Том 1 (1113039), страница 62
Текст из файла (страница 62)
рациональные числа, ~39. Группа 351 знаменатели которых — степени числа 2 с целыми неотрицательными показателями, относительно сложения; 14) все рациональные числа, представимые в виде дробей с нечетным знаменателем, относительно сложения; 15) множество 11, — 1) относительно умножения; 16) положительные действительные числа Кэ. относительно операции а*5=а; 17) положительные действительные числа К.ь относительно операции а *Ь = а~5~? 39.2. Для каждого из следующих множеств квадратных вещественных матриц выяснить, образует ли оно группу; в случае положительного ответа указать, будет ли эта группа абелевой: 1) матрицы порядка п относительно умножения; 2) матрицы порядка п относительно сложения; 3) невырожденные матрицы порядка п относительно умножения; 4) невырожденные матрицы порядка и относительно сложения; 5) матрицы порядка и с целыми элементами относительно умножения; 6) матрицы порядка и с определителем, равным д, относительно умножения; 7) матрицы порядка и с целыми элементами и определителем, равным ~1, относительно умножения; 8) симметрические (кососимметрические) матрицы порядка п относительно сложения; 9) симметрические (кососимметрические) матрицы порядка и относительно умножения; 10) диагональные матрицы порядка п относительно сложения; 11) диагональные матрицы порядка и относительно умножения; 12) диагональные матрицы порядка и, все элементы диагонали которых отличны от нуля, относительно умножения; 13) верхние треугольные матрицы порядка п относительно умножения; 352 Глава Х.
Элементы общей алгебры 14) невырожденные треугольные матрицы одинакового вида относительно умножения; 15) ортогональные матрицы порядка п относительно умножения; а Ы 1б) ненулевые матрицы вида ), а, Ь е К, относительно умножения; /а 61 17) ненулевые матрицы вида ~ ~, а, Ь Е Я (д ~ И вЂ” за- 1, дЬ а,)' данное число, не являющееся полным квадратом), относительно умножения; а 6 с 18) ненулевые матрицы вида 2с а Ь, а, Ь, с Е (3, отно- 2Ь 2с а сительно умножения. 39.3. Для каждого из следуюших множеств отображений выяснить, образует ли оно группу относительно умножения (супер- позиции) отображений; в случае положительного ответа указать, будет ли эта группа абелевой; 1) взаимно однозначные отображения множества натуральных чисел на себя, каждое из которых перемещает лишь конечное число чисел; 2) все отображения множества первых и натуральных чисел в себя; 3) все инъективные отображения множества первых п натуральных чисел на себя; 4) все сюръективные отображения множества первых и натуральных чисел на себя; 5) взаимно однозначные отображения множества первых и натуральных чисел на себя; б) все перестановки первых и натуральных чисел; 7) четные перестановки первых и натуральных чисел; 8) нечетные перестановки первых и натуральных чисел; 9) все перестановки первых и натуральных чисел, оставляющие неподвижными элементы некоторого заданного подмножества; 10) параллельные переносы трехмерного пространства Ьз, 11) повороты трехмерного пространства Ъз вокруг заданной оси; 12) все повороты плоскости Ъ~; з39.
Группа 353 13) все повороты плоскости вокруг центра заданного правильного и-угольника, совмещающие этот и-угольник с самим собой. 39.4. Какие из следующих множеств действительных много- членов от одной переменной образуют группу относительно сложения многочленов: 1) многочлены степени не выше и (включая нулевой много- член); 2) многочлены степени и; 3) многочлены всех степеней (включая нулевой многочлен); 4) многочлены степени не выше и, для которых х = 1 — корень; 5) многочлены степени не выше и, для которых х = 1 — простой корень? 39.5. Доказать, что множество дробно-линейных функций, ах+ Ь т.е. функций вида у =, где а, Ь,с,д е К и ад — Ьс ф О, ох+ д образует группу относительно операции суперпозиции функций.
Абелева ли она? 39.6. Доказать, что множество М всех подмножеств некоторого непустого множества М образует абелеву группу относительно операции симметрической разности: А Ь В = (А 0 В) ~ (АпВ). 39.7. Выяснить, образует ли группу множество М всех подмножеств некоторого непустого множества М относительно: а) операции пересечения; б) операции объединения. 39.8.
Доказать, что конечное множество С, в котором определена ассоциативная алгебраическая операция и каждое из уравнений ах = Ь, уа = Ь для любых а, Ь Е С имеет в С не более одного решения, будет группой. 39.9. Доказать, что конечное множество, в котором определена ассоциативная алгебраическая операция, подчиняющаяся закону сокращения слева и справа, является группой. 39.10. Доказать, что если а~ = 1 для любого элемента а группы С, то эта группа абелева. Изоморфизм групп 39.11.
Доказать, что группы 1)-4) задачи 39.1 изоморфны ы — 42п 354 Глава Х. Элементы общей алгебры между собой. 39.12. Показать, что изоморфные конечные группы имеют одинаковый порядок. 39.13. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка: а) 2; б) 3; в) 4; г) 6.
Написать таблицы умножения этих групп и представить эти группы в виде групп перестановок. Доказать,что группы порядков 2,3,4 абелевы. 39.14. Доказать, что: а) группа К+ положительных действительных чисел по умножению изоморфна группе К всех действительных чисел по сложению; б) группа Ц.~ положительных рациональных чисел по умножению пс изоморфна группе Я всех рациональных чисел по сложению. 39.15. Доказать, что аддитивная группа У, целых чисел не изоморфна адцитивной группе Ц рациональных чисел. 39.16.. Доказать, что мультипликативная группа ненулевых действительных чисел не изоморфна мультипликативной группе невырожденных диагональных матриц порядка и > 2.
39.1Т. Доказать, что при и > 2 мультипликативная группа невырожденных диагональных матриц порядка п не изоморфна мультипликативной группе невырожденных верхних треугольных матриц того же порядка п. 39.18. Доказать, что адцитивная группа К действительных чисел не изоморфна адцитивной группе К""" квадратных матриц порядка п > 2. 39.19. Доказать, что мультипликативная группа ортогональных матриц порядка и > 2 не изоморфна мультипликативной группе невырожденных матриц того же порядка и с определителем, равным ~1.
39.20. Доказать, что группа параллельных переносов пространства 1гз относительно суперпозиции отображений изоморфна адцитивной группе всех векторов в 1гз. 39.21. Доказать, что группа всех поворотов плоскости Ъз относительно суперпозиции отображений изоморфна мультипликативной группе ортогональных матриц второго порядка с определителем, равным единице.
39.22. Доказать, что группа дробно-линейных функций (задача 39.5) изоморфна мультипликативной группе матриц второ- ~39. Группа 355 го порядка с определителем, равным ~1. 39.23. Доказать, что: а) любая конечная группа порядка и изоморфна некоторой группе перестановок и элементов; б) любая группа изоморфна группе некоторых взаимно однозначных отображений множества элементов этой группы на себя.
39.24. Доказать, что группа порядка б либо коммутативна, либо изоморфна группе Яз. Подгруппы 39.25. Доказать, что непустое подмножество Н группы является ее подгруппой тогда и только тогда, когда а,беН ~ а6 еН. 39.26. Какие из групп в задачах 39.1 — 39.4 являются подгруппами других из этих групп? 39.27. Доказать, что во всякой группе; а) пересечение любого набора подгрупп является подгруппой; 6) объединение двух подгрупп является подгруппой тогда и только тогда, когда одна из подгрупп содержится в другой; в) если подгруппа Н содержится в объединении подгрупп А и В, то либо Н с А, либо Н с В.
39.28. Доказать, что: а) если Н вЂ” конечное множество элементов группы С и произведение двух любых элементов из Н снова лежит в Н, то Н будет подгруппой группы С; 6) если все элементы множества Н группы С имеют конечные порядки и произведение двух любых элементов из Н снова лежит в Н, то Н будет подгруппой группы С. 39.29. Доказать, что произведение двух подгрупп группы является группой тогда и только тогда, когда эти подгруппы перестановочны. 39.30. Доказать, что множества рЖ, р Е М, исчерпывают все ненулевые подгруппы аддитивной группы Ж целых чисел. 39.31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
