Том 1 (1113039), страница 75
Текст из файла (страница 75)
19.16. Указание. См, указание к предыдущей задаче. Сг С г г г+ г Сг г+Сг г 19.17. х =, у =, г = 2Ьс ' 2ас ' 2аь 19.18.Указание. Определитель системы равен — (а +Ь +с +»С~)~. П,,„(ь — а,) у(Ь) 19.19. х» — ) —, ), где с'(х) = П,",(х — а,). 19.20. х» = ( — 1)" ~ ~, где сг» есть сумма всевозможных *7'* ,ПС,(*- Г произведений по п — Ь из п — 1 чисел аы..., а, и асам..., а„. -1 19.21. х» = П(໠— а,) ~ь,с»., где символ 1», имеет тот же 'Л»а» / смысл, что и в задаче 19.21.
( 1)»Р 19.22. х» = ", где Р, есть сумма всевозможных произведений п1 по г из п чисел 1, 2,..., п и Ро = 1. с» а)',а» с 19.23. х Ь вЂ” а (Ь вЂ” а)[Ь+ (и — 1)а) 19.24. х» = —,, где д(х) = (х — Ь»)(х — Ьг)... (х — Ь„), а с"(х)— д(а») У'(а»)' тот же многочлен, что и в задаче 19.20. Указание. Использовать задачу 8.25. 19.25.
Указание. Продифференцнровать и раз обе части равенства ,С(С)Ь(С) = д(С) н составить систелгу относительно 7, С',..., (С">, 19.26. У к аз ание. Умножить обе части равенства Ах = Ь на присоединенную матрицу А слева. 19.27. Нет, неверно. 820 20.1. Утверждения 1, 3, 5, 6.
Ответы и указания к 321 418 20.2. гй А = гл < п. 20.2.1. гй А = т = и. 20.5. Указание. Использовать теорему 20.6. 20.6. Указание. Воспользоваться теоремой 20.1. 20.Т. У к аз а н не. Если Ах = Ь, Ау = Ь, х ~ у, то А(х — у) = О и в силу теоремы 20.5 гй А меньше числа столбцов А. 20.8. У к аз а н не. У систелг одинаковое число свободных неизвестных, а следовательно, равные ранги основных матриц.
Далее использовать задачу 16.22. 20.9. Указание. Воспользоватьсл задачами 20.8 и 16,23. 1 А 20.10. Указание. Как и в задаче 20.8, гйА = гб ~ ~ ~ и в силу кри- ~ а А!Ь терни совместности гй[А~Ь] = гй [ ~ ~ р ~. Далее см. задачу 16.22. а 20.11. Указание. Воспользоваться задачами 20.10 и 16.23.
20.12. Указание. К системам, которым удовлетворяют столбцы люатрицы Х, применить теорему 20.1. 20.13. агхеи+ азх~м+... + аьх~"~, где аг+ аз+... + аз = 1. 20.14. агх~н + азхп~ +... + аьх~ "~, где аг + аз+... + аь = О. 20.15. У к аз пи не. Воспользоваться определением кронекерова произведения из задачи 2.52. 20.16. См. указание к предыдущей задаче. 321 21.1.
Система несовместна. 21.2. хг = 1, хз = 2, хз = — 2. 21.3. хз = 2хз — хг, хь = 1, хм хе Е К. 21.4. Система несовместна. 5 4 21.5. хг — — О, хь — — 2, хз = —, хь = — —. 3' 3 21.6. хг = 1, хз = 2, хз = 1 21.Т. Система несовместна. 21 8.
хь = 2, хг = хз = хь = 1 11хь хз 21.9. хг = — —, хз = — —, хз Е 11. 7 ' 7' 21.10. Система несовместна. 21.11. хь = хз — — хь = хь = О. 21.12. хь= — 8,хз=34хя,хз=642х4, х4614. 21.13. Система несовместна. 7 5 хь 21.14.
хг = -хь — хь,хз = -хь + хь,хь = †, хз,хь Е 11 6 ' 6 ' 3' 21 15. хг = — 16+хь4хь+5хь, хз = 23 — 2хз — 2хь — бхь, хз,хь, хь Е К. 21.16. хг = хз = хз = О, хь = хь, хь е 1с. 1+ хь 1 5хь 21.17. хг = 3 ' 3 , хз = — + хз+ хь — —, хь,хахь с й 3 хь хь хь 2118. хь= — —,хз=-1 — —,хе=О,хе= — 1 — —, хьЕК. 2' 2' ' 2' 1 + бхь 1 — 7хь 1 + бхь 21.19.
хг = 6 ' 6 ' 6 хз , хз = , хье14. 21.20. При Л ~ 5 система несовместна. При Л = 5: хг = — 4 + хз, 11 хз = — — 2хз, хз е 14 2 21.21. При Л ~ О система несовместна. — 3 — 5хз — 13хь — 7 — 7хз — 19хь При Л = О: хг = 2 ' 2 хз = , хь,хь е 14. 419 Ответы и указания к 321 1 21.22. При Л = -3 система несовместна. При Л ф — 3: хз = — —, Л+3' 4Л+ 11 Л+ 11 з(л + 3)' з(л + 3) 4 — Л 3 21.23. При Л = О систелза несовместна. При Л ф О: хг = — — †, 5Л 5 9Л вЂ” 16 8 1 хг = 5Л 5 ' Л' — -хз,хя=-, хзбИ, 21.24. Система совместна при любом Л б И. При Л = 8: хг = 4 + 2хз— 2Х4, хз = 3 — 2хз, хг,хз Е И. При Л ~ 8: хг = О, хг = 4 — 2хю хз = 3 — 2хз, хз б И. 21.25.
Система совместна при любом Л б И. При Л = 8: хз = — 1, 3 4 — 2хз хз = 2 — хг — -хг, хыхг б И. При Л Ф 8: хг = 2 3 ,Хз= — 1,Х4=0, хз е И. 21.26. При Л = 1 система несовместна. При Л = -2: хз = хг = 1 + хз, 1 2 хз е К. Прн Л ~ 1, — 2: хз = хг — — — —, хз =— Л вЂ” 1' Л вЂ” 1 21.27. При Л = — 3 система несовместна. При Л = 1.' хз = 1 — хг-хз — хз, 1 хг, хз, хз б И. При Л ~ 1, — 3: хз = хг = хз = хз = —. Л+3' 21.28. При Л = 1 и Л = -2 система несовместна. При Л ~ 1, — 2: хг = 3 З(Л+ 1) (Л вЂ” 1)(Л+ 2) ' (Л вЂ” 1)(Л+ 2) 21.29.
При Л = О и Л = — 3 система несовместна. При Л ф О, — 3: хг = 2 Лг 2Л 1 Лз + 2Лг Л 1 Л(Л+ 3) ' Л(Л+ 3) ' Л(Л+ 3) 21.30. Система совместна при любом Л е И. При Л = О: хз = — хг — хз, хг, хз б К. При Л = — 3; хз = хг = хз, хз б И. При Л ~ О, — 3: хз = 2 — Л, хг = 2Л вЂ” 1, хз = Л + 2Л вЂ” Л вЂ” 1. Зхз 21.31. При Л = О и Л = 1 система несовместна.
При Л = — 1: хз = 1 — —, 5 Зхз 1 Л хг = -1 — —, хз б И. При Л ~ О, Х1: хз = — хз =, хг =— 5 ' ' Л(Л вЂ” 1)' Л-1 21.32. При Л = 1 и Л = -2 система несовместна. При Л = 0; хг = -1, (Л вЂ” 1)(Л+2) ' (Л вЂ” 1)(Л+2)' 2Л хз = — —. Л+2 21.33. Л = О, 7. 21.34. Л = О, 3, 4. 21.36. Если а, 6, с — попарно различны, то (Ь вЂ” Н)(с — з() (Н вЂ” а)(3 — с) (4 — а)(4 — Ь) (Ь вЂ” а)(с — а)' (Ь вЂ” а)(Ь вЂ” с) (с — а)(с — Ь) Если среди чисел а, Ь, с, с( имеется только два различных, то система неопределенна, например, если Ы = а ~ Ь = с, то х = 1, у = — г, г е И. Если а = 6 = с = г(, то х = 1 — у — г, у, г б И. Если же среди чисел а, 6, с два различны и 4 не равно ни одному из них или если а = 6 = с ф г(, то система несовместна.
Ответы и указания к 321 420 21.37. Если В = аЬс — а — Ь вЂ” с + 2 ~ О, то (Ь вЂ” 1)(с — 1) (а — 1)(с — 1) Р ' У Р (а — 1)(6 — а) Р Если Р = О, причем одно и только одно из чисел а, Ь, с отлично от единицы, то система неопределенна, например, если а ~ 6 = с = 1, то х = О, у = 1 — з, г е К. Если а = 6 = с = 1, то х = 1 — у — з, у, з е К. Если Р = О и ни одно из чисел а, 6, с не равно единице, то система несовместна, 21.38. Если Р = або — а — 6 — с + 2 ~ О, то аЬс — 26с+ 6+ с — а аЬс — 2ас+ а+ с — Ь аЬс — 2аЬ+ а+ Ь вЂ” с х— В В Р Если Р = О и только одно из чисел а, 6, с отлично от единицы, то система неопределенна, например, если а ф Ь = с = 1, то х = 1, у = -з, з Е К.
Если а = 6 = с = 1, то х = 1 — у — з, у,з Е К. Если Р = О, причем все числа а, Ь, с отличны от единицы, то система несовместна. Указание, Для доказательства несовместности системы в последнем случае показать справедливость тождеств; Р— Р, = 2(Ь вЂ” 1)(с — 1), Р— Ря — — 2(а — 1)(с — 1), Р— Р, = 2(а — 1)(6 — 1), где ЄЄ, Р, — соответственно числители в написанных выше выражениях для х, у, з. 21.39. Если а, Ь, свое различны, то х = аЬс, у = — (а6+ас+Ьс), з = а + Ь+ с, Если среди а, Ь, с лишь два равных, то система неопределенна, например, если а = 6 ф с, то х = ас(з — а — с), у = а + ас+ с — (а + с)з, з Е К. Если а = Ь = с,то х = а — а~я — ау, у,з Е К. 2Ь вЂ” 1 1 2аЬ вЂ” 4Ь+ 1 21.40. Если Ь(а — 1) ф О, то х =, у = —, з = .
Если 6(а — 1) ' 6 ' Ь(а — 1) а = 1, Ь = 1/2, то х = 4 — з, у = 1, х Е К. В остальных случаях система несовместна, а — Ь 21.41. Если Ь(а — 1)(а+ 2) ~ О, то х = я (а — 1) (а «- 2) ' у = аЬ+ Ь вЂ” 2 . Если а = Ь = -2, то х = г = -1 — 2у, у Е К. Если а = Ь = 1, Ь(а — 1)(а+ 2) то х = 1 — у — з, у, з Е К. В остальных случаях система несовгяестна. а~(Ь вЂ” 1) 6(а — 1) а — 1 21.42. Если а(а — Ь) ф О, то х =, у = Ь вЂ” а а(а — Ь) а(Ь вЂ” а) Если а = 6 = 1, то х = 1 — у — з, у, з Е К.
В остальных случаях система несовместна. 21.43. Если Ь = с = 1, то х = 1 — у — з, у,з е К. Если 6 = с ~ О, 1, то 2 4Ь вЂ” 6 х = 1 «-Ь ' «-з, у = — 1, з е К. Если с = 1, 6 зе ~1, то х = — — з, у =— 1+Ь 1+Ь з е К. В остальных случаях система несовместна. а+ 1 — Ь вЂ” с Ь(а+ 1) — 1 — с 21.44. Если (а — 1)(а+2) ф О, то х =, у = (а — 1)(а + 2)' (а — 1)(а + 2) с(а+ 1) — 1 — 6 6+ 1 1+ 2Ь . Если а = — 2, 6+с = — 1, то х = г — —, у = з— (а — 1)(а + 2) ' ' 3 3 з е К. Если а = 6 = 1, то х = 1 — у — з, у, з е К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
