Том 1 (1113039), страница 70
Текст из файла (страница 70)
5.80. Указание. Воспользоваться задачей 2.51 и показать, что все строчные суммы матрицы [А, В) равны нулю. 5.81. У к а з а н и е. Применить свойство 8 определителя. 5.82. О. 6 1. Указание. Применить индукцию. В д) и е) воспользоваться формулой бинома Ньютона для (1 х 1)". 8.2. а) С»; б) 1» С»С' = С»+» — 1; в) (С»)г. 8.4.
С„". 6.7. У к аз ание. Разложить произвольный»»инар порядка выше Ь по любым его Ь строкам. 6.8. 200. 6.9. -84. 6.10. — 11. У к аз ан не. Разложить по первым двум столбцам. 6.11. -2. 6.12. -2. 6.13. 195. 8.14. — 16. 6.15. 90. 6.16. 8. 6.17. 1000. 6.18. 3. 6.19. — 15. 8.20. — 10. 6.21. 2025. В.22. (х» — хг) гйп(7 — В) + (уг — уз) сйп(а — 7) + (гг — г») в(п( — а).
6.23. -(ауг+ Ьхг -1-сху). 6.24. — (аа» -1 ЬЬ»+ се»). 6.25. аЬс — х(Ьс+ са+ аЬ). 6.26. (Ь вЂ” с )г. 6.2Т. Указание. Разложить определитель по первым трем строкам. 6.28. 4. 6.29. 25. 6.30. — 2. 6.31. — 2. 6.32. -84. 6.33. 98. 6.34. 43. 6.35. — 36. 6.36. 8. 6.ЗТ. — 1, 6.38. ( — 1)" (пх -Ь 1)х", 6.39. а,б) Нет, в,г) Да. 6.43. Определитель умножится на (2 — (с)2~ '. Указание. Построить матрицу, умножение данной матрицы на которую слева вызывает требуемое преобразование. 6.44.
а) 2" (А)г; б) ( — 2)")А)~; в) )А)~. 37 7.1. 30. 7.2. -2. Т.З. -11. 7.4. 9, Т.5. -18. 7.6. 90. 7.7. -4. 7.8. О. Т.9. 1. Т.10. 5. Т.11. -10. 7.12. — 5. 7.13. -1. Т.14. 100. Т.15. О. Т.16. — 24. 7.17. О. 7.18. 360. Т.19. 1875. Т.20.
4п+ 1. Указание. Все строки, начиная со 2-й, прибавить к первой. 7.21. (и — 1)(-1)" '. Указание. См. задачу 7.20. 7.22. (2~ — 1)(п — 1)" '. 7.23. ( — 1)"~"»0~~(п+ 1)" 7.24. (х+(и — 1)а)(х — а)" '. 7.25. х" +( — 1)"+'у". Т.26. (и+ 1)!. Т.27. х»(хг — а»гКхз — агз) .. (х„— а к ). 7.28. ас(х — а»)(х — аг)... (х — а„). 7.29. 2(п — 2)!( — 1)~" "+ Уг. 7.30. ( — 1)»п!.
7.31. (໠— Ьзиаг — Ьг) (а — Ь ). Т.З2. Ь»Ьг...Ь„. Т.ЗЗ. ( — 1)" '(и — 1)х" 7 34. ( — 1) ч" ВгЬгЬг...Ь„. 7 35. (аз+ а» + аг+ .. + а„)х". Т.36. ( — 1)" 'х" г. Т.ЗТ. ( — 1)"~" 'У~гг. Т.38. 1. Ответы и укыания к 37 396 Т.72. (а — 6 )". Т.ТЗ. П(а,аг +г-! — Ь Ьг +г-*). ,=! 1 2 и 1 7.74. ага!...а„(ао — — — — — ) а! аг ''' а )' /„1 1 1! Т.75. аЬсгсг...
с а6 с! сг с„ агЬ! а Ь 7.Т5.1. с!сг...с (са — — —... — — ). с! с ) и(и — 1) 7.39. (па+ )а" . Указание. К первому столбцу прибавить 2 все остальные. 7 40. (-1)" (п+ 1)агаг... а„, Указание. К последнему столбцу при- бавить все остальные. 7.41. 1. Т.42. ( — 1)" 'и. 7.43. 0 прн и > 3, — рд при п = 2, и р+ д+ з при п = 1. Т 44. О при и > 3, -9 при и = 2, и 2 при и = 1. Т.45.
О, если и нечетно, и 1, если п четко. Указание. При нечетном п воспользоваться утверждением примера 5.5 35. При четном и из каждой строки, начиная с первой и заканчивая предпоследней, вычесть последую- щую, а затем из каждого столбца, начиная со 2-го, вычесть предыдущий. 7.46. ( — 1)" '(и — 1)2" г. Указание. Из каждого столбца, начиная с 1-ого, вычесть последующий. 7.47.
(1 — а )" '. Указание. Из каждой строки, начиная со 2-й, вы- честь предыдушую, умноженную на а. 7.48. 127. Т.49. 127. Т.50. (1+ ( — 1)")/2. 7.51. О, если п = 26 — 1, )о Е М, и ( — 1)~, если п = 21с, 6 Е М. У к аз ание. Проанализировать рекуррентное соотношение. 7.52. (4"+' — 1)/3. 7.53. 4"+' — 3"+'. 7.54. 5" — 2( — 4)". 7.55. 6" (1+ и). Т.56. п+ 1. 7.5Т. 3" (1 — 2п). 7.58.
3" — 2" '. 7.59. 64. Т.60. а — ба + Ба — 1. 7.61. 7 5" г — 2" ', Указание. Предварительно разложить опреде- литель по последней строке, 7.62. 1 + х + х" +... 4- хг". Т.63. (2"+' — 1)(3'+' — 2'+') — 4(2" — 1)(З' — 2'). У к аз а ни е. Разложить по первым й строкам и применить метод рекуррентных соотношений, Т.65. Указание. Применить индукцию по п. 7.67. аоагаг... а„( — + — + — +... + — ) . 1 ао а! аг а ) Т.68. 1 — Ь! + ЬгЬг — Ь!ЬгЬг +... + ( — 1) Ь!Ьг...Ь 7.69.
(х — 1 )(хг — 3 )... (хг — (2гп — 1) ), если п = 2т, т Е 74; х(х — 2 )(хг — 4 )... (х — (2т) ), если и = 2т+ 1, т Е 1Ч. /1 1 '1 Т.70. -а!аз...а ( — + — +... + — ). "(!а! аг ''' а )' -! 7.71. 2 (-1)"а!аг... а„ь + ( — 1)". о=а Ответы н указания к 37 397 „ 1 х"+1 — 1 и + 1 Т.Т6. аох" + агх" +... + а гх+ а„. 7.7Т. (х — 1)г х — 1' пх" х" — 1 Г 1 1 1Л 7.78. — — .
7.79. агаг ..а„(1+ — + — +... + — ). х — 1 (х — 1)' ' ' ''' "(, ай аг ''' а у!' 7.80. аохгхг...х +агугхгхг ..х„+агугугхз, х + +а угуг у . 7.81. Ь(х+Ь)". 782. 1!2!3! ..п!. Т.83. 1!2!3! ...п!. 7.84. П (а, — ай) Т 85. П (х, — хй). 1«й< .1-1 »*й>1 7.86. (-2)"!" ! П ьгп юп 1«*й< ~ 7.87. 2"!" '!1 П соа зш 2 »й>1 Т.88. ( — 1)" 1! 2! 3!... п!. Т.89.
П (х, — хй). 7.90. П ' П (х, — хй). »й>1,=1 ' »*й>1 7.91. 1! 3! 5! ... (2п — 1)!. 7.92. П (а,Ь1. — айЬ,). 1«*й< +1 7 93. (хг+ хо+ ... + х ) П (х. — хй), Указание. Определитель >й>й>1 Ваидермоида (г(хг,хг,,х, г) разложить по последней строке и вычис- лить коэффициент при г" 1'1 1 1Л 794. хгхг...х ( — т — +'''+ „) П (х,— хй). *.) >1>й>1 7.95.
(-1)" ' П (х, — хй). Указание. Представить каждый эле»*й>1 мент последнего столбца в виде (з — х,)" ', где я = х1 + хг +... + х„, и, разложив его по степеням х„свести определитель к определителю Ваидер- моцца. 7.96. ( — 1)" ' П (х, — хй). Указание. Умножить 1-ю строку (1 = »й>1 1, п) иа х, и свести определитель к определителю Ваидермоида. Т.97.
П (Л; — Л,)(1 — Л,Л1). Указание. Вынести из 1-й строки » 1>1 (1 = 1, п) множитель Л,". 7.98. (х — 1)(х — 2)... (х — п+ 1). 7.99. ( — 1)" '(х — 1)(х — 2)... (х — и + 1). Т.100. — З(хг — 1)(хг — 4). 7.101. хогг. 7.102. (х — а — Ь вЂ” с)(х — а+ Ь+ с)(х+ а — Ь+ с)(х+ а+ Ь вЂ” с). 7.103. (х + а1 + аг +... т а ) П (х — ай). й=1 Т.104. х +(аг+аг+...+а )х" '. Т.105. (х-аг)(х — аг)... (х — а ). Т.106. (1 — хаы)(1 — хогг) .
(1 — ха ). 7.107. Л1 = О, Лг = 2, Лг = — 3. Указание. К 1-й строке прибавить остальные строки. Т.108. Л1 = Лг = 1, Лг = -1. Указ а и ие. Из 1-го столбца вычесть 3-й и ко 2-му столбцу прибавить удвоенный З-й, 7.109. Л1 = Лг = Лг = Лй = 1. 7.110. Л1 = Лг = 1, Лг = Лй = 2. 398 Ответы и уквзаиия к 37 О 1 ... 1 1 х! ... х„х хз ,. хз хз ! 1 х„... х„"' О О О ... О 1 7.111. Л! = Лз = Лз = Лз = 4. Т112.
Л =З,Л~=5,Лз= — 2,Л4= — 4. 7113 Лз=Лз=Лз=О Лз=В. 7.114. Л! — Лз = 2, Лз = 4, Лз = — 2. 7.115. Л! = ... = Л ! = О, Л„= п. 7.116. Л! = ... = Л ! = О, Л„= п(п + 1)/2. а! аз а„ 7.117. (х! — а!)(хз — аз)... (х — а„) (1+ — + +...+ х! — а! хз — аз х — а / Указание. Положить х, = (х, — а,) + а,. 7.118. О, если и > 3, (аз — а!)(Ьз — Ь!), если и = 2, и а! — Ьз, если п = 1. 7.119. (а! — х!)(аз — хз)... (а„— х„) — а!аз... а„.
Указание. Предста- вить элемент в левом верхнем углу как 1 — 1 и разложить определитель в сумму определителей. 7.120. 1+ ~ ' П(х! — 2а,х,). Указание. Использовать хз — 2а,х,~ ,=! * ' .=! результат задачи 7.117. а,Ь. 1 Т.121. хзхг... х„1+ ~ х.
=! -! -! 7.122. ( — 1) ху . Указание. Представитьэлементвпра— ! х — у х — у вом нижнем углу как х — х и разложить определитель в сумму определите- лей. 7. 123. х(а — у)" — у(а — х) х — у Т. 124. 1(х) — /(У) , где ((з) = (а! — з)(аз — з)...(а„ вЂ” з), х — у 7.125. О, если п > 3; в1п(а! — аз)ззп(В! — 1)з), если и = 2; сов(а! — В!), если п = 1. 7.126. О, если и > 3; — ззп~(а! — аз), если и = 2; ьйп 2аз, если п = 1, 7.12Т.
П (а,— аз)(Ь! — Ьь). Указание. Разложить в произведение »з>! определителей Вандермонда. Т.128. СзСз... С„" П (аь — а,)(Ь, — Ьь). >з>з>а Т.129. П (х! — хь)з. Указание. Разложить в произведение опре»в>1 делителей Вандермонда. 7.130. П(х — х,) П (х, — хз) . Указание. Представить искомый =! »ьй! определитель в виде произведения 399 Ответы и указания к 88 8.1. У к аз а н и е.
Воспользоваться задачами 1.16 и 6.41. 8.2. Указание. Воспользоваться задачами 1.16 и 8.1. 8.3. Указание. Пусть все члены определителя положительны. Пока- а Ь зать, что для любого минора 2-го порядка ~ ~ ] его матрицы выполнено с соотношение вйп(ад) = вйп(Ьс).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
