Том 2 (1113040), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Показать, что справедливо неравенство ~(В)) > 1ДА '(( с любой мультипликативная матричной нормой ~! !!. 71.91. Пусть А Е С""" и выполнены условия диагонального преобладания: )аы,) > ~ )а~,(, lс = 1,п. ля я Доказать, что матрица А обратима. 200 Глава ХИП. Линейные нормированные пространства 171. Линейные операторы в нормированных пространствах201 71.92. Доказать, что если матрица А = (агг) Е К""" нормальна, то выполнено неравенство и ~ агу Ц 1=1 '6А))2 >— 1 и 62.61 Сравнить этот результат с неравенством задачи 71.93. Пусть А — матрица порядка и с собственными значениями Л1,..., Л„. Доказать следующее неравенство Шура; ~~, '(Л )г < )щ)г 1=1 Т1.94. Пусть в условиях предыдущей задачи сг„...,сг„и р1,...,13„суть действительные и мнимые части собственных значений Л1,...,Л„.
Доказать, что: сс а) 4 Ссгг < ~~А+ Ан~~г, 1с=1 сс б) 4~-,92 < ~~А А™~~г 1с= 1 1пГ))Р 1АР((' = ~ ~)Л,!2, гы1 Для каких матриц А указанная нижняя грань достигается? 71.97. Используя задачу 71.91, доказать, что из нормально- сти матриц А, В и АВ вытекает нормальность матрицы ВА. 71.98. Пусть Л„..., ˄— собственные значения, а р1,..., р„— сингулярные числа матрицы А. Доказать, что ~Л,~+...+~Л„~ < р,+...+р„.
Т1.99. Используя результат предыдущей задачи, доказать, что для всякой матрицы А порядка и выполнено неравенство )Лг( < ~~ )а11(. 71.95. Доказать, что равенство в неравенстве Шура из задачи 71.93 достигается тогда и только тогда, когда А — нормальная матрица. Это же верно для обоих соотношений предыдущей задачи. 71.96. Пусть А — матрица порядка и с собственными значениями Л1,..., Л„и Р— произвольная невырожденная матрица. Доказать, что 202 Глава ХУП1 Линейные нормированные пространства 71.100.
Пусть р„— минимальное сингулярное число квадратной матрицы А порядка п. Доказать, что расстояние (по спектральной норме) от матрицы А до множества всех вырожденных матриц равно р„. 71.101. Найти наибольшее и наименьшее значения квадратичной формы у(хг,..., х„) на единичной сфере хз+... + хз = 1, если: а) У" = хз+ 4хз+ 2х,хз+4хгхз+4х,хз (и = 3); б) ~ = Зх! я+ хзз+ Зх,'+ Зх4+ 4(х,х, + х,хз + хгхв) + 6(хзхз+ хзх4) + 2хзх4 (п = 4); в) у = — 2х! — 4хз — хз Х4 + 6(хзхз + хзхз + хзх4) + 4(хгхз + хзх4) + 2хзх4 (и = 4).
272. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения Рассмотрим проблему решения систем линейных алгебраических уравнений с точки зрения свойств линейного оператора. Пусть У, И! — евклидовы (унитарные) пространства, А е Е(Ъ',И'), и Е И'. Уравнение (72.1) называется линейным операторнььм уравнением, вектор и — правой частью, вектор з — решением. Очевидно, в матричной записи операторное уравнь ние превращается в систему линейных алгебраических уравнений и, следовательно, все свойства систем уравнений можно переносить на операторные уравнения и наоборот. Однородное уравнение (72.2) называется сопряженным к уравнению (72.1).
Теорема 72.1 (альтериатива Фредгольма). Либо операторное уравнение (72.1) имев!а решение при любой правой части и Е ИГ, либо сопряженное к нему уравнение (72.2) имеет нетривиальное решение. Альтернатива Фредгольма для оператора А, действующего в одном пространстве У, означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом и Е У, либо сопряженное к нему уравнение имеет нетривиальное решение. Те о рема 72.2 (теорема Фредгольма). Операторное уравнение (72.1) имеет решение тведа и только тоеда, ковда еео правав часов ортвеональна всем решением сопряженноео уравнения (72.2). Пусть уравнение (72.1) разрешимо, и пусть Н вЂ” множество всех его решений.
Нормальным решением уравнения (72.1) называется такое его решение яе, что ((зо((е = !п( !(я(!е. *ел 372. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 203 Теорема 72.3. Лля любого разрешимого уравнения (72.1) нормальное решение зо существует и единственно, причем зо — перпендикуляр, впущенный из любого решения з уравнения (72.1) на йег А. Для уравнения (72.1) вектор г = Аз — и называется невязкоб вектора з, функция Р(з) = ~(Аз — и((в — функционалом нввязки.
Вектор з+ е И называется псевдорешением уравнения (72.1), если 1!А ~ — !(кв = 4 1!!А — 6. *е1 (72.3) вкругими словами, псевдорешение — зто вектор пространства Ь', минимизирующий функционал невязки. Если уравнение (72.1) разрешимо, то псевдорешение совпадает с решением в обычном смысле. Теорема 72.4. Псевдорешение существует для любого операторного уравнения (72.1). Уравнение (72.4) называется нормальным уравнением для уравнения (72.1). Теорема 72.5. Вектор з+ простлранства (Г ввлветсв псевдорешением уравнения (72.1) тогда и только тогда, когда з+ — решение нормального уравнения (72.4). Псевдорешение наименьшей длины называется нормальным псевдорешением.
Из теорем 72.3, 72.5 следует, что нормальное псевдорешение существует и единственно для любого уравнения (72.1). Пример 72.1. Найти нормальное решение системы х4+хз 2хз+х4 = 3, ( Х4 + 2хз — хз — Х4 = 3 относительно евклидовой нормы, соответствующей стандартному скалярно- 4 му произведению в пространстве И . Решение. В силу теоремы 72.3 для нахождения нормального решения необходимо среди всех решений данной системы выбрать то, которое ортогонально ядру матрицы системы, т.е.
ортогонапьно всем решениям приведенной однородной системы хз+ хз — 2хз+Х4 = О, ( хз + 2хз — хз — х4 = О. (72.5) '4 -1 -%$ (О 1 -4%) ~ '~ ' ", Фундаментальную систему решений (72.5) образуют векторы ез = (3, — 1, 1, 0), ез = (-3, 2, О, 1)т. Это равносильно тому, что нормальное решение должно быть ортогонгльно какому-либо базису этого ядра,т.е. какой-либо фундаментальной системе решений (72.5). Имеем 206 Глава Х)Л11. Линейные нормированные пространства Назовем средним коадраганческнм откяоненнем функции у = /(х) от заданной системы точек М1(х1, у»),..., Мь(хз, уь) величину ь з 171 б = -„~ (у, — /(х,)) =1 (72.7) Задача о наименьших квадратах состоит в нахождении функции у = /(х) из определенного хласса, для которой величина среднего квадратического отклонения (72.7) минимальназ.
Пример 72.5. Найти линейную функцию /(х) = агх+ а1, наименее отклоияюшуюся от точек М1(0,0), Мз(-1, 0), Мз(1,2), М»(2,1) в смысле среднего квадратического отклонения. Решение. Составим векторы / = (/(х»),/(хг),/(хз),/(х4)) значений искомой линейной функции /(х) в заданных точках и 6 = (уг,уг,уз,у4) ординат заданных точек: / = (а»,а1 — аг,аг + аг,а1 + 2аг)т, 6 = (0,0,2,1)т. Величина среднего квадратического отклонения (72.7) в данном случае равна б = ))Ь вЂ” Дв/2, где )(.
((е — обычная евклидова норма в пространстве К . Величина б будет минимальна тогда и только тогда, когда минимальна евклидова норма разности векторов 6 и /. Очевидно, что величина )~6 — Дв является функционалом невязки для системы < а1 = О, а1 — аг = О, а»+аз = 2, О1 + 2Ог = 1, (72.8) и поэтому коэффициенты О1, аг искомой линейной функции /(х) являются псевдорешением системы (72.8). Составим для системы (72.8) нормальную систему. Так как 1 0 0 Ь= 2, А А=[2 б~, А Ь=[41, 1 2 1 Ф [ то нормальная система имеет внд Аг'А [ О' 1 — Агб а з / 4аг+ 2аг = 3, Оз ) 2аг+ баз = 4. Отсюда а1 = аг = 1/2, и искомая линейная функция имеет вид 1 1 /(х) = -х+ —.
2 2 Так как / = (1/2,0, — 1, 1/2)т, то среднее квадратическое отклонение найденной функции от точек М1, Мг, Мз, М» равно б,1 = з/б/4. ° з Аналогичную задачу можно ставить и для функций у = /(хг,...,х„) любого числа переменных. "з72. Нормы и операторные уравнения. Псевдорешения 207 ЗАЛАЧИ Найти нормальные решения следующих систем. 5х, + 12хг — хй + 17хз = О, 72.1. 31х, + 15хз — 11хй — Зх, = О, 17хг — хз + 7хз — 23хз = О. 5х, — Зхг — хз = 2 72.2. — х, +хг+хз =О, — х,+Зх,+5хз=2. ~ + 1 хз — хг + 2хз = 8. 1 2хз+хг+хз+хй = 5, 1 х,+хг — — 10.
хз — 2хг+ Зхз — 4хй = 10, -Зх, + бхг — 9хз + 12хз = -30. Т2 4 ) хз — хг аз+ хя = 4, ) хг — хз =О. хй+ хг+ хз+ хй — — 2, Т2.7. У = хг + х'+ х'+ х4, если х, + 2хг + Зхз + 4хй — — О, хз — хг+ 2хз = 2х4 = 3 г г г ~ 2х,— х,+хз=З, 72.8. У=хз+хг+хз,если~ 3 +2 — — 4. хз + хг — хз = Т2.9. у = 4хг + х, '+ 9хг, если 4х, — х + х, = 23, 72.10. р = — х,— 9хг хз 4х4 если ~ г г г г хз Зхг+2хз — 4х4 = 3, ~ 2хг — хз+ х4 — — 5.
72.11. Найти максимальное значение выражения " хг при й=1 выполнении каждого из следующих условии: п л п а) ~ ~хй — — а; б) ~~ яхй — — а; в) ~ ~д~хй = а (д ~ ~1). ййп й=1 й=з При каких значениях переменных х„., х„этот максимум достигается? 72.12. Найти максимальное значение выражения ~~ йх~й при й=1 и выполнении условия ~ кхй — — а. При каких значениях переменй=з Исследовать на экстремум функцию у = Дхм...,х„), при выполнении указанных условий. 208 Глава ХЪ"1П.
Линейные нормированные пространства ных х„..., х„этот максимум достигается? Т2.13. Показать, что в евклидовом (унитарном) пространстве Ъ' система уравнений (72.9) (х, е,) = а„ ..., (х, ег ) = аг имеет решение при любых числах а„..., аг тогда и только тогда, когда векторы е„..., ея линейно независимы. Т2.14. Показать, что система уравнений (72.9) разрешима тогда и только тогда, когда имеет место импликация: г г ЧД,..., ~3я . ~ Де; = В =г ~ а,Д = О. г=г г=1 Т2.15. Показать, что система уравнений Л(х) = а,, Ь(х) = ая, где 1„..., 1я — линейные функционалы в линейном пространстве Р, имеет решение при любых числах а„..., ая тогда и только тогда, когда функционалы 1„..., 1„линейно независимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
