Том 1 (1113039), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Для г = О существует единственный корень и-й степени, равный нулю. Теорема 43.1. г7лл ненулевого числа г = т1совзт+ тз!и р) сутцествует ровно п различных корней оо,от,...,О„т и-й стпеиени: ог = Отт (сов + тз1п ут+ 2кГг .. от+ 2кГт'1 ), тг = О, и — 1 . тт п Обозначение: Отг = 1оо,ат,...,а т). Теорема 43.2. Все корпии-й стпеиени из единицы образуют муль- тпииликативную группу, На комплексной плоскости все корни п-й степени нз ненулевого числа г расположены на окружности радиуса р = 1тЯ и делят эту окружность на и равных частей.
В частности, все корни и-й степени из единицы 2кк , 2к/г ег = соз Ч" твтп —, Гт = О,тт — 1, и и Глава Х1. Поле комплексных чисел 384 расположены на единичной окружности и являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в эту окружность (одна из вершин которого — точка Ао(1, 0)).
При этом действительных корней может быть либо два, если и четно (ео и е„,бг), либо один, если и нечетно (го). В любом случае недействительных корней четное число, они расположены симметрично относительно действительной оси, т.е. попарно сопряжены. Теорема 43.3. Все корни и-й степени из ком лексного числа г ~ 0 получаюгпсл умножением одного из этих корней на все корни и-й степени из единицы. Таким образом, все корни и-й степени из числа г образуюгп сльежньбй класс мультипликативной группы ненулевых кампзексных чисел по подгруппе'корней и-й степени из единицы, порожденный одним из корней и-й сп(епени из г. ЗАДАЧИ 43.1. Записать в тригонометрической форме элементы мно- жеств ) г1; б) гсб12(1 — ЮЗ); ) 98 2(1 — 1); ) -1; б д),/:1: .
43.2. Записать в алгебраической форме элементы множеств: 1) 3 1, 2) 4/р 3) тй/1 4) з, 5) т4/ 4. 6) ьй/644, 7) з16', 8) з-27; 9) 1/8 9' 8 19) 9( — 72(1 — ь78); 32 15) —; 16) 43.3. Для каких з Е С и и Е И множество корней 22-й степени из х содержит хотя бы одно вещественное число? 43.4. Пусть з и ю — комплексные числа. Доказать следующие равенства множеств: а) т/х"ю = я ьп/ю; б) à — япю = — я,"/ю (и нечетно); в) ~/зю = и ~~ию, где и — одно из значений,",(г, 43.5. Доказать, что объединение множеств и/з и / — з есть 2п;2 множество у я ". 43.6. Верно ли равенство 2/я =,"/х (пт Е И, т > 2)? 43.7.
Доказать, что множество корней степени и из единицы является циклической мультипликативной группой порядка и. З43. Корни из комплексного числа 43.8. Доказать, что множество всех корней всевозможных степеней п = 2, 3,... из единицы образует бесконечную мультипликативную группу, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. 43.9. Доказать, что множество корней пй степени из комплексного числа 2 образует мультипликативную группу тогда и только тогда, когда 2 = 1. 43.10. Найти смежные классы: а) мультипликативной группы ненулевых комплексных чисел по подгруппе всех корней и-й степени из единицы; б) мультипликативной группы комплексных чисел, по модулю равных 1, по подгруппе всех корней и-й степени из единицы.
43.11. Доказать, что для любого п Е И существует корень ий степени из единицы, который не является корнем из единицы меньшей степени, чем п. Такой корень называется первообразнмм корнем и-й степени из единицы. 43.12. Доказать,что корень е и-й степени из единицы является первообразным корнем тогда и только тогда, когда все его степени е~, й = О, п — 1, различны. 43.13. Доказать, что если е — первообразный корень п-й степени из единицы, то е" тогда и только тогда будет первообразным корнем и-й степени из единицы, когда Й и и взаимно просты.
43.14. Найти число первообразных корней из единицы степени: а) 2; б) 3; в) 12; г) 16; д) 24; е) рь, где р — простое число. 43.15. Вычислить: а) сумму всех корней степени и из единицы; б) сумму в-х степеней всех корней степени п из единицы (в Е Х); в) произведение всех корней степени и из единицы. 43.16. Вычислить: а) 1+ 2е + Зез +... + пе" ~, б) 1+4е+9е2+ +ипе где е — корень п-й степени из единицы.
43.17. Пусть е — первообразный корень степени 2п из единицы. Вычислить сумму 1 + е + е2 +... + е" 43.18. Найти суммы: 27г 47г 2(п — 1)7г а) сов — + 2 сов — +... + (и — 1) сов п и п 277, 47г 2(п — 1)7г б) в3п — + 2 в3п — +... + (и — 1) вгп и п и и — 42п Глава Х1. Лоле комплексных чисел 386 43.19. Числа гс, хм гз,..., х 1 (и > 3) на комплексной плоскости являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в некоторую окружность единичного радиуса.
Найти: а) го + в1 + хт + + в -1' б) во+в~+вз+ +в -1' в) !во~' + 1х1!' + 1хз!' + " . + !в~ -1!'. Вычислить следующие определители трехдиагональных матриц. 1 — 1 0 ... 0 0 -5 2 — 1... 0 0 0 — 5 2 ... 0 0 43.21 0 0 0 ... 2 — 1 0 0 О...— 5 2 000...2 5 000...1 2 О а 0 ... 0 0 аОа...00 43.22. 0 а 0 ... 0 0 43. 23. 0 0 0 ... 1 1 О О О ... 1 1 000...0а 000...аО 2 10... 00 — г 21...
00 0 — 12... 00 43.25. 21 1 0... 0 0 — 1 21 1... 0 0 0 — 121... 0 0 43. 24 О 0 О... 21 1 0 0 0...-121 0 00... 2 г 0 00... — ъ'2 1+1 г 0 ... 0 0 1 1+1 г ... 0 0 43. 26. 0 1 1+1... 0 0 0 ...1+1 г 0 ... 1 1+1 0 0 0 0 43.27. Доказать, что значение цирауллнта определяется ра- 250...0 0 125...0 0 012...0 0 43.20. 110...00 111...00 011...00 343. Корни из комплексного числа венством а1 аг аЗ ... аи аи а1 аг ... аи-1 аи 1 аи а1 ... аи 2 = «(Е1)4 (Ег), .
„«(Еи), аг аз а4 .. а1 где 1(х) = а1 + агх + азх + ... + аихи " и е1, ег,..., еи — все значения корня п-й степени из единицы. 43.28. Доказать, что в обозначениях предыдущей задачи а1 аг аЗ .. аи аг аз а4 .. а1 аз а4 аз .. аг = ( — 1) 2 1(е1)1(ег)... 1(еи). аи а1 аг ... аи 1 43.29.
Вычислить определитель 1 ои' 1 а „и-2 „и-1 2 3 43.30. Вычислить косой циркулянт (или косоциклический определитель) а1 аг аЗ ... аи -а а1 а2 а -1 -аи 1 — аи а1 аи 2 -аг — аз -а4 ... а1 43.31. Вычислить определитель где число 2 Е С произвольно. хаг еаз за4 ° ° ° а1 а1 аг аз заи а1 аг заи 1 Еаи а1 аи аи 1 ои-2 „и-1 „и-2 и 3 Глава Х1. Поле комплексных чисел 2я .
2я 43.32. Пусть е = соб — +131п — и матрица и п Еп-1 Е2(п-1) ЕЗ(п — 1) Е(п — 1) представляет собой матрицу определителя Вандермонда чисел .2 и-1 1) Вычисляя матрицу А2, показать, что ~ де1 А~ = ип/2. 2) Вычисляя с1еФ А как определитель Вандермонда, показать, что де1А =1(п 1)(зп 2)/2 П 231п о<1<ь< — 1 п 3) Вывести формулу 1)е( А 1(п-1)(Зп — 2)/211п/2 43.32.1. Вычислить матрицу А 1, обратную к матрице из предыдущей задачи.
43.33. Пусть е — первообразный корень п-й степени из единицы и элементы матрицы А = (а11) Е К""" заданы соотношениями а, = е'1. Найти обратную матрицу А 1. 1 1 1 1 Е2 ЕЗ 1 е2 е4 еб 1 ез еб еэ 1 е и-1 е 2(п-1) 3(п-П Ответы и указания !2 1 41 1.1. а)АВ=[4 5],ВА= 2 2 6 3 3 9 521 1.2. а) — 84; б) ) 13 98 — 84 — 21 ); в) 32 ) [ — 2 -3]' ; Г) <! ! Д) 04х4. 1 3 04хг. Указание. Найти ВС 1.4. [ 0 0 0 ), Указание. Найти ВС, 1.5.
Огхз Указание. Найти ВС. 1.6. 0444 Указание. Найти ВА. 1.9. 0 АВ зхз. Указание. Нанти ВС, а затем 1.10. [ 2 16 ]. 1.11. А = [ 1 ! ]. 1.13. аоо 1.14. а) Матрица, у которой все столбцы нулевые, кроме утго, на месте которого стоит з-й столбец лзатрнцЫ А; б) матрица, у которой все строки нулевые, кроме л-й, на месте которой стоит узи строка матрицы А. 0 — 2 — 2 1.15. а) 5 — 4 1 !6) [ 0 ~-3 О 64 -64 1.18. а) [ 64 64 ];б) 0 0 [0 0 ] о] 2 — 1 2 ] при и нечетном; 1.19. а) 0 1 при и четном 1 0 ') [ О 1 ]! в) ~ О " Л- 1 г) [ О д) [ , ], где хл †чис х х„ х,1 ! х — г осипа — гйппа ] з!п по соз па Фибоначчи (см.
задачу 1.11); ! 4 — 427! 7 14 -5 — 10 1 2 2 4 42 — 64 22 34 -18 242 104 -48 — 7 21~ 5 — 15 . Указание. Найти ВС. ] — 2 6 . Указание. Найти ВС. Ответы и указания к 31 390 3 6 э 3 2 о о 1.20. а) б) л", о ... о о л," ... о о о ... л"„ с лил„- о ... о О Л1Л™, ... О о о ... л„-лр ] при .1-1 Ь = 2т и о ... о л, л„ о ... л;"л„=, о при Ь = 2т+ 1 л„"+'лГ ... о о г) искомая степень — матрица В = (Ь„) — при /с < п имеет вид: Ьь,лл = 1 и — Ь п очие элементы Ь авны н лю п и й > и мат и а В и лева 1=1, .1Р У, Р РЦ У Я 0 0 0 ... 1 е) искомая степень — матрица В = (Ь,1) — при бб ( и имеет внд: Ььб+ь = 1, б = 1, и — lс, Ьбвлл „= 1, 1 = и — /с+ 1, и, прочие элементы Ь,1 равны нулю; при Ь = и матрица В единичная; если же Ь > и, то матрица В такая же, как т-я степень исходной матрицы, где й = тр+ и, р Е 1Ч.
1.21. У к аз ан не. Применить индукцию по Ь. 0 6 3 122 а)Озхз,'б) 6 0 5 ~ — 3 Ь О 1.25. а)А"=А;б)А"=5" [ 2 2];в)А"=(2а — 1)" 'А; г) А" = [ О 1 ] + (2" — 1) [ 2 2 ]; д)А"=[ О 1 ]+(6" — 1) [ е) 1„[1 О]+(1)"-1[ а а ж) А" = [ о 1 ] +(( — 4)" — 1) [ 2 2 ], Указание. В пунктах г)-е) представить каждую из матриц в виде 1+ В, а в пункте ж) — в виде 1 — В, затем воспользоваться задачей 1.246. ~1 1 31 1.26. а) [ 36 бу];б) [О 1];в) ~ о 1 1~;г)1+(2аэ — 2)А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
