Том 1 (1113039), страница 67

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 67)

41.17. Доказать, что определитель эрмитовой матрицы есть число действительное. 41.18. При каких значениях п все определители порядка п, элементы которых удовлетворяют условиям а ь Е К при всех 242. Комплексные числа в тригонометрической форме 377 т' ) )с и аь = гадь при всех у < )с, будут: а) действительными? б) чисто мнимыми? 41.19. Показать, что при нечетном п все определители порядка и, элементы матрицы которых удовлетворяют условиям предыдущей задачи, имеют вид а(1 ж 1), где а Е К. 41.20. Матрица А = (а; ) Е С""" называется косоэрмитовой, если а, = — а,, г = 1,п, 1' = 1,п. Доказать, что определитель косоэрмитовой матрицы нечетного порядка — число, чисто мнимое. 41.21. При каких а, Ь, с,4 Е К матрица 2 а+ Ьг' а) обратима; б) имеет ранг 1; в) эрмитова; г) отличается от унитарной матрицы вещественным числовым множителем? 41.22. Можно ли матрицу А= 21 0 — 1 представить в виде А = ЛУ, где Л е С, У вЂ” унитарная матрица? Возможно ли такое представление, если Л = — Л? 41.23.

Показать, что поле С не изоморфно полю К. 342. Комплексные числа в тригонометрической форме Модулем комплексного числа з = а + и называется число г = чгаэ + Ьэ. Обозначение: ф. Свойства модуля: 1) ~г~ — действительное неотрицательное число, причем )з) = О е=ь з = О; 2) ~з~ совпадает с полярным радиусом точки М, изображающей это число на комплексной плоскости; 3) )з) = ч'зт; 4) модуль вещественного числа совпадает с абсолютным значением этого числа. Аргументом комплексного числа з ф 0 называется угол Ээ между положительным направлением осн абсцисс и радиус-вектором точки М, отсчитываемый от оси абсцисс в любом направлении, при этом положительным считается направление против часовой стрелки.

Обозначение: ага ж Свойства аргумента: 1) агя з не определен для в = О, а для в р' 0 определен с точностью до слагаемого, кратного 2т; Глава Х1. Поле комплексных чисел 378 2) ага г отличается от полярного угла точки М тем, что ага г имеет бесконечно много значений; 3) два комплексных числа гь и гг равны тогда и только тогда, когда )гь) = )гг) и, если )гь) ф О, агиг, = ага гг+ 2к)ь,1ь е У. (423) Теорема 42.1. Любое комплексное число г ф О может бьппь записано в виде г = г (соз аь -)- ь вьп \Р), (42,2) ))гь) — )гг)) ~ )гь х гг) < )гь) + )гг). Эти неравенства называют неравенств ми треугольника ыа комплексией плоскости. Теорема 42.3.

При умножении камплекспыс чисел их модули умножаются, а аргументы с ладывают~; при делении комплексных чисел их льадули делятся, а аргумепты вычитаютсяь )гьгг) = )гь))гг), ага(гьгг) = ага гь 4- ага гг'; гь — — ага — = агйгь — агйгг, гг ф О. )") (42.3) (42.4) Замечание. Если один из сомножителей в (42.3) или гь в (42.4) равен нулю, то теорема относится только к модулям. Соотиоьпеиия (42.3) переносятся и иа любое число сомножителей (достаточно применить льетод математической индукции).

Теорема 424 (формула Муавра). Если г = г(совьр + ьв!и р), п й Е, пьо г" = г" (ссз пьр + ь выл Пьр) . ЗАДАЯИ 42.1. Найти тригонометрическую форму числа: 1) 5; 2) г; 3) — 2; 4) — Зь; 5) 1 + ь; б) 1 — ь; 7) — 1 + ь; 8) 1+э~/3; 9) 1 — гъ'3; 10) — 1+ьиьЗ; 11) ь/3+г; 12) — т/3+г; 13) — АЗ вЂ” г; 14) 2+ъ'3+ь'; 15) 1 — (2+ььЗ)г; 16) сова — гз(псг; 1 + г 'с8 сь (1 + 2ь)2 17) выло+ ьсозо; 18); 19) 1 — ь'18о' (1+ г)2 — (1 — г)2 42.2. Указать геометрический смысл выражения )х1 — г2), где х1 и хз — заданные комплексные числа. где г = )г), р = ага г .

Форма (42.2) записи комплексного числа называется тригонометрической формой этого числа. Теорема 42.2. Для любых комплексных чисел гь и гг ильеют место иеравеиства З42. Комплексные числа в тригонометрической форме 379 42.3. Найти геометрическое место точек, изображающих комплексные числа г, удовлетворяющие условиям: 1) (в)=1; 2) (я)<1; 3) ф<2; 4) )г — г(<1; 5) (л+1 — г) < 1; 6) 1 < )л — 1) < 3; 7) 1г+ 2г) = (~ — 4г(; 8) ф = (в — 4+ 2г(; 9) аг8 и = гг/6; 10) — гг/3 < аг8 в < гг/3; 1 1 11) ~аг8(я+г)~ < гг/4; 12) 1шв = 1; 13) Не — = —; 1 1 г — 2 14)?гп — < — —; 15) (Нег)+ )?п1в( < 1; 16) = 2; 2' в — 1 1 7) |в — г)+ (г+ г) = 4; 18) (в+ 2г( — )я — 2г'( = 3; 19) (г — 2(з+(в+2(з = 10; 20) (г(з+Зв+Зв = 0; 21) в?пф > 0; ~в+4 22) ?обг7з > 0' 23) г = 1+ 2гв, где нг пробегает всю окружность (го! = 1.

42.4. На комплексной плоскости даны точки тг = 6 + 8г, гз = 4 — Зг. Найти комплексные числа, соответствующие точкам биссектрисы угла, образованного радиус — векторами точек ег и вз. 42.5. Доказать, что множество комплексных чисел г, для которых ф = 1, образует мультипликативную группу.

42.6. Образует ли мультипликативную группу; а) множество комплексных чисел с заданным модулем г, б) множество комплексных чисел с модулем, не превосходящим фиксированного числа т > О? 42.7. Решить уравнения: а) ф + г = 8+ 4г'; б) (в! — в = 8+ 12г; в) ф + тз = 0; г) л~ = г~; д) я~ + т = О. 42.8. Найти необходимые и достаточные условия того, что: а) модуль суммы двух комплексных чисел гг и гз равен сумме их модулей; б) модуль суммы двух комплексных чисел гг и вз равен абсолютной величине разностей их модулей. 42.9. Доказать, что если точки на комплексной плоскости, изображающие числа гг, зз,..., ва, являются вершинами правильного гг-угольника, вписанного в окружность ф = г, то они удовлетворяют условию гг + гз +... + в„= О.

42.10. Установить необходимое и достаточное условие того, 380 Глава Х1. Поле комплексных чисел что три точки, изображающие три различных комплексных числа гн 22, зз, лежат на одной прямой. 42.11. Доказать, что корни уравнения 1 1 1 + + — О, — .— 22 2 — 22 гДе зы 22, гз — Различные комплексные числа, лежат внУтРи или на границе треугольника с вершинами в точках, изображающих числа зы 22, 22. 42.12. Доказать, что: а) если ~2! < 1, то )гг — 2+ 2! < 3; б) если )з( < 2, то 1 < (гг — 5( < 9. сов~р+1япЗг 42.13.

Упростить сов4 — зяпф' (1 — 2~/3)(сов ~р+ 1вш р) 42.14. Вычислить 2(1 — 1) (сов <р — 2' вш ~р) 42.15. Вычислить: 1 — 1 2 (1 — )2 д) . + (-1+ гъ 3)'в (-1 — 2Л)'в (1 1)20 (1 + 1)20 42.16. При и Е У вычислить выражения: / ' ~1+ 128о/ ' (1 1)и-2' 42.17.

Вычислить (1+ сова+1япо)", и Е У,. 42.18. Доказать, что если 2 + 2 ' = 2 сов ~р, то 2" + 2 " = 2 сови~р, где и Е У. 42.19. Найти смежные классы: а) адцитивной группы С комплексных чисел по подгруппе чисел вида а + 02, а, 0 Е Ж; б) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе чисел, равных по модулю единице; в) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе положительных действительных чисел; г) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе ненулевых действительных чисел; З42.

Комплексные числа в тригонометрической форме 381 1 1 е е 1 , Гз где е = — — + г —; 2 2 ' 1 1 б) 1 1 Е Е 1 1 в) 1 е2 42.23. В Е е2 1 1 2 2х 2в 3 3' , где е = сов — + 1яп —; 4х 4х 3 3 , где е = сов — + г вш ыразить через сов х и яп х: а) сов5х; б) сов8х; в) япбх; г) яп7х. 42.24.

Выразить еббр через ~8~р. 42.25. Составить формулы, выражающие совах и яппх через сов х и яп х. д) адцитивной группы С комплексных чисел по подгруппе К действительных чисел; е) адцитивной группы С комплексных чисел по подгруппе, объединяющей число 0 и все комплексные числа, аргументы которых равны ~ро + вп, и Е Ж. 42.20.

Доказать, что фактор-группа аддитивной группы К по подгруппе У, изоморфна мультипликативной группе всех комплексных чисел с модулем, равным единице. 42.21. Доказать, что фактор-группа мультипликативной группы ненулевых комплексных чисел по своей подгруппе Н ивом орфна: а) мультипликативной группе всех комплексных чисел с модулем, равным единице, если Н вЂ” мультипликативная группа ненулевых действительных чисел; б) мультипликативной группе К~ всех положительных действительных чисел, если Н вЂ” мультипликативная группа всех комплексных чисел с модулем, равным единице. 42.21.1.

Доказать, что группа всех поворотов плоскости 1'2 относительно операции суперпозиции отображений изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел с модулем, равным единице. 42.21.2. Показать, что мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел не изоморфна мультипликативной группе невырожденных диагональных матриц второго порядка. 42.22. Вычислить определители: Глава Х1. Поле комплексных чисел 382 42.26. Представить в виде многочлена первой степени от тригонометрических функций углов, кратных х: а) вшвх; б) вш4х; в) соввх; г) совах. 42.27.

Найти суммы; ) 1 С2+С4 Св+ . б) С1 СЗ+Св СТ 42.28. Доказать, что: а) 1» С4» Св» „— (2 -1» 2 /2сов "~). б) С„'+Св+Св+ = — ~2" 1+2")2яп — ); г) Св+ С7+ С1' »-... = — 12" 1 — 2"125)п — 1) и и п ''' 2) 4/. 42.29. Найти сумму 42.30. Доказать, что: а) 1 + С„+ С„+... = — ~2" + 2 сов — ~; и)7'1 б) С1 + С„'1 + С7 +... = — ~2" + 2 сов 3 в 1 / „(и — 4)77'1 в) С + С + С +... = — ~2" + 2 сов 42.31. Вычислить суммы: а) 1+ асовр+ авсов2)р+... + а" совЪр; б) вш)р+ ая)ц)р+ Ь) + а2 вш()в+ 26) +...

+ а" в)п(у+ И). 42.32. Показать, что при х ф 2)ги, и Е Ус и+1, их вш х вш— ) Ю *-';! 2*-';..,-';Ю яп— 2 и+1, их сов х вш б) *~- 2 ~-...~- яп— 2 '043. Корни из комплексного числа 383 42.33. Найти 1 1 1 11ш 1+ — соях+ — сов2х+... + — сових 1, 2 4 2и 42.34. Доказать, что если п Е И, а 0 — угол, удовлетворяющий 0 1 условию я1в — = —, то 2 2п' д 30 2п — 1 сов — + сов — +...

+ сов 0 = пвшпд. 2 2 2 42.36. Показать, что и Зп 5л 7п 9п 1 а) сов — + сов — + сов — + сов — + сов — = —; 11 11 11 11 11 2' 2п 4л 6п 8п 10тг 1 б) сов — + соя — + соя — + сов — + сов — = — —; 11 11 11 11 11 2' и Зтг 5п 7п 9гг 11тг 1 в) сов — + соя — + сов — + сов — + сов — + сов — = — . 13 13 13 13 13 13 2 42.36. Найти суммы; а) сов х + С,', сов 2х +...

+ С„" сов1п + 1)х; 6) в1вх+ С,', вш2х+... + С,", в!в1п+ 1)х. 42.37. Найти суммы: а) совх — С1 сов2х+ СзсовЗх —... + ( — 1)"С„"сов1п+ 1)х; 6) в1вх — Сгяш2х+ Сзв1вЗх —... +1 — 1)"С„"вш(и+ 1)х. 343. Корни из комплексного числа Пусть п Е М. Корнем и-й стпеиени из комплексного числа г называется число и Е к такое, что о" = г.

Характеристики

Список файлов книги