Том 1 (1113039), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 9.64. Указание, Воспользоваться соотношением пункта е) задачи 2.52. 9. 66. У к а з а н и е. Учесть, что ) А ' ) = 1/ ~ А). 9.67. Указание. Положив С = (1„+ АВ) ', доказать, что (1, — ВСА)(1 + ВА) = 1, . 9.68. Указание, Пусть А" = О. Воспользоваться тождеством (1+А+А +...+А~ 'Н1 — А)=1.
9~2 7]' 9.71. Указание. Воспользоваться задачей 1.21. 9.72. Указание. Показать, что 1з = п1„. 9.73. Указание. Использовать задачу 9.71. 9.74. А '=А ' — г;и, где Ья = 1А ')з„и г, — 1-й столбец, а зз — 1зя строка матрицы А Указание. Воспользоваться задачей 9.73. 9.75. Пусть е — вектор-столбец (того же порядка, что и А), все элементы которого равны единице. Тогда А-~ А — ~ " А-г т 1+ аз где з — сумма всех элементов А '. У к аз а н и е. См.
указание к предыдущей задаче. А ' О ) '1 — РСА' Р 1 — А АВ1 О 1 -В~, О О 1 А' — А'ВР О Р 9.78. а) ~ О 1 ]; б) ~ [ — Р 'ВА г) Р 9.80. Если В ' = ~ т О 1 ], то д=(а — у А 'х) ',т= — 4А 'х,д =-4у А ',Р=А '+4А 'ху А 9.81. Указание.
Привести матрипу Х к верхней квазитреугольной форме. 9.82. Нет, не верно. Указание. Воспользоваться предыдущей задаго О О 1 О О О чей; рассмотреть матрицу О 1 О О 9.84. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 9.86. Нет, не верно. 9.87. Указание. Показать, что если АЯ = ЯА для любой невырожденной матрицы Я, то это же верно и для любой вырожденной матрицы Я, Затем применить задачу 1.32. 9.89. Нет.
9.91. Вообще говоря, нет. Ответы и указания к 312 406 310 10.6. Указание. Применить индукцию по и. 10.7. Указание. Применить индукцию по п. 10.8. Указание. Перейти к характеристическим функциям обеих частей равенства. и' 10.11. 2". 10.12. С„= гп!(и — т)! Р1 11.1. а) Нет. б) Да, биектианое отображение. а) Да, сюръектианое отоб- ражение. 11.2. а,б,а) Да. г) Нег. Виективным является отображение п.'6". 11.3. Да. 11.4. а,б,а) К х К К; г) К х (К~ (0)) -~ К. 11.5. Нет.
11.6. а) Нет. б) Да. 11.7. Каждому подмножеству ставится а соответствие его характери- стическая функция. 11.8. Включение и б) перейдет а равенство. 11.9. и . Указание. Применить индукцию по пэ. 11.10. Указание. 6) Применить индукцию по т. 11.11. Указание. б) Применить индукцию по пг.
11.12. Указание. а) Воспользоваться утверждениями задач 11.10а и П.11а, б) Показать, что это число равно числу всех перестановок из и элементоя. 11.13. Пусть У = (уы, .., уь). Выделим а бесконечном множестве Х ~ У произвольную последовательность элементов Я = (хыхю...) и положим Яг = (уы, ..,уь, хыхз,,). Тогда требуемое биектнаное отображение мож- но установить по правилу: — каждому элементу последовательности Яу поставим и соответствие элемент последовательности Я с тем же порядковым номером, — оставшиеся части Х~Ят и (Х~У)~Я совпадают, поэтому соответствие между ними можно выбрать тождественным.
Г1 2 3 41 1 2 3 4 )( 3 1 4 2), бра мпорядке — ( 2 3 /1 2 3 41 б) в обоих порядках — ( 1 2 3 4 ); /1 2 3 4 51 /1 2 3 4 51 ~)~2 1 3 4 5)' """""' " -~1 2 5 4 3/' (1 2 3 4 5~, г) а обоих порядках — ( 5 4 3 /1 2 3 4 5 61 д) и обоих порядках — (, 4 1 6 5 3 2 11.16. Указание. Воспользоваться теоремами 4.2 и 4дй 11.17. Указание. Использовать определение обратного отображения и результат задачи 11.8.
312 12.1. Примеры на множестне Х = К: а) хабр, если (х — у)ху = 0; б) хабр, если х < р; а) х1Ср, если ху ~ О. 12.2. Не доказано, что для любого х Е Х найдется у Е Х: хну. 12.4. а) 1 = ех; б) ( ' = ('; а) О = 1". 12.5. Да, Ответы и указания к 812 407 12.5.1. Нет. 12.5.2. Нет. 12.6. Для правил а), б), г). 12.7. а) Яэляетсн отношением эквивалентности; фактор-множество— (К+,В ).
б) Является отношением эквивалентности; фактор-множество— (Х„)О < п < 1), где Х вЂ” множество всех чисел х Е К '1 (0), у которых дробная часть равна о. а) Отношение не симметрично. 12.8. Отношение: а) не симметрично; б) не симметрично и не транзитиано; а) яаляется отношением эквивалентности; г) не транзитиано; д) рефлексиино и симметрично; е) рефлексивно и симметрично. 12.9. Факто~-множество состоит из двух подмножеств К: г, ((ямхэ) ~ х1 = хэ и ((хмхз) ~ х1 ф хз). 12.16. Отношение: а) является отношением эквивалентности; б) не транзитнано.
12.11. а) Каждый класс эквивалентности содержит ровно одну верхнюю ступенчатую матрицу следующей структуры где г < ш1п(гп,п), 1 < й~ < Йэ < ... < Й, < п (причем вторая клеточная строка или первый клеточный столбец могут отсутствовать), и асе матрицы, которые могут быть из нее получены элементарными преобразованиями ст1юк. б) Каждый класс эквивалентности содержит ровно одну нижнюю ступенчатую матрицу структуры, аналогичной описанной и п. "а", и все матрицы, которые могут быть из нее получены элементарными преобразоааниями столбцов. и) Каждый класс эквивалентности содержит ровно одну матрицу вида где т < ш1п(т,п), и исе матрицы, которые могут быть из нее получены элементарными преобразоааниями строк и столбцов. 12.12. Классами эканаалентностн являются множества Кэ — — (х Е Х ~ У(х) = у), где р Е 1(Х).
12.13. а) Множество прямых, параллельных прямой 1 или совпадающих с ней. 5) Дае полуплоскости, определяемые прямой 1, и сама прямел 1. 12.14. Фактор-множество содержит р классов Кс, Км..., Кр м где К„ объединяет асе целые числа, дающие остаток г при делении на р. 12.15. Каждый класс эквивалентности К, содержит исе пары (р, тп) Е К х И такие, что дробь — равна рациональному числу х. р гп 12.16. Каждый класс эквивалентности яаляется неопределенным интегралом ) 1'(х) 4х, т.е, содержит асе функции вида 1(х) + С, где С Е )й произвольно. 12.17. Отношение: а) не транзитиино; б) не симметрично. Ответы и указания к 913 408 12.18. Каждый класс эквивалентности объединяет все подмножества, содержащие одинаковое число элементов.
12.19. 1) Сложение: К, А, Н, Б; вычитание: не обладает ни одним из свойств; умножение: К, А, Ы; деление — не алгебраическая операция; 2) сложение — не алгебраическая операция; вычитание — не алгебраическая операция; умножение: К, А, Ы, Б; деление: не обладает ни одним из свойств; 3) сложение — не алгебраическая операция; умножение; А, Ы, Б; 4) сложение — не алгебраическая операция; умножение: А, И, Б; 6) К, А, Н, Б; 6) К, А, 14, Б; 7) А; 8)не ивляется алгебраической операцией; 9) К, А, Ы, Б; 10)не обладает ни одним из свойств; 11) К, Н; 12) И, Б; 13) А, Ы; 14) К, А, 14, Б. 12.22. Относительно каждой операции существует нейтральный элемент, однако симметричный элемент существует ие для каждого подмножества множества Х. 12 23. Указание.
Необходимость: сначала для некоторого а 6 Х рассмотреть е', Е Х: а е е', = а и показать, что для гЬ 6 Х: Ь * е'„= Ь, т.е. правый нейтральный элемент е' = е' не зависит от выбора а. Аналогично — для левого нейтрального элемента е~~. Так как ел = е" * е = е~, то е = е' = е" †нейтральн элемент относительно рассматриваемой алгебраической операции. Затем рассмотреть для 7а 6 Х элементы а, ',а ' Е Х: — 1 — 1 — 1 — 1 а, * а = а * аэ = е и показать, что а, = аэ 313 13.1. 1) Векторы а и Ь перпендикулярны либо один из них нулевой. 2) Векторы а и Ь противоположно направлены, причем ~ а( > (Ь(, либо вектор Ь нулевой.
3) Если Л = — 1, то а = 0; если Л = 1, то Ь = О. Если Л ~ х1, то векторы а и Ь не равны между собой и коллинеарны. 4) Векторы а и Ь сонаправлены либо один из них нулевой. 5) Векторы а и Ь противоположно направлены либо один из них нулевой. 6) Векторы а и Ь сонаправлены и ненулевые. 13 2.
(а) =(Ь). 13 3. АМ = (АВ+АС)/2. 13 4. У к аз а н и е. Воспользовавшись равенством задачи 13 3, показать, что АМ + ВМ + СК = О. 13.5. У к аз а н и е. Показать, что сумма этих векторов равна О. 136. Указание. Показать, что Кь = ММ. 13.7. АВ = -СР = (а — Ь)/2, ВС = — РА = (а+ Ъ)/2. 13.8. АВ = — (Ла — Ь), ВС = — (а+ Ь), СР = — ( — а+ЛЬ), Л+1 ' Л+1 ' Л+1 — Л РА = — — (а+ Ь).
Л 4- 1 13.9. Указание. Воспользоваться тем, что ЕВ = ЯА+ АР+ Рг = ЕВ+ ВС+ СЕ. 13.10. См. указание к предыдущей задаче. Ответы и указания к 313 409 4 2 2 4 13.11. ВС = 1АŠ— 2АК, СР = 1АЬ вЂ” зАК. Указание. Выразить сначала векторы АК и АЬ через векторы ВС' и СР. 13.12. Указание. Положив АО = ЛАМ и ВО = рВИ, выразить, например, вектор Ас) через векторы Ь = АВ и с = АС двумя способами. 13.12.1. 3/2. 13.12.2. 3: 3: 1. 13.13. ВС = р -1- с1, СР = с1, РЕ = — р, ЕР = — р — с1. 13. 14.
Пусть сумма этих векторов а с+ аз+... + в„, равна Ъ ~ О. Тогда в результате поворота многоугольника вокруг его центра на угол 2я/и сумма останется неизменной,а вектор Ь изменится. 13.16. Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи. 13.16. Точка пересечения медиан треугольника. 13.16.1. Точка пересечения диагоналей. 13.16.2. Точка пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон.