 2) для оператора А с характеристическим многочленом 1(Л) = ( — Л)~! (л — л) ' ...(Лр — л) а) характеристические многочлены 1»(Л) и Гз(Л) операторов А/Фз и А~Те имеют вид »»(Л) ( Л) ! »э(Л) — (Лэ Л) ...(Лр — Л) б) при этом ей»ш)»»з = гп», сбтТр — — тз+...
+ шр. гоК Иннариантные лоллространстна 2 — Л -1 О 1 — Л 2 — Л вЂ” 1 -2 -г 1 — Л вычтем из 3-й ) строки 1-ю =( ' 2 — Л вЂ” 1 -2 0 1 — Л вЂ” 2 0 0 3 — Л = (1 — Л) (2 — Л) (3 — Л). А= -1 -2 -3 Р е ш е н и е. Найдем характеристический многочлен оператора. Имеем: 2 — Л вЂ” 5 -3 7(Л) ы -1 -г-Л -3 =) ' " "' 1" ) = 15 12 Л 1 строки 2-ю 3 — Л -3+А 0 1 -1 0 -1 -2 — Л вЂ” 3 = (3 — Л) -1 -2 — Л -3 3 15 12 — Л 3 15 12 — Л ( ко 2-й строке прибавим 1-ю, ) 1 — 1 = ~ из 3-й строки вычтем 1-ю, ) = (3 — Л) 0 — 3 — Л умноженную на 3 0 18 =(3 — Л)! 18 12 л !ы(3 — Л) (6 — Л).
0 — 3 12 — Л Оператор имеет собственные значения Лз = 3 и Лз = 6 алгебраических кратностей пзз = 2 и шз = 1 соответственно. Решив системы уравнений (А — Л;1)я = О, 1 = 1, 2, найдем максимальные линейно независимые системы собственных векторов: для Лз = 3— это е~ = (-7,5, -6)т, ез = (6, — 3,3)т, а для Лз = 6 — зто ез = (1, 1, — 3)т. Векторы ем ез образуют базис собственного подпространства, отвечающего собственному значению Лз = 3, так что геометрическая кратность собственного значения Лз = 3 равна 2 и равна его алгебраической кратности гль Все собственные значения оператора различны: Лз = 1, Лз = 2, Лз = 3.
Поэтому (следствие из теоремы 58.1) оператор имеет простую структуру н (см, задачу 59.20) любое нетривиальное инвариантное надпространство етого оператора является линейной оболочкой некоторой системы его соб- ственных векторов. Решив системы уравнений (А — Л,1)х = О, з = 1,2,3, найдем собственные векторы: для Лз = 1 собственные векторы имеют вид аем где а Е К, а зз О, ез = (1, 1, 1) для Лз = 2 — вид аез, где а Е К, а т' О, ез = (1, О, 1)т, для Лз = 3 внд асз, где а е К, а ,-з О, ез = (1, 1, 0)т, и других собственных векторов у оператора нет.
Таким образом, надпространства (0), К, С(ез), С(ез), С(ез), С(емез), Е(ем ез), Е(ез,ез) — это все инвариантные надпространства данного опера- тора. ° Пример 59.7. Найти все инвариантные надпространства оператора, з заданного в естественном базисе пространства К матрипей 38 Глава ХЧ. Структура линейного оператора Это же относится и к собственному значению Лг = 6.
На основании теоремы 58.3 оператор имеет простую структуру (теорема применима к данному оператору, так как его характеристический многочлен 1(Л) имеет только вегцественные корни), и следовательно (см. задачу 59.20), любое нетривиальное инвариантное подпространство оператора является линейной оболочкой некоторой системы его собственных векторов. Собственные векторы оператора имеют вид с = пег + )Зег, где о, р 6 К, о +,3 ЗЗ О, и пез, где а Е К, сгт' О,и других собственных векторов у оператора нет. Таким образом, одномерными инвариантными подпространствами будут: подпространство Е(ез)и любое одномерное подпространство собственного подпространства ь(ем ег), отвечающего собственному значению Лг = 3.
Пвумерными инвариантными подпростраиствами будут: подпространство С(ег, ег) и все подпространства вида Е(с, ез), где с Е ь(ем ег), с ф д. Последнее подпространство ь(с, ез) и подпространство С(ез), т.е. подпространства Е(с, ез) для любого с 6 ь(ег, ег), могут быть заданы и в виде линейной оболочки Е(а, ез), где а — любой вектор Ч, так ках если а = аег + фея + чез, то С(ез), если с = аег + ггег = д, С(с,ез), если с ф д. Итак, полный список инвариантных подпространств таков: (д), Ч, любое ойномерное подпространство пространства С(ем ег) и подпространства С(а, ез), где а — любой вектор из $~.
° П р и м е р 59.8. Найти два двумерных инвариантных подпространства относительно линейного оператора А, заданного в естественном базисе пространства К матрицей з А= 5 -5 5 Решение. Известно (см. зацачу 59.25), что если Л вЂ” собственное значение оператора А, то любое подпространство, содержащее пп(А — ЛТ), инвариантно относительно этого оператора. Найдем собственные значения: 6 — Л -1 1 1(Л) = г(ез(А — Л1) = 5 — 5 — Л 5 4 -9 9 — Л 6 — Л 0 1 5 — Л О 1 5 -Л 5 =-Л 0 1 5 4 -Л 9 — Л -5+Л 1 9 — Л Отсюда Лг = О, Лг = 5 и, очевидно, Лз = Зг А — Лг — Лг = 5. Таким образом, оператор А имеет собственные значения Лг = 0 и Лг = 5 алгебраических кратностей 1 и 2 соответственно.
Найдем те двумерные инвариантные подпростраиства,которые содержат пп(А — ЛгТ) = ппА. Так как гбА = 2 и Лг = О, то все они совпадают с подпространством Ьг =!ш А, поэтому Бг может быть найдено как линейнзл оболочка столбцов матрицы А Я54), и (см. пример 45.2 в 345) может быть описано уравнением (59.1) Бг: хг — 2хг + хз = О. 55К Инварнантные лодпространства 39 Аналогично, все двумерные инварнантные подпространства, которые содержат пп(А — ЛзХ) =!щ(А — 5Х), совпадают с пп(А — 5Х), которое описывается уравнением (59.2) Итак, Ьз и Ьз — два двумерных подпространства, инвариантных относительно А. Отметим, что алгоритм, использованный в предыдущих примерах 59.6 и'59.7, позволяет построить только одно двумерное инвариантное подпространство.
Лействительно, собственному значению Лз = О соответствуют собственные векторы ось где о Е К, а ~ О, е~ = (О, 1, 1)т, а собственному значению Лз = 5 — собственные векторы аез, где а Е К, а ~ О, ез = (1, О, — 1)т. Тем самым, получим двумерное инвариантное инвариантное подпространство С(еь ез), которое, очевидно, совпадает с подпространством Ьз. Лругой алгоритм решения этой задачи использован в примере 61.3. ° ЗАДАЧИ 59.1. Доказать, что сумма и пересечение любого числа подпространств, инвариантных относительно оператора А, также инвариантны относительно А.
59.2. Доказать, что следуюзцие подпространства инвариантны относительно оператора А: а) ядро и образ оператора А; б) собственные подпространства оператора А; в) линейная оболочка любой системы собственных векторов оператора А; г) всякое подпространство, содержащее образ оператора А; д) образ и полный прообраз всякого подпространства Ь,инвариантного относительно А. 59.3. Доказать, что операторы А и А — сяя., где сг — любое число из основного поля, имеют одни и те же инвариантные подпространства. 59.4.
Доказать, что если оператор А невырожден, то А и А " имеют одни и те же инвариантные подпространства. 59.5. Показать, что всякое подпространство, инвариантное относительно оператора А, инвариантно и относительно любого многочлена от этого оператора. Верно ли обратное утверждение? 59.6. Доказать, то ядро и образ любого многочлена ((А) от оператора А инвариантны относительно А. 59Л. Пространство 1г' размерности п разложено в прямую сумму подпространства Ь! размерности )с ()с > О) и подпро- 40 Глава Х у.
Структура линейного оператора странства Ь, размерности и — к: 'г' = Ь, Ю 1,. Пусть базис е„...,е„пространства г' выбран так, что Ь, = Е(е„...,е~), Ьз —— Е(е~~„..., е„). Матрицу оператора А в базисе ем..., е„ представим в блочном виде А, = Ам А1з где Ам и Азз — квадратные матрицы порядков к и п — к соответственно. Доказать, что: а) Ам —— О тогда и только тогда, когда Ь~ инвариантно относительно оператора А; б) Аз1 — — О и А1з —— О тогда и только тогда, когда оба подпространства Ь, и Ьз инвариантны относительно оператора А. 59.8.
Показать, что всякая комплексная квадратная матрица А порядка п подобна матрице В вида Ьп Вм где В,з — матрица порядка п — 1. Указать способ построения матрицы преобразования подобия в этом случае. 59.9. Линейный оператор А, действующий в и-мерном пространстве, имеет п различных собственных значений. Найти все инвариантные относительно А подпространства и определить их количество. 59.10. Пусть А — оператор простой структуры, действующий в и-мерном пространстве $". Найти все подпространства 1г, инвариантные относительно оператора А.
59.11. Найти все подпространства, инвариантные относительно: а) скалярного оператора; б) оператора проектирования Р на подпространство Ь, параллельно Ьз, в) оператора отражения Е относительно Ь, параллельно 5,; г) оператора поворота плоскости багз вокруг начала координат на угол а; д) оператора А, действующего в геометрическом пространстве 1; по правилу: Ах = ~х, а]; е) оператора транспонирования в пространстве квадратных матриц К"""; ж) оператора дифференцирования г, действующего в пространстве многочленов М„; З59. Инвариантные надпространства 41 з) оператора А, действующего в пространстве многочленов М„по правилу: Ау(8) = 81'(1); и) оператора А, действующего в пространстве многочленов М„по правилу: АД1) =1 " / 1(с))зс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
