Том 2 (1113040), страница 39
Текст из файла (страница 39)
1 1 О О О 2 О О з/6 2 — 2 0 — 6 ~ 58.50. Т = й = б!аб(2, — 2, 1/б, — з/6). 58.51. М атрица не имеет О О 2 1 58.52. Т= О 1 О О О О простую структуру. 1 1 О , й = баб (1, 1, 2, 2) . -1 58.53. Матрица не имеет простую структуру. 58.54. Матрица не имеет простую структуру. 58.55. Матрица не имеет простую структуру. 58.59. Матрица не имеет простую структуру Г 1 1 1 58.60.
Т = ~ 1 1 О, й = 41аб(1,2,2). 1 О -З~ 58.61. Матрица не имеет простую структуру. 58.63. х у ф О. 58.65. Нет. Указание. Показать, что ранг сопровождающей матрицы не меньше и — 1. 58.69. Собственные векторы для каждого Ль, й = 1,п, имеют вид а(Л~ ~, Ль г,..., Ль, 1)т, а ф О. 58.70. Указание. Постаточно рассмотреть случай, когда а — собственное значение матрицы А. Пусть его алгебраическая кратность равна й. Тогда гб(А — а1) = п — й.
Так как характеристический многочлен матрицы А — о1 имеет й-кратный корень, равный нулю, то в нем коэффициент при Л отличен от нуля. Следовательно, среди главных миноров порядка и — Й есть ненулевой. 58.72. сгВ = (144+ бго)/5. Указание. Воспользоваться задачей 58.5. ( 3 2гоо 2 Згоо 2(3гоо 2гоо) 1 58.73. ~ -3(Зьи — 2'оо) Зю~ — 2'о' 58.56. Т = 58.57. Т = 58.58. Т = 1 1 1 1 О 2, й = с)1аб(1,2,3). 2 1 2 3 1 9-~Зз/3 9 — Зз/3 ) 3 з/3 3+,/3 ~, й = п!аб(2, з/3, -з/3). 1 3 3 1 3 3 1 2+ 2г 2 — 2г, й = 41аб(1,2+ Зг,2 — Зг). 2 5 5 Ответы и указании к 359 218 58.74. [ 6 6 4 3 ].
( 3 2~ее 2 3юе 2(3зее 2зее) 3(31ее 2~ее) ~ез зез . Указание. Воспользоваться задачей 9.695. 58.Т6. а) 4; б) — 8. 58.77. а) При а > -5/4; б) при а ~ -5/4; в) при а = (йз — 5)/4, йб О(. 58.79. Указание. Использовать задачу 57.81. 58.80. Указание. Использовать задачу 5Т83. 59.5. Нет. 59.8. Указание. Взять в качестве первого столбца матрицы преобразования собственный вектор-столбец матрицы А. 59.9. Если ем, .., е„— базис из собственных векторов оператора А, то ненулевые инвариантные подпространства натянуты на всевозможные подсистемы еч,..., еог Число инвариантных подпространств равно 2".
59.10. Пусть У является прямой суммой собственных надпространств оператора А: У = И'~ Ю... ю Игю Тогда любое инвариантное подпространство Ь имеет вид Ь = Ь| ез... ез Ью где Ц вЂ” некоторое подпространство в И; 59.11. а) Все подпространства; б,в) все подпространства вида Ь = М~ чзМз, где Мы Мз — псдпространства в бы Хз соответственно; г) нулевое подпространство и 1'з, д) нулевое подпространство, В(а), ь" (а) и Уз; е) все подпространства вида Ь = М~ Ю Мз, где Мы Мз — подпространства в нодпространствах симметрических и кососимметрических матриц соответственно; ж) подпространства Мь, й = О, и, и нулевое подпространство; з,и) линейная оболочка любого множества одночленов из М . 59.12.
Кроме тривиальных инвариантных подпространств (В) и У имеются следующие иивариантные надпространства: а) В((2, -1) ), С((1, — 1) ); б) ь((-1,2) ); в) С(аь), В(а„аь), 1 < з < й < 3, где аз = (0,1,1), оз = (1,-1,-1)т, аз = (1,— 1,-2)г; г) С(аз), С(оз), ь(аыаз), ь(апаз), где а~ = (О, 1, — 1)т, аз = (1, -1,0), аз = (3,4,-2); д) любое падпро. странство в В(ам аз), где аз = (1, 1, 0)г, аг = (2,1, — 2)т, и любое подпространство, содержащее В(ог); е) любое подпространство в В(ам аз), где аз = (1, 1, 0) г, аз = (1, О, -1)т, и любое подпространство, содержащее ь(оз), где аз = (2,2, -1)т; ж) С(а~), где аз = (1, 1,1)т, любое подпространство в С(аз,аз), где аз = (1, — 1,0)т, аз = (0,1,-1)т, подпространства вида ь(ам а), где а — любой вектор из С(аз,аз); з) В(аз), где аз = (1,2,3)г, любое подпространство в Цаз,аз), где аз = (2, -1, 0)т, аз = (3,0, — 1)г, подпространства вида С(аы а), где а — любой вектор из В(аз, аз).
59.13. Скалярный оператор. Указание. См. задачу 57.51. 59.15. Оператор дифференцирования в М„. 59.16. Либо У вЂ” одномерное комплексное или вещественное пространство и А — любой оператор, либо У вЂ” двумерное вещественное пространство и А — любой оператор с пустым спектром. 59.17. Указание. Найти спектр А. 219 Ответы и указания к 359 0 — 25 0 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 — 1 — 1 0 — 1 1 0 5 0 4 1 1 0 г о -3 1 -2 1 1 ,Я= -2 1 0 0 0 го д)В=~О О 0 0 Г 2 0 1 е)Ввв~ О 1 0 0 0 2 59.40. 2.
Если йы..., й, — порядки диагональных блоков, то блп Вв = Ь4 -Ь... + хв, у' = 1, г. 59.41. Хь = ь(ез,...,еэ), й = 1,л. 59.43. Указание. См. задачу 59.42. 59.44. Указание. Использовать задачу 59.43. 59.40. Указание. См. зацачу 59.45. 59.47. У к а з а н и е. Учесть, что если сйш (г = и, то в С содержится не более пз линейно независимык операторов. 59.50. 2. Л,+Лм1<4<у<44. 59.52. При а = Ьк, й б Ж, оператор Д)! единичный и Л = 1, все ненулевые матрицы порядка 2 собственные.
При о = (н/2) + л)4, Гв Е Ж, есть собственное значение Л = 1 с собственной матрицей 1 для пункта а) Г 0 — 1 и ~ 1 0 1 для пункта б) и собственное значение Л = — 1 с ненулевыми Га Ь) собственными матрицамивида ~ Ь 1 дляобоикпунктов.
При а ~ л)4/2 59 19. Указание. Выбрать базис в (в так, чтобы ем,.,,еь образовывали базис Ь, и, рассмотрев ма~рину оператора А в этом базисе, воспользоваться теоремой 58.3. 59.22. Вообще говоря, нет. При условии, что индуцированный на В оператор имеет собственное значение 1. 59.26. Указание. Использовать задачу 5925. 59.29. а) сйш5 = 2 и А имеет единственное собственное значение геометрической кратности 1; б) 41!ш И = 2 и А имеет простую структуру или сйш(г = 3 и А имеет ецинственное собственное значение геометрической кратности 1. 59.31. Указание.
Использовать задачу 5925. 59.32. Требуемые инвариантные надпространства определяются уравнениями: а) (2о+ ЗВ)хз — ахз + 43хз = 0 Оа(+ ф( ф 0); б) хз — хз + 2хэ = 0; в) хв — хз = 0; г) хз + 2хз х (хз + 2хв) = 0; д) хв + хз х (хз + хв) = 0; е) 2хз+хг+Зхз+хв — хэ = О. Указание. Воспользоваться результатами задач 59.25 и 59.31. 59.35. а) ь((0,1, 1)т, (2, 1,0) ); б) С((1,-1,-1,0),(0,0,0, 1) ). 59.39. В пункте г) матрица А к треугольному виду не приводится. В остальных пунктах решение не единственно; если В = Я 'АЯ вЂ” требуемый треугольный вид, то: 220 Ответы и указания к 360 есть собственное значение Л = 1 с собственной матрицей 1 для пункта а) Г 0 — 11 и ~ 1 0 ~ для пункта б) и собственное значение Л = соз2о х гсбп2а с 1 жг1 собственными матрицами [ й 1 1 для обоих пунктов.
59.53. 2. Па, может. 59.55. Указание. Пусть Аег = О, ег ~ 9, тогда ег — собственный вектор и оператора В с некоторым собственным значением Л. Векторы ем..., е„такие, что Аеь+г = еь, Гг = 1, и — 1, линейно независимы, причем Вея = (Л вЂ” й+ 1)еь, й = 1, и. 59.56. Существует базис пространства, в котором матрицы обоих операторов — треугольные одинакового вида. 59.57. Указание. Привести каждую из матриц А и В подобным преобразованием к верхней треугольной форме.
59.59. и+ 1. 59.61. У к аз ан не. Рассмотреть индуцированный оператор на каждом собственном подпространстве. 59.67. Указание. В каждой паре инвариантных подпространств одно вложено в другое. 360 60 2. Указание. Рассмотреть образы векторов под действием опера- торов (А — Л,Х)г и (А — ЛгХ)г ' и учесть, что вектор (А — Л,Х)г 'к является собственным.
60.4. Указание. Использовать задачу 60.3. 60.9. У,(Лс). ООАО. (У,(Ло)) . 60.16. У к а ванне. Воспользоваться тем, что оператор простой струк- туры не имеет корневых векторов высоты Й ) 1. 60.17. Ко = С((0,1, — 1) ), Кг = б((1,0, 1)т, (О, 1,0) ). 60.18. Кг = К . 60.19. Кг = ь((2,— 1,0,0),(1,0,1,0),(2,0,0,1) ), К-г — ь((0, 1, О, 1) ) 60.20. К г = Е((1, 1, О, 0), (О, О, 1, 1) ), Кг = Е((3,1,0,0)~,(0,— 2,3,1) ).
60.22. (з„(Ла))~ 60.24. ег — — (4,3) ~ А ( 7 1 ) ег=(110)т, Аз=~О 2 1 ез = (0,0,1)г' 0 О 2 60.26. ег = (1,1,-1)т, ГО 1 01 ег=(-4,— б,б)т, Аг = ~ 0 0 1 ~, „=(ОО цт., О О О ег = (0,1,-1,0) е. =(0,0,1,-ут, А' ег = (0,0,0,1) Ответы и указании к 360 221 ез =(1,1,1,1,1) ез=(3210 Цт ез = (1, О, О, О, -Цт ез = (0,0,0,0,1)т; 80.28 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ез = ез = ез = е4 = 80.46. [о ез = ез = ез = ез = 60.47. 99 1 0 0 0 99 0 0 0 0 99 1 0 0 0 99 ез —— ез = ез = ез = 80.48 0 0 1 0 -1 0 0 -1 0 0 0 0 -1 1 0 — 1 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 0 0 0 0 1 О -1 1 0 — 1 60.49 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 2 60.50.
Жордановой формой будет матрица 41аб(Уь(0), Уь(0)), каноническим базисом, — например, базис '2! '4! ' '(28 — 2)) ' '3. ''5! ' '(2)с — 1)! 80.51. е~ =(2,2,2)т, У 1 1 0 1 ез = (1,0,0)з, Аз = ~ 0 1 0 ~. 2)т. О О 60.29. 60.33. 60.36. 60.38. торов. 60.40. 60.41. 60.45. У„(-1). 60.3О..У„(1). 60.31..У„(9).
60.32..У„(1). ,У„(1). 60.34.,У„(2). 60.35. У„(о). Рз = У +з(0), канонический базис 1, 1, 1~/2!,..., е" /по У к аз а ни е. Рассмотреть максимальную высоту корневых век- Указание. Сравнить с задачами 59.11, зж)" и 59.41. Указание. Использовать задачи 60.2, д) и 60.40. (-1,-1,3,-3)', ~ о 1 о о1 (0,1,0,0), 0 0 0 0 (002-2)т ~ О 0 0 1 (о'о'1'о) '. ' ~ о о о о ~ (-2, 2,1,2)т (0,0,1,1)т, рт (1,1,0,0) (0,0,13,0)з, (0,1,0,0)т, (1З,О,О,От) , (О, О, О, 1) ез = (1,2, 1, 0,0, 0)з, ез = (-2,-3,-1,0,0,0)', ез = (1,0,0,0,0,0), е4 = (О, О, О, 1, 2, 1) т, ез = (0,0,0,1,1,0)т, ее = (0,0,0,1,0,0)"; ез = (0,0,0,0,-1,0)т, ез = (1,0,0,0,0,0) ез = (0,1,0,0,0,0) ез = (0,0,0,0~0, — 5)т, ее = (О, 0,1, 0,0, 0) Ответы и указания к ~60 222 ег =(1,-2,1)т, Г 3 1 ег=(1,00), Аг= ~ 0 3 ез =(0,1,-Ц'; 0 0 е, = (1,1,3,4)', ез = (-1,-1,0,-Цт е4 = (0,1,0, 0)т; е, (1 7 4 2)т 0 , = (0,0,1,0)", О е = ( — 1,0,0,0)т; 60.52 2 1 0 0 О 2 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2 60.53 60.
54 о о] ег = (1,1 1 Цг ез = (О, 1, 1, 0)г, е4 = (0,0,1, -цг; 60.55 60. 56. 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 - [ 60.57. 60.58. Жорлановой формой будет матрица с)1аб(.Уз+г(0),зз(0)), кано- ническим базисом, — например, базис '2) '4( ' '(25)! ' '3) '5) ' '(2к — Ц! 60.59. Нет, так как п4 — пз = 2 > пз — пг = 1, где па = 8 — гз. ег = (О,О,Цт, ез = (0,1,Цт; ег = (1, 1, Ц ез = (О, -1, 0)т; ег = (1, 1, Ц ез = (0,1,0)т; ег = ( — 2,2,2)т, ег = (1,1,— 1)г, Аг = ез = (О, 1, Ц ег = (1, 1, 0)т, ег = (0,1 Цт Аг = ез = ( — 1,2,2)~~ 60.60 60.61 60.62 60.63 60.64 ег = ег = ез = е4 = ез = ег = ег = ез = е4 = ез = (24,0,0,0,0)т, (5, 7,8, 0,0)т (о,о,о,о,ц', (4 б 0 0 0)т (0,0,0,1,0)'; (1111 Цт (1,1,0 1 Ц' (0,0,0,-1,0)', (О,О,О,О,Ц', Ответы и указания к 360 223 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 — 1 1 0 0 0 -1 О1 О О1 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 о о~ 0 — 1 1 0 0 0 — 1 0 0 0 0 0 о -г 1).
А = О Аз = !Л 3 1 0 3 0 0 0 0 60.65. 60.66. 60.67. 60.68 60.69 60.70 60.71 60.72. 60. 73. 60.74 60.75 ез = (-4, — 3, — 4)т, Г1 1 01 ез=(2,2,-1)т, Аз= ~ 0 1 0 ~. ез=(101)т 0 0 — 2 'з =(' -' 2)т Г 1 1 О 1 ез =(0,0,— 1)т, Аз = ~ О 1 1 ез = (0,1,0)т 0 О 1 е,=(1,г,г)', Г 3 О О) ез = (1, 2, 1)з, Аз = 0 — 1 1 ез = (-1, -1, О) О О ез = (2, 2, 2, 2)т, ез = (О, -1, О, -1) е4 = (1,0,0,0)т; ез = (1,0,-2,3) ез = (О, О, 1, 0)з, е4 = (0,0,0,1)т; ез = (2,1,0,0)т, ез = (О, 0,3, — 2)з, е4 = (8, 3, -1, 1)з; ез = (1, О, 1, 1)т, 0 ез = (0,0,1,0), ~ 0 101 Цт. 0 е1 = (О, -1, О, 2) т, ез = (-2, 5, -1, — 10)т, ез = (-1,0,0,7)з, ез =(О,— 1 0 3)т е1 = (3, 3, -3, — 3)з, ез = (1,0, — 1,0) ез = (-3,— 3,-3,— 3) т е4 = (1,0,1,0)т; ез = (22 2 2)т ез = (0,0,0,1)', ез = (1,0,0,1)т; ез =(2,— 2 2 2)т ез = (О, -1,0,1)т, ез = (0,0,1,-1)т; 224 Ответы и указания к 3бО (-3,1,1,1, Ц' ез = ез=( — 20111)т ез = (1,0,0,0, -1)т; 60.76 1 0 0 0 — 1 1 0 0 0 — 1 0 0 0 0'-1 О 0 0 0 -1 — 1 0 0 0 0 ед = (-4,0,0,3,1) 1 ег = (1,-1,0,0, О) 0 ез =(0,1,— 1,0,0)т, Аз = 0 е4 = (1, — 1, 1, — 1, -1)т, ез = (0,0,0,0,1)з; 60.77.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
