Том 1 (1113039), страница 64
Текст из файла (страница 64)
39.71. Доказать, что любая подгруппа циклической группы — тоже циклическая. 39.72. Пусть С = (а) — конечная циклическая группа порядка п. Доказать утверждения: а) порядок любой подгруппы группы С делит порядок и этой группы; б) для любого делителя с1 числа п существует единственная подгруппа Н группы С, имеющая порядок а'; в) подгруппа Н порядка с1 содержит в качестве образующих все элементы порядка д группы С. В частности, Н = (а"~"). 39.73. Доказать, что если циклическая подгруппа является нормальным делителем, то либо групповая операция коммутативна, либо подгруппа конечна. ~39.
Группа 361 39.74. Найти число элементов порядка р™ в циклической группе порядка р", где р — простое число, 0 ( т ( п. 39.75. Найти все подгруппы: а) циклической группы порядка 6; б) циклической группы порядка 24; в) циклической группы порядка 100; г) циклической группы порядка р" (р †прост число). 39.76. Пусть С = 1а) — циклическая группа порядка и и б = а". Доказать, что: а) элемент 6 тогда и только тогда будет образующим группы С, когда числа и и 1с взаимно просты; б) порядок элемента 6 равен и/и', где д — наибольший общий делитель п и 1с; в) всякая подгруппа Н С С порождается элементом вида а~, где д — делитель и; г) для всякого делителя Й числа и существует единственная подгруппа Н с С порядка д.
39.77. Доказать, что любая циклическая группа порядка и изоморфна адцитивной группе У,„вычетов по модулю и. 39.78. Доказать, что в коммутативной группе множество элементов, порядки которых делят фиксированное число и, является подгруппой. Верно ли это утверлсдение для некоммутативной группы? 39.79. Доказать, что; а) все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; б) все конечные циклические группы данного порядка и изоморфны между собой.
Фактор-группа 39.80. Пусть Н вЂ” нормальный делитель в группе С. Назовем два элемента а, 6 е С связанными бинарным отношением И, если элемент аб ~ принадлежит Н. Доказать, что: 1) И является отношением эквивалентности на множестве С; 2) фактор-множество С~Я. совпадает с фактор-группой группы С по подгруппе Н. 39.81. Доказать, что фактор-группа симметрической группы Я„по знакопеременной группе А„изоморфна фактор-группе Глава Х. Элементы общей алгебры 362 У/2К аддитивной группы целых чисел по подгруппе четных чисел.
39.82. Найти фактор-группы: а) алдитивной группы У, целых чисел по подгруппе рУ, чисел, кратных данному натуральному числу р; 6) аддитивной группы ЗЖ целых чисел, кратных 3, по подгруппе 15У, чисел, кратных 15; в) аддитивной группы 47, целых чисел, кратных 4, по подгруппе 24Ж чисел, кратных 24; г) мультипликативной группы ненулевых действительных чисел по подгруппе К+ положительных действительных чисел. 39.83. Доказать, что в фактор-группе Я/Ж а) содержится бесконечно много элементов; б) каждый элемент имеет конечный порядок; в) для каждого и Е 1') имеется в точности одна подгруппа порядка и.
39.84. Доказать, что фактор-группа мультипликативной группы невырожденных матриц пго порядка по своей подгруппе Н изоморфна: а) мультипликативной группе ненулевых действительных чисел, если Н = (А е Кв»в ~ с)еФА = 1); б) мультипликативной группе К+ положительных действительных чисел, если Н = (А Е К™п !) де( А) = 1); в) группе У2, если Н = (А Е К""" ! с)е( А > О). 39.85. Пусть ф— алдитивная группа векторов и-мерного линейного пространства н Нь — подгруппа векторов )с-мерного подпространства, О < )с < п. Доказать, что фактор-группа С„/Нь изоморфна С„ы 340. Кольцо и поле Непустое множество К, наделенное двумя алгебраическими операциями — сложением и умножением, называется кольцом, если эти операции удовлетворяют следующим аксиомам: Ча, Ь, с Е К 1)а+Ь=Ь+а; 2) (а + Ь) + с = а т (Ь + с); 3) лО6 К; а+0=0+а=а; 4) Уа Е К 3 — а Е К: а+ ( — а) = ( — а) + а = 0; 6) (аЬ)с = а(Ьс); 6) (а + Ь)с = аЬ + Ьс, а(Ь + с) = аЬ + ас.
940. Кольцо и поле 363 Кольцо называется коммутатиеным, если умножение в нем коммута- тивно. Кольцо называется кольцом с единицей, если операция умножения обладает нейтральным элементом. 1. Кольцо обладает всеми свойствами аддитивной абелееой группы; в частности, в кольце: а) существует единственный нулевой элемент 0; б) для любого элемента а существует единственный противоположный элемент — а; в) для любых элементов а,Ь Е К существует, и притом единственное, решение уравнения х ч-а = Ь, при этом х = Ь+ ( — а); это решение называется разностью элементов Ь и а и обозначается символом Ь вЂ” а. 2.
В кольце умножение дистарибутиено относитпельно еычитани, т.е. а(Ь вЂ” с) = аЬ вЂ” ас, (а — Ь)с = ас — Ьс, Уа,Ь, с й К. 3. В кольце длл любого элемента а: аО = Оа = О. 4. В кольце для любых элементов а, Ь: (-а)Ь = а( — Ь) = — аЬ. Следствие, ( — а)( — Ь) = аЬ, та,Ь й К. 5. В кольце с единиией для любого элемента а: (-1)а = а(-1) = -а. б. В кольце для любого элемента а определен элемент, кратный эле- менту ат па, и Е (Ч. 7, В кольце с единицей, содсрэкащем не менее двух элементов, выпол- нено: 1 ф О. 8.
В кольце с единицей множество обратимых (по умножению) эле- ментов образует мультипликатиеную группу. Ненулевые элементы а и Ь кольца называются делителями нуля, если аЬ = О. При этом элемент а называется левым делителем нуля, а элемент Ь вЂ” правым. Два кольца К и К' называхтгся иэоморфнььии, если существует биектив- ное отображение р: К К', которое сохраняет операции, т.е, для любых а,Ь й К 1) р(а + Ь) = гт(а) + ут(Ь); 2) гт(аЬ) = ~р(а) ° ~р(Ь). В изоморфных кольцах К и К 1) р(О) = 0', где 0 и 0' — нули в К и К'; 2) р(-а) = — гт(а), та Е К; 3) если кольцо К обладает единицей 1, то кольцо К' тоже обладает единицей 1', при этом 1о(1) = 1', 4) если элемент а Е К обладает обратным элементом а ', то гт(а ) = (р(а)) 5) если кольцо К имеет делители нуля, то их образы будут делителями нуля в кольце К'. Рассмотрим алдитивную группу Хр — — (Со, Ст,..., Ср т) вычетов по мо- дулю р (пример 39.9).
Определим на Жр операцию умножения, положив С С = С„где г щ тп(птод р), т.е. С С вЂ” это смежный класс, в который входит тп. Теорема 40.1. Ер — конечное коммутпатиенос кольцо с единицей, которое иэлеет делители нуля, если р — составное число. Кольцо Ер называется кольцам вычетов по модулю р. Непустое подмножество кольца К называется подкольцом, если оно само образует кольцо относительно операций, определенных в К. Зб4 Глава Х. Элементы общей алгебрьз Полем называется коммутативное кольцо с единицей, содержащее не менее двух элементов, в котором каждый отличный от нуля элемент имеет обратный.
1. Поле обладает всеми свойствами кольца. 2. В поле нет делителей нуля. Следствие. Умножение лвляется алгебраической операцией на мно- зкесгаве всех ненулевых элементов поля. 3, В поле Р множество всех ненулевых элементов образует мульти- пликатизную коммутатизную группу, и поэтому в поле: а) существует, и притом единственна, единица, причем 1 ф О, 6) для любого зле.мента а ф О существует, и притом единственный, обратный элемент; в) дяя любых а,Ь й Р, а ф О, уравнение ах = Ь имеет единственное решение, при этом х = а Ь = Ьа; этот элемент называется частным от Ь деления Ь на а и обозначается символом — или Ь/а. а 4. В пале сохраняются все обычные правила обращения с дробями: а с а) — = — азад= Ьс; Ь И а с адхбс ас ас б) — х — = —, Ь И Ы ' ЬИ Ы' — а а а в) — =— Ь вЂ” Ь Ь 5.
В поле для любого элемента а и любого и й Е определен элемент па, кратный элементу а; если и Е И, то определена и-я степень а" элемента а; если а ф О, то и-я степень определена дяя любого и й У. Элементы поля называют числами. Наименьшее натуральное и, для которого и 1=1-Ь1+.у. +1=0, называется характеристикой поля. Если указанное свойство не имеет ме- ста ни для какого натурального числа п, то говорят, что такое поле и.меет характеристику нуль.
Тво рема 40.2. Характеристикой поля может быть либо О, либо простое число. Теорема 403. Если р — простое число, то кольцо Ур вычетов по модулю р образует поле характеристики р. Подмножество Р' полл Р называется подполем поля Р, если оно само является полем относительно тех операций, которые определены в поле Р. Прн этом поле Р, в свою очередь, называется расширением поля Р'. Два поля называются изоморфными, если они иэоморфны как кольца. В главах 1, П, 1У, Ъ' рассматриваются вещественные матрицы, их опре- делители, вещественные системы линейных алгебраических уравнений, ве- щественные линейные пространства.
Основные результаты этих глав прак- тически дословно переносятся на случай, когда вместо поля В вещественных чисел рассматривается произвольное поле Р. Без всяких ограничений они переносятся на случай бесконечного полн Р характеристики р = О,так как алгебраические операции в таком поле обладают теми же свойствами, что и в поле Й. Для конечного полл имеет место очевидное отличие. Так, неопределен- ная система линейных алгебраических уравнений над полем К имеет бес- 840.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
