Том 2 (1113040), страница 40
Текст из файла (страница 40)
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 матрицу Аз — Ле1, где Аз— 60.83. Если йеВА ф О, то 2в-~ зз", если йеЗА = О, то 2л — ~~~ зз з=о я=о где взе — алгебраическая кратность нулевого собственного значения.
— озе, 1 1 0 0 1 1 60.84. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 60.85. 1 1 0 0 1 1 60.86. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 — Я 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 0 — 4 0 0 0-4 2 0 0 0 2 0 00-4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 60. 88. 60. 89. 60.78. ез =(24,-12,0,0,0,0)', ез = (6,0, -2„8, -4,0)з, ез = (1,0,0,3,0,-1), ез = (0,0,0,1,0,0)т, ез = (3,0,-1,-8,4,0)г, ее = (2,0,0,-3,0,1)т; 60,79. ез = (-2,0,2,0,2,0)т, ез = (0,0,0,0,2,0) 0 ез = (1,0,0,0,0,0),,1 0 ез = (0,0,0, 1,0,0)т, ее = (О, 1, О, О, О, 0) з; 60.80. Указание.
Проанализировать жорданова форма оператора А. 5 1 0 0 0 5 0 0 0 0 5 1 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 О 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 0 0 19 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 Отлеты и указания к 260 225 Сзаь !а а СЗ Я-3 „а Сз ь — 2 ьа С'аь ! а С'аь-з !„. а С'аь ьа аь »-! ь — е! а — з ь- эз а -з ь- эз а 60.90. О О О О ...
а" пРи й < и — здесь следУет положить Сьс — — 1 и Сь —— О длк и < Я. 60 91. Указание. Положить А = Л1+ Н и в равенстве /(х) = /(Л) + — (х — Л) + (х — Л) + Л+ (х — Л)*, где з — степень многочлена /'(Л) /'(Л) 3 /!0(Л) 1! 2! з! /(х), взять х = А. 60.92. э' (а ), где и — порядок жордановой клетки.
60.93. Если А = У (О), то жорданова форма матрицы А состоит из двух клеток!,У„,!з(О),,7„!з(О) при четном и и ))„знз(0), у<„.!.зуз(0) при нечетном п. 60.94. Каждая клетка заменится на транспонированную, а сами клетки будут стоять на диагонали в обратном порядке. 60.96. Пиагональные элементы Лз,..., Л„ в жордановой форме оператора А заменятся на: а) Л! — Ло, , Л вЂ” Ле; б) 1/Лз, , 1/Л . 60.96. Жорданова форма содержит две клетки: у„~з(а), у„Гг(а) при четном гзи,у<„ змз(а), у!„.!.зуз(а)при нечетном п. 609!.
Указание. Использовать задачу 60 91. 60.100. Указание. Учесть, что для жордановой формы Аз оператора А выполнено соотношение Аз = 1. 3 60.101. См. указание к предыдущей задаче. 60.102. Пиагональная матрица с диагональными элементами, равными нулю или единице. ООАО8. У„.!!(О). 60.104.
Жордановы формы всех операторов совпадают и состоят из трех клеток !з(0). 60.105. Указание. Учесть, что в характеристическом многочлене оператора А свободный член отличен от нуля, и применить теорему Гамильтона †Ка. 60.106. Указание. Воспользоваться задачей 60.91. 60.102. Жорданова форма — квазидиагональная матрица с диагональными клетками первого порядка, равными О и 1, и второго порядка, равными Уз(О). 60.108. Указание. Воспользоваться задачей 60.106. 60.110. Никакие две из матриц А, В и С не являются подобными.
60.111. А и С подобны между собой и не подобны В. 60.112. А и В подобны между собой и не подобны С. 60.114. Если Л вЂ” собственное значение оператора А, отличное от х1, то 1/Л вЂ так собственное значение, причем к обоим относится одинаковое число жордановых клеток с соответственно равными порядками. 60.116. Указание.
Пусть Лз,..., Ль — различные собственные значения матрицы А алгебраических кратностей тз,, ..,ть, Тогда Сг(Аг) = тзЛг!+ ... + тьЛг = О, р = 1,й. Рассмотреть систему этих соотношений относительно переменных тз,..., ть. 60.119.
Напишем квазидиагональную матрицу порядка тп, у которой на диагонали зл раэ повторен матрица з. Тогда жорданова форма соответственно матриц АбзВ и Аб!1 +1 ЭВ получается так: а) для каждого Ответы и указания к 361 226 собственного значения Л; матрицы А, не равного нулю, умножаем диагональные элементы з-й клетки,У на Лб если же Л, = О, то соответствуюпгую клетку о заменяем нулевой матрицей; б) ко всем диагональным элементам Ой клетки э' прибавляем Л,. 60.120. Если а — первообразный корень и-й степени из единицы и г = ",/е, то жорданова форма будет диагональной матрицей вида 61аб(1+ г,1+ га,1+ газ,..., 1+го" з). 361 61.5.
а) з~ (у,еЗ)ез", б) 1=1 г) у — 2~~~ (у,ез)ез. увц 61.6. а) у — ~~~ (у,ез)ез; в) 2 ~~~ (у,е,)ез — у; у — ~ (у, е,)ез; б) у — 2 ~Г(у,ез)ез з=з 1 2 1 — 2 2 4 2 -4 1 2 1 -2 -2 -4 -2 4 1 61.7. а)— 15 1 О О 1 1 г)— 2 О 1 1 О О 1 1 О 1 О О 1 2 1 — 2 — 1 2 — 4 2 — 4 -2 -4 — 2 — 1 0 — 1 — 1 3 О О 0 2 — 1 0 — 1 2 6 б 12 6 41 -2 12 -2 38 — 6 1 2 ~ -4 1 2 б)— — 2 7 12 -4 1 61.8.
а)— 15 О О О 1 О О 1 О О 1 О О 1 О О О 'Г -1 -1 1 -1 Π— 2 — 2 3 О О О 1 — 2 Π— 2 1 Л Ы -15 6 12 6 20 -2 12 -2 17 -6 1 2 1 д)— 3 1 -1 — 3 -1 — 1 7 3 — 5 61.9. а)— 1 4 — 1 — 1 — 1 -1 3 -1 — 1 3 3 -1 -1 3 -1 -1 — 1 -1 1 12 б)— -3 3 9 3 -1 -5 3 7 2 -1 2~ 4 — 2 4 — 2 1 — 2 ~ 4 — 2 4 — 3 -1 2 О О 2 -1 3 5 — 3 — 1 О 1 2 — 1 2 1 — 1 1 — 1 2 0 — 1 — 1 4 6 — 2 6 9 -3 — 2 -3 1 2 3 -1 — 1 1 — 1 1 -1 1 — 1 3 1 1 1 3 12 3 -6 — 4 -6 — 13 4 6 -2 — 1 1 — 1 — 1 -1 1 -1 1 1 1 1 1 Ответы и указания к 3б1 -1 -3 — 1 1 3 -5 3 3 3 — 5 3 1 1 ' ) б 3 ~-4 2 1 2 -1 5 — 1 — 2 2 4 3 — б — 2 0 — 6 -3 0 — 2 -2 0 -3 6 0 — 2 б 3 ] — 1 2 — 2 4 -4 — 2 -2 — 1 61.26.
а) 1'(а) = а)ь; б) 1" (а) = а~~~ Аь)ь». ь=г 61.27. а) А'х = Втх; б) А'х = Внх. 61.28. а) 7'Х=А Х (7*Х=А Х)' б) Д*Х=ХВ (б'Х=ХВ ); в) С'Х «Ат Х] (С.Х (Ан Х)) гь 61.29. А*р(1) = / К(з,с)р(з) Из. 61.31. А' = А в обоих пунктах. 61.32. А — оператор проектирования на биссектрису второй и четвертой четверти параллельно оси Оу. 61.33. А' — оператор проектирования на плоскость х+ 9+ я = 0 параллельно оси Ох. Г -36 -37 -15 1 61.34. [ 1. 61.35. [ 30 30 14 ~.
26 27 9 61.36. 2 -1 1 12 51 49 -1 ь 0 6138 а) [ — 2 15 ~ б) [ 7 3 ~ ) [-2+4ь 2+9ь ~ 61.11 а)~~(~ )Д ~-, (Уь,яь) ' ~-, (Ь,яь) 61.13. У к а з а н и е. Рассмотреть действие линейного функционала на произвольном ортонормированном базисе пространства 1'. 61.14. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 61.19. а) Т; б) если А = аТ, то А* = аХ; в) А' = А; г) так как А = а1, то А' = аХ. 61.20.
Если Л ы сйаб((емез),...,(с,е )), то (А ) = Л ьА~Л. Равенство (А*), = Ан выполнено, если (ез( = ... = (е ). 61.21. А — скалярный оператор. 61.24. Поворот на угол п в противоположном направлении. 61.25. А' = -А. Ответы и указания к 361 228 11 2 — Зс 10с е) -с — 5 — 4с 20 ~ 4+4с 2 -4+5с ~ 61.39. а) ~ 3 1 1! б) '( -1 3 ,ГО -5 01,ГО 61.40.
а) — ~ 6 0 2 ~;б) — ~ 6 0 2 0 15 0 ' 2 0 5 01 Г -3 1 2 0 ~! в) -5/2 0 5/2 0 — 2 — 1 3 0 3/2 ;б) — ~ -16 0 15~;в) 3/2 4 — 2 1 б ~ 0 о);е В 61.28 е. оспользоваться зацачеи 6); ) — (с с% )! — 1 с 5!; г! 61.56. а) ~ /(/с) =0; б) / /(!)сй= О. я=о -1 61.57. а) хс+ хе+ хз = 0; б) хс — хе+ 2хз = 0; в) Зхс+ хе — 2хз = 0; г) 4хс + хз — Зхз = 0; д) Зхс + 5хз+бхз = О. 61.62. в) Такого базиса нет.
В остальных пунктах базис и матрица определены неоднозначно. Ими будут, например, векторы с указанными координатными столбцами (относительно исходного базиса) и соответственно матрицы: а) — (1, -1, -1), — (1, 1, 0), — (1, -1, 2) з/3 с/2 с/6 б) — (1, — 1, 1), — (1, 5, 4), — (3, 1, -2) с/3 с/42 с/Г4 т 1 т 1 т ~1 1/~~2 г) (1,0,0), — (0,1,1), — (0,1,-1), 0 2 1 ,/2,/2 ~ О О с 2 —Ђ ,/3/2 3/с/2 0 2 2/с/3 0 0 2 ! 0 27/с/Г4 -65/с/422 0 0 14/с/3 0 0 0 0 61.41.
а) 3/2 0 ! 0 0 61.42. а) ~ 1 0 0 2 61.46. Указани 61.48. а) ~ 6 9 0 г) -3 -5 -1 61.53. Указание. Учесть, что !ш(А+ В) с ппА+ппВ, и показатьч что )ш А с пп(А+ В) и пп В с 'пп(А+ В). Лля доказательства второй части утверждения перейти к ортогональным дополнениям в равенстве ппА' + пи В = !ш(А + В*). 61.54.
а) !сегЭ' = С(1~), пиЗ' = С(Г, 1~); б) 1сег Э' = Е(31~ — 2), опЮ' = С(Г,З!з — 2); в) )сег21' = С(ЗС вЂ” 1), )шР' = С(1,3гз — 1). 61.55. Нулевое подпространство и подпространства С(1, !" +',..., !"), й=О,п. Ответы и указания к 362 229 ( 2 4/з/3 8/з/6 1 д) — (1, О, 1 ) , †(1, -2, — 1) , †(1, 1, — 1) , 0 — 2 — з/2 з/2 ' ' 'з/б ' ' ч'3 ~О О г 61.63. Кроме приведенных в ответе к пункту д) предыдущей задачи 4/з/3 8/з/6 ~ з/2 и 0 -2 4/з/3 7/з/б 2 3/,/2, а также 0 2 базисы, получаемые из любого привеценного выше домножением некоторых векторов на множитель -1, и соответствующим образом измененные матри- цы 1 1 31'-2 1 3 55 61.64.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
