Том 1 (1113039), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Указание. Выполнить пово- Рот вокРУг точки В на Угол и — 2 агс18 е = атосов( — Ц). 23.46. 2. У к аз а н и е. Принять указанную ось за одну из осей новой системы координат. 23.47. С(4,3), Р( — 2, — 5). Указание. Выполнить поворот на угол я/2 вокруг середины отрезка АВ. 23.48. В(-1+ 2чГЗ, -ь/3 — 2), С( — 1 — 2т/3, т/3 — 2). 23.49.
С(5 х т/З,х2/3), Р(1 х 3,2 1 2 3). 23.50. (хо+(х1 — хо) сояоь — (у1 — уо) я!паь,ус+(х1 — хо) я(поь+ (уг— 2я((с — Ц уо) совая), где оь = х и 23.51. Ц х = 2х' + 7у' + 3, у = 5х' 4- 9у' + 1; 2) х = 5х' + 3, у = 4у' + 5; 3) х = — 7у', у = 2х' 4-2; 4) х = ах', у = бу'; 5) х = Ьу', у = ах'. Ответы и указания к 323 425 1 , 1 , 1 , , 5 , 3 , 1 23 64.
х = --х — -у — -г + 1, у = -х'+ 1, г = -х + -у — -г — 1; 2 2 2 ' ' 2 2 2 0'(1,1, -Ц, е', = (-1/2, -1,5/2), ег = (-1/2,0,3/2), ег = (-1/2,0, -1/2); 0(1, -1/2,3/2), е~ = (О, -1/2, -3/2), ег = (-1,3/2, -1/2),ег = (0,1/2, -1/2) 23.65.1. 6) Нет, неверно. 1, 1, 1, 1 23.66. х = — х, у = — у, г = — х + — у + г . уг2 ~/2 ~/2 ~/2 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 2367. х= — х — -у ~--г,у= — х +-у — -г,г= — у + — г. ~/2 2 2 ' ~/2 2 2 ' ~Г2 у'2 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1 23.68.
х = -х — -у + -г +1, у = --х — -у — -г +2, г = -х — -у— 3 3 3 ' 3 3 3 ' 3 3 2 -г +3. 3 1, 2с/2 = — -х+ — у+1,г 3 3 2, 1, 1 23.69. х = — -х' — — у + — г + 2, у 3 ~/Г8 ~/2 2, 1, 1 — -х — — у — — г +2. 3 г/Г8 ъ'2 1, 1, 1, 1 23.70. х= — х — — у — — г — 1,у=-х + 2,/2 2 ' 2 1, 1, 1 — у — -г +З,г= — х + ъ/2 2 ' у'2 1 — г'+ 5. ъ'2 1, 2, 2 23.71. х = -х' — -у' — -г' 3 3 3 2, 1, 2 — у + — г + —. 3 3 3 23.72.
С С = 1. 23.73. 23.Т4. х=2х +у +-г— 3 2 2, 1, 2, 2 + —, у = — -х + — у — — г + —, г 3' 3 3 3 3' 2 = — -х— 3 х = — 2х' — 2у' — г'+ 2, у = у'+ г', 1,у=у + — г,г= — х — у +1. 3 1 1, 1, 7 2 1 23.52. х = — — + -х'+ — у', у = — + — х' — -у'; х' = х+у — 2, у' = 2х — у+3; 3 3 3 ' 3 3 3 0'(-1/3,7/3), е', = (1/3,2/3), ег = (1/3,-1/3); О(-2,3), е~ = (1,2), ег = (1, — Ц. 23.54. 0'(3, — 2), е( = (2,— Ц, ег —— ( — 5,2). 23.55. С С = 1.
23.56. х = бх'+ 4у' — 4, у = — 2х'+ бу'+ 2. 23.5Т. 0(0,0), А(4/3, — 2/3), С(2/3,2/3), В( — 2/3,4/3). 23.58. х = — х' — у' + 2, у = — х' + у' + 1. 3, 2, 3 2, 2, 2 2359. х= — -х +-у +-,у= — — х — — у +-. 5 5 5' 5 5 5 23.60. х = — х' — 2у' + 2, у = -2х' — у' + 2. 3, 4, 48 4, 3, 36 23.61. х = — -х — -у + —, у = -х — -у + —.
5 5 25' 5 5 25 23.62. Ц х = 2х' + г' + 2, у = 4х' + 4у' + г' 4 1, г = х' + 4у' + 3; 2) х = 4х'+5у'+Зг'+1, у = 2х'+Зу'+2г'+1, г = х'+2у'+г'+2. 2363. в) О'(-1,3,-2), е', =(1,— 1,— Ц, е,'=(1,0,— Ц, е', =(1,1,0); 6) О'(-1,0, Ц, е( = (-2,0, Ц, ег = (- 1, -1,3), ег = (-1, -1, Ц. Ответы и указания к 824 426 2, 1, 1, 1 1, 2, 1 2 1 1 23.75. х = -х' — -у' — -2 + —, у = --х + -у' — -2 + —, 2 = — -х— 3 3 3 3' 3 3 3 3' 3 1, 1, 1 -У вЂ” -2 + —.
3 3 3' 23.76. х = 23.77. х = 2х'+ 2у'+ 2', у = х'+ 2у'+ 2', 2 = — х' — у' — 2'+ 1. — 2' + 1, у = у' + 22/ — 1, 2 = — х' — у' — М + 2. 324 24.1. Нет. 24.2. а,б) Нет. в,г) Да. 1 24.3. Нет в обоих случаях. 24.4. а) 20, б) — —; в) О; г) 18; д) — 3. ,/2' 24.6. -3/2. 24.7. — 13.
24.9, л/3. 24.10. Указание. Предположить противное, затем каждое из десяти получающихся неравенств возвести почлеино в квадрат и сложить все неравенства. 24.11. — 19, 24.12. а — — агссов( — 4/5). 24.13. о = атосов(4/5), 24.14. т/ГО, 5~ 2. 24.15. агссов(1/3). 24.16. атосов(1/3), атосов(2/3). 24.17. л — агссов(т/2/3) 24 18 л/2. 24.19. атосов(1/6). 24.20. Указание. Выразить векторы, коллинеарные биссектрисам, через три вектора, выходящих из вершины трехгранного угла и параллельных его ребрам. 24.21. Указание. Выразить векторы, коллинеарные указанным отрезкам, через три вектора, выходящих из одной вершины и параллельных ребрам.
24.22. У к аз ан не. См. указание к задаче 24.21. 24.23. Указание. См. указание к задаче 24.21. 24.24. У к аз а н не. См. указание к задаче 24.21. 24.25. 2а(т/3 — т/2). 24.26. — а + — Ь 2 1, Л с. 1 + л 1 + л (1 + л)2 ! а)2 Ь+ ! Ь! а 24.27. 2 . Указание. Использовать задачу 13.22. ! с! — ( Ь, с) ! Ь! — ( Ь, с) 24.28. ' Ъ + ' с. Указание.
См. указание к ! Ь вЂ” с)2 ! Ь вЂ” с)2 предыдущей задаче. (а, Ъ) а — )а!2Ь 24. 29. аа мЬ 2 2 2 24.30. — а+ — Ь+ — с, где 21 = ! а — с! ! Ь вЂ” с! — (а — с, Ь вЂ” с), (Ь, Ь вЂ” с) (с, Ь вЂ” с) ! ! (с, Ь вЂ” с) (а, Ь вЂ” с) ~ (Ь, с — а) (с, с — а) !' ~ ! (с, с — а) (а, с — а) (а, Ь вЂ” с) (Ь, Ь вЂ” с) (а, с — а) (Ъ, с — а) ~' 24.32. У к аз а н и е. Пусть 0 — точка пересечения диагоналей. Выразить все квадраты в искомой величине через радиус-векторы точек А, В, С, Р, Х. 24.33. Указание.
Показать, например, что (АН, ВС) = О. Ответы и указания к 324 427 24 34. Указание. Пусть Π— точка пересечения медиан треугольника АВС. Выразить все квадраты расстояний через радиус-векторы точек А, В, С, Х. 24.34.1. Указание. См. задачи 13.37 и 13.45. 24.34.2. Указание. Использовать задачу 13.46. 24.35. гг/2. Указание.
Пусть О -точка пересечения диагоналей. Выразить квадраты всех сторон через радиус-векторы точек вершин четырехугольника. 24.36. Указание. Выразить векторы АВ, ВС, СР и РА через векторы АС', ВР и МЛ). 24.37. Указание. Использовать радиус-векторы точек А, В,С, Р, М относительно произвольной точки О. 24.38. а) 2пй~; б) п йЯ. 24.39.
Указание. Выразить квадраты в левой части доказываемого соотношения через радиус-векторы точек Аг,..., А„, Х. 24.40. Указание. См. указание к предыдущей задаче. 24.42. а) 31; б) 6; в) 0; г) — 2. 24.43. а) агссов(1/3); б) агссоэ(1/3); в) х/2; г) т/3. 24.44.
а) 0; б) 27; в) 12; г) -30. 24 45. а) (3 2 4); б) (73 32 8); в) (84 34 64). 24 46. (2/3, — 2/3, -1/3). 24.47. я/4 или Зя/4. 24.48. агсвуп(6/11), агсэгп(2/11), агсзгп(9/11). 24.49. х/3. 24.50. агссов(т/3/4). 24.51. агссов( — 4/9). 24.52. А = атосов |/3/5, В = гг/2, С = атосов х/2/5.
24.53. г(= а +Ь~+с +2Ьссова+2сасовВ+2аЬсову, сов РОА = а т Ьсоэ у+ ссовВ асов у+Ь+ ссоэа гг' , сов РОВ = а сов В + Ь сов а + с соэ РОС = гу 24.54. г(= 15, ВАСг = атосов(25/27), 24 55. 1эг=згз=згэ=гг/2. 24.56. ( — 24,32,30). 24.57. (3,— 3,-3). 24 58 ( — 5/х/2, 11/~2, — 4/ъ'2) 24.59. х= — 'а, у= Ь вЂ” ' а.
(а, Ь) (а, Ь) !а!з ' !а!' !Ь! а — (а, Ь)Ь !а!з!Ь! — (а, Ь) ' а (а,Ь) (а,с) 24.61. х = !С(а, Ь, с)! ' Ь (Ь, Ь) (Ъ, с), где С(а, Ь, с) — матс (с,Ъ) (с,с) рида Грама векторов а, Ь, с. 24.62. а — ' и. 24.63. ( — 6,6, — 3), 24.64. 6. (а, и) ! и!э 24.65. г/3. 24.66. (6,6,0). 24.67. (3, — 1, 1). 24.68. За/2.
24.69. Нет, так как из этого следует лишь, что а+ Ъ+ сь г1 1 е. 24.70. Указание. Показать, что вектор, равный сумме этих десяти векторов, определяет требуемую ось. 24.71. (5/3,2/3, 1/3). Указание. Показать, что а — Ь+ с — меньшая внутренняя диагональ. 428 Ответы и указания к 324 д~д . )) )=„'дгп),)= ды;б) =д ) ддп; ) 'д»д„— д, . сова = (дпа) + 9)гаг)/(с/911[ а[), сов В = (д)га) + дггаг)/(;/дгг[ а[); — (а, Ь) в) сов( а, Ь) = [ 24.74.
(4/5, — 1/5). 24.75. 21/61. 24.76. АВ = 6, АС = 4, А = гг/3. 24.77. [е)[ = 2, [ег[ = 1, (е), ег) = 21г/3. 24.78. [ег[ = ЛО/2, [ег[ = 3 /2/2, ( еп ег) = атосов( — 2/1/5). 24.79. А)В) = 1, А1С) = 5, А) = атосов(4/5). 24.80. а) С(11, Ег) = [С( е), ег)) б) Е) = д '(дгг, -д)2), Ег = д '(-д»,дп), где д = [С(е), ег)[; в) [Еб[ =,/922/9, [Е2[ = )/91179; г) агссоя( 912/(911922)). 24.82.
1) е, = 1соязг— 912 31п УР 911 Яп 22 дя яп)р дгг в!п )р ) Ег = С вЂ” ,Ссягг + ,9 ' удд 2) е)-= д '~ (-9)г,дп), ег = д '~ (-дгг,ды). 24.83. а' = а)е)+ агег, где координаты е) и едг такие же, как и в предыдущей задаче. (в!п(ш — ш) я)пя ), ( в!п32 я!п(ш+у)) ~ япш япш (' 31па) яга)) 2) е', = (вгош) '( — совш,1), ег = (я!пш) '( — 1,сояш).
24.85. П) [е)[ =,„дд)1, [ег[ = у)922, [еэ[ = 1/дзз; б) совшы = 912/~/д)1922, совшгз = 923/3/922933, совш)з = д)з/ 'дпдзз 24.87. П) [а[ = дг)а, + джаз 2+ дззагз+ 2д)га)аг + 2дгзагаз + 2д)за)аз; б) соя( а, Ь) = — ', где ( а, Ь) = 2, . 1 д„а,Ь;. — (а,Ь) 3 [а[[Ь[' дпа) 4- 9)гаг + д)заз 92п11 + 922аг + 923ПЭ 24.88.
а) сова) =, ссеаг = дз)а) + дзгаг + дззаз сояаз = , где [а[ определяется равенством из предыду,/дзз[а[ щей задачи; а)+ аг соя ш)2 + аз соя ш)з а)совшя 4- аз+ аз совшгз б) сова) = [а[ , сов аз = [а[ а) сов шз) + аг сов шзг + аз соваз = [а[ где [ а[ = а, + аг г+ аэ + 2а) аг сов ш)2 + 2агаз соя шгэ + 2аза) соя ш) 3. 24.89. С '. 24.92. (2", 191)а„2"„192)а1,2.', )дздад ).
24.93. [!1[ = [Ег[ = [Ез[ = уг6/2, (Еп Ег) = (Ег, Ез) = (Е) Ез) = атосов( — 1/3) . 429 Ответы и указания к 325 л/П л/П1 24.94. сов дл =, сов бе =, сов ел = вуп шгз зуп мы юпющ 1 соз юле соз лаз где Й = созыы 1 созыве совылз совмзз 1 825 25.1. Да. 25.2. а) Нег; б) дв; в) нет; г) да. 25.3. Нет. 25.4. ( — 12,7,4), (4,-2,— 1), (5, — 3, — 2). Образуют. 25.5. 1) [а, Ь(; 2) — 2[а, Ь); 3) 6[а, Ь|. 25.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
