Том 2 (1113040), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Так как базис, в котором задана матрица оператора, ортонормированный, то нормальность оператора следует из того, что А — нормальная матрица, т.е. А А = АА (последнее равенство очевидно в силу симметричности матрицы А: А = А). Построим характеристический многочлен матрицы А: 1 — Л 1 -1 — 1 -1 — 1 1 — Л 1 -1 -1 1 1 — Л 1 1 — Л вЂ” 1 — 1 ( вычтем из 1-й ) = ~ строки 2-ю, а из ) = 3-й строки 4-ю цез(А — Л1) = -Л 1 Π— 1 Л О 1 — Л -1 Π— Л -1 1 — 1 О 1 — Л -1 О 1 — 1 1 Π— 1 Л 1 — Л 1 1 О -1 О -1 -1 1 — Л =Л з 1 О О О 1 2 — Л -1 -2 О О 1 О -1 -2 1 2 — Л ( прибавим ко 2-му ) = ~ столбцу 1-й, а к 4-му ) = Л столбцу 3-й =Л ) 2 2 Л (=(-Л) (4 — Л).
Отсюда следует, что собственными значениями матрицы А являются числа Л1 = 4 и Лз = О алгебраических кратностей 1 и 3 соответственно. Сле дсшв ие. В унитарном пространстве нормальный оператор А и его сопряженный А* имеют общий ортонормированный базис иэ собственныя векторов. Теорема 62.4. Если любой собственный векшор операпьора А, действующего в унитарном пространстве И, является собственным вектором сопряженного оператора А', то А — нормальный оператор.
Подобные комплексные (вещественные) матрицы А и В = Я 'Асс называются унигпарно (соответственно оршогонально) подобными, если матрица преобразования подобия Я унитарна (соответственно ортогональна),т.е. если Я Я = ггь) = 1 (соответственно гг гг = Щ = 1). Из определения следует,что две комплексные (вещественные) квадратные матрицы одинакового порядка унитарно (соответственно ортогонально) подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же оператора в унитарном (соответственно евклидовом) пространстве в ортонормированных базисах. Теорема 62.5 (матричная формулировка теоремы 62.3). Квадратное комплексная матрица лвллетсл нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице.
П р и м е р 62.1. Найти ортонормированный базис из собственных векторов оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства матрицей 362. Нормальные операторы и матрицы 89 Для нахождения собственных вехторов, отвечающих Лз = 4, решим систему уравнений (А — 41)х = 0: с о о о 1 -3 — 1 — 1 0 -3 1 О +~ 0 2 ' ' 01. 1113000-110 Этой системе удовлетворяет единственный линейно независимый вектор 1 1 1)т Пля нахождения собственных векторов, отвечающих Лз = О,требуется решить систему Ах = 0: [1 1 -1 -110 ). Этой системе удовлетворяют три линейно независимых вектора. Пля того, чтобы эти векторы были взаимно ортогональными, будем находить их последовательно.
Возьмем в качестве первого решения вектор уз = (1, — 1, 1, — 1), а второе т решение уз будем искать так, чтобы оно было ортогонально вектору 1з. ((х,1з)='О (1 -1 1 -1)О~ [О -г 2 0~01. Последней системе удовлетворяет, например, вектор 1з = (1, 1, 1, 1) т Аналогичным образом третье решение уз будем искать так, чтобы оно было ортогонально векторам 1з и 1з: Ах = О, Г 1 1 -1 -1 О 1 Г 1 1 — 1 -1 О 1 (х,Уз)=0, с=э~Π— 2 2 0 0~-+~0 — 1 1 0 0~, (*,Ь)=0 1 1 ~ О 01 (1 11й' е~ —— 2' 2'2'21 й 11 1'( ег = ( -,— —,—,— -~ ( 2' 2' 2' 2 1 1'1 1 11'1' ),г' г' г' г,) ' ЗАДАЧИ 62.1.
Показать, что всякий скалярный оператор унитарного (евклидова) пространства является нормальным. Последней системе удовлетворяет единственный линейно независимый вектор зз — (1 1 1 1) Итак, вектор уз образует базис собственного подпространства Игм, отвечающего собственному значению Лз = 4, а векторы )з, 1з, 1» — ортогональный базис собственного подпространства Игзз, отвечающего собственному значению Лз = О. В силу теоремы 02.2 объенийение этих базисов дает ортогонапьный базис всего пространства.
После нормировки получим искомый ортонормированный базис из собственных векторов: 90 Глава ХЧ1.Линейные операторы в унитарном пространстве 62.2. Показать, что если А — нормальный оператор, то нормальными будут также операторы: а) сзА для любого числа а Е С; б) А" при любом натуральном к; в) ДА) для любого многочлена Д8); г) А ', если А невырожден; д) А'. 62.3. Показать, что всякий линейный оператор, действующий в одномерном унитарном (евклидовом) пространстве, является нормальным оператором. 62.4. Показать, что оператор поворота на плоскости Чз является нормальным оператором. 62.5. Показать, что оператор, действующий в пространстве Чз по формуле Ах = [х, а), где а — заданный вектор, является нормальным. 62.6.
Показать, что в пространстве многочленов М„с естественным скалярным произведением следующие операторы являются нормальными: а) ДФ) ~-+ 1( — г); б) Д1) ~-+ г"1(1 '). 62.7. Доказать, что всякий циркулянтз является нормальной матрицей. 62.6. Привести примеры, показывающие, что сумма А+ В и произведение АВ нормальных операторов А и В в общем случае уже не будут нормальными операторами. 62.9.
Привести примеры, показывающие, что в неортогональном базисе матрица нормального оператора: а) может не быть нормальной; б) может быть нормальной. 62.10. Пусть А = В+зС вЂ” комплексная нормальная матрица порядка п. Показать, что действительная матрица Х1 порядка 2п вида также является нормальной. 62.11. Показать, что вещественная нормальная матрица ортогонально подобна квазидиагональной матрице с диагональными клетками первого и второго порядков. См. задачи 57.68, з57 и 58.68, 558. 'зб2. Нормальные операторы н матрицы 91 62.12.
Доказать, что если строки и столбцы нормальной матрицы рассматривать как векторы арифметического пространства с естественным скалярным произведением, то: а) длина й-й строки равна длине й-го столбца; б) скалярное произведение й-й и 1ьй строк равно скалярному произведению р-го и Й-го столбцов (в указанном порядке). 62.13. Доказать, что квазитреугольная нормальная матрица обязательно является квазидиагональной. 62.14. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров порядка й, выбранных из строк нормальной матрицы А с номерами 1м...,1ы равна аналогичной сумме для столбцов с теми же номерами.
62.15. Доказать, что кронекерово произведение нормальных матриц А и В (имеющих, быть может, разный порядок) само является нормальной матрицей. 62.16. Пусть А и  — нормальные матрицы и-го порядка. Доказать, что операторы У'Х = АХВ и ДХ = АХ + ХВ являются нормальными операторами пространства С" " (К" "). 62.1Т. Доказать, что если А — нормальный оператор, то: кегА" = кегА, ппА' = ппА.
62.18. Доказать, что оператор А, действующий в унитарном или евклидовом пространтве Ъ', нормален тогда и только тогда, когда для всякого вектора х справедливо равенство (Ах! = )А'х!. 62.19. Доказать следующее утверждение: для того чтобы оператор А, действующий в унитарном пространстве, был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа Л образ и ядро оператора А — Л2' были ортогональны.
Верно ли аналогичное утверждение в евклидовом пространстве? 62.20. Доказать, что оператор проектирования Р на подпространство Ь~ параллельно Ьз является нормальным тогда и только тогда, когда подпространства Ь, и Ьз ортогональны, т.е. когда оператор Р является оператором ортогонального проектирования. 62.21. Доказать, что оператор Е отражения относительно подпространства Ь, параллельно Ь, нормален тогда и только тогда, когда подпространства Ь, и Ьз ортогональны,т.е. когда оператор Е является оператором ортогонального отражения. 62.22. Доказать, что в любом подпространстве Ь унитарно- 92 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве го пространства, инвариантном относительно нормального оператора А, существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора А. 62.23.
Показать, что собственные подпространства нормального оператора попарно ортогональны. 62.24. Пусть е — собственный вектор нормального оператора А. Доказать, что подпространство Ь, состоящее из всех векторов, ортогональных е, инвариантно относительно А. 62.25. Доказать, что любая вещественная нормальная матрица ортогонально подобна квазитреугольной матрице с диагональными клетками первого и второго порядков (ср.
с задачей 62.11). Показать, что указанные ниже матрицы являются нормальными, и для каждой из них найти ортонормированный базис из собственных векторов. 0 2 1 — 2 0 — 2 — 1 2 0 62.26... 62.2?. 2 — 1 — 1 0 62.28. — 1 1 — г 1 0 1 2 — в' 62.29. Доказать, что матрица 1 1 1 1 1 1 — 1 — 1 — 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 унитарно подобна диагональнои, и нанти соответствующую матрицу преобразования подобия У. 62.30. Доказать, что две нормальные матрицы одного порядка унитарно подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые характеристические многочлены.
Верно ли это утверждение для матриц, не являющихся нормальными? 62.31. Доказать, что две нормальные матрицы и-го порядка унитарно подобны тогда и только тогда, когда 1г Аь = 1г В" для всех Й =1,п. 62.32. Доказать, что если оператор, действующий в унитарном пространстве, одновременно нормальный и нильпотентный, то он нулевой. Верно ли это утверждение для оператора, дей- З62. Нормальные операторы и матрицы 93 ствующего в евклидовом пространстве? 62.33. Может ли нормальный оператор иметь неортогональный базис, составленный из собственных векторов? 62.34. Можно ли ввести скалярное произведение в пространстве многочленов М„(п > 1) так, чтобы оператор дифференцирования Р был нормальным оператором? 62.35. В пространстве многочленов М„(п > 1) рассматривается оператор, действующий по формуле АДг) = Д1+ а), где а — некоторое заданное число. Можно ли задать скалярное произведение в М„так, чтобы этот оператор был нормальным? 62.36.
Пусть |à — произвольное линейное пространство. Локазать, что, каков бы ни был оператор А Е С(Ъ;Ъ') простой структуры, можно задать скалярное произведение в Ъ' так, чтобы А был нормальным оператором. 62.3?. Оператор А арифметического пространства Кз со стандартным скалярным произведением имеет в естественном базисе матрицу ~!! Л Ввести скалярное произведение в Кз так, чтобы оператор А был нормальным оператором. 62.38. Лля каждого из следующих операторов, действующих в пространстве Мз, выяснить, можно ли ввести в Мз скалярное произведение так, чтобы оператор стал нормальным, и, в случае положительного ответа, построить соответствующее скалярное произведение: а) АДХ) = Д1 — 1); б) АДС) = Д1 — й); в) А1(1) = 1(2 — 1); г) АД1) = 1(21+ 1); д) А~(1) = Д1+ 1) + Д1 — 1); е) АУ(г) = У(1 — г) + Д2 — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
