Том 1 (1113039), страница 81
Текст из файла (страница 81)
34 65. Гипербола. Указание. Ввести прямоугольную систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через центр 0~ окружности и данную точку А, а точка 0 была равноудалена от окружности и точки, Показать, что если а = й/2 и Ь2 = (02 А — й)(02 А -Ь й)/4, где й — радиус окружности, (х+ а)2 у2 то геометрическое место задается уравнением а2 Ь2 — — = 1. 34.66. Две сопряженные гиперболы. Указание.
Ввести прямоугольную систему координат Оху так, чтобы оси Ох и Оу были биссектрисами углов, образованных данными прямыми. 34.67. Парабола. 335 35.1. ' + ' ' = 1. 35.2. (х — 5)2 -Ь (у — 3) = 25. 5)2 (у З)2 25 9 (х — 5) у2 (х — 5) у 25 9 25 (25/З)2 35.5. Зх + 2ху + Зу — 4х — 4у = О. 35.6. 5х2 + бху + 5у2 — бх — 10у — 3 = О.
35.7. Дуга окружности радиуса ь'а2 + Ь~ с центром в точке пересечения прямых, симметричных биссектрисе, угловой величины агс13(/Ь2 — а~!/(2аЬ)). 35.8. ху — х+ 1 = О. 35.9. 8ху — 4х — 4у+ 3 = О. 35.9.1. Пусть В = Ь-а2(/с. Если В > О, то фокусы (-(с(/с)хъ'2В, (а/с) 1 т/2ВВ), если В ( О, то фокусы ( — (И/с) х т/2ВВ, (а/с) х ь'2В).
35.19. (х+ 1)2 — (у — 1)2 = 2 и (у+ 1)2 — (х — 1)2 = 2. 35.11. (х — 1)(у+ 1) = 1/2 и (х — 1)(у — 1) = — 1/2. Ответы и указания к 835 35.12. 4х и бху — 4у~ — 26х + 18у — 39 = О. 35.13. а) у~ = 10х — 25; б) у — 29+ бх+ 10 = О. 35.14. (2,5/4). 35.15. 1) (у — Ь) = 2р(х — а); 2) (у — 6) = — 2р(х — а); 3) (х — а) = 2р(у — 6); 4) (х — а) = -2р(у — Ь).
35.16. 2х — 8х + Зу — 10 = О. 35.18. 4х — 12ху+ 9у — 24х — Збу+ Зб = О. Указание. Используя задачу 34.55, показать, что прямая, проходящая через точку О параллельно оси параболы, раэноудалена от точек касания и, следовательно, имеет ураэнение 2х — Зу + с~ = О. Искать уравнение параболы и виде (2х — Зу + сл) р(Зх+ 2у+ сз). 35.19.
х + 2ху+ у + 5х — у = О. 35.20. х + 2ху+ у~ — 12х+ 24у — 54 = О. 35.21. хл — 2ху + у~ — 8х — 8у = О. 35.21.1. 4ху + Зу' — 2у — 1 = О. 35.21.2. х — бху+у — 2х — 29+ 5 = О. 35.21.3. 9х — 8ху + Зу — бх -ь 10у — 10 = О. 35.22. 1) Эллипс; 2) парабола; 3) гипербола; 4) гипербола; 5) эллипс; 6) парабола. 35.23. 1) 2х+ Зу — 5 = О, х — 4у+ 2 = 0; 2) х+ у — 2 = О, Зх — 2у+ 1 = 0; 3) 2х -~- 5у + 1 = О, 2х + Зу — 5 = 0; 4) 2х — у + 1 = О, 2х — у — 4 = О.
35.24. 1) Окружность с центром (1, — 3) и радиусом л/15; 2) эллипс с центром ( — 2, 1), большая ось параллельна оси Ох, полуоси а=4,Ь=2; 3) эллипс с центром (-4, 0), большая ось параллельна оси Ох, полуоси а = 2л/5, Ь = ъ'ТО; 4) гипербола с центром (1, -10), дейстиительная ось параллельна оси Ох, действительная полуось а = 5,мнимая полуось Ь = 15; 5) гипербола с центром (-1, — 1),действительная ось параллельна оси Оу, действительная полуось а = л/б,мнимая полуось Ь = л/5; 6) гипербола с центром (-3,0), дейстэительная ось параллельна оси Ох, действительная полуось а = 2, л~нимая полуось Ь = 1; 7) парабола с вершиной ( — 2,1), р = 5,направление оси соацадает с положительным направлением оси Ох; 8) парабола с вершиной (О, — 7), р = 3, направление оси совпадает с положительным направлением оси Ох; 9) парабола с вершиной (2,0), р = 4, направление оси совпадает с отрицательным направлением оси Ох; 10) парабола с вершиной (3, 5), р = 2, направление оси совпадает с положительныл~ направлением оси Оу; 11) эллипс с центром (1, — 2), болыпая ось параллельна оси Оу, полуоси а = л/6, 6 = л/3; 12) мнимый эллипс; 13) пара мнимых пересекающихся прямых; 14) пара пересекающихся и точке ( — 1, 1) прямых л/З(х + 1) х л/2(у— 1)=0; 15) пара параллельных прямых х = — 3 и х = 2; 16) пара мнимых параллельных прямых, 17) пара совпадающих прямых Ьх — 3 = О.
Ответы и указания к 936 445 336 хг уг 22 36.1. — + — + — = 1. 25 9 16 хг уг 36.2. — + — + — = 1. 9 16 36 35.25. При Л < — 1 — гипербола (х — Л) + Л(у — — ) =, дейг 1 2 Л 41 Л Л ствительная ось которой параллельна оси Ох. При Л = -1 — две пересекающиеся прямые х — у = О, х ~- у + 2 = О. При — 1 < Л < 0 — ги- 2 1 Лз+1 пербола (х — Л) + Л(у — — ) =, действительная ось которой па- Л Л раллельна оси Оу.
При Л = 0 — парабола х = 29. При Л > 0 — эллипс 2 1 2 Лз+1 (х — Л) + Л(у — -) Л Л Сг Вг 35.26. Пусть К = — -~ — — Е. Тогда уравнение задает: 1) эллипс А В = А, В, К не равны нулю и одного знака; 2) гиперболу ч=: А, В, К не равны нулю и АВ < О. 35.27.
1) Парабола с вершиной (2,1) и фокусом (3,2), р = 2222, осзк у =х — 1; 2) гипербола с центром (-1, — 1), асимптоты параллельны осям координат, фокусы: (-1 х ь22, — 1 х 2/2); 3) эллипс с центром (1, 1), ббльшая осгс х+ у — 2 = О, полуоси а = 3, Ь=1; 4) эллипс с центром (1, 1), ббльшая осьс х + у — 2 = О, полуоси а = 4, Ь=2; 5) парабола с вершиной (1, 1) и фокусом (3/2, 1/2), р = 2/2, осзк х+у †2; 6) эллипс с центром (2, 3), большая осек х+ 2у — 8 = О, полуоси а = 3, Ь=2; 7) гипербола с центром (1, 1), действительная осгя 2х — Зу+ 1 = О, действительная полуось а = 2, мнимая полуось Ь = 3; 8) пара параллельных прямых 2х — Зу + 1 = О, 2х — Зу — 2 = 0; 9) гипербола с центром (3, -4), действительная осгс 2х — у — 10 = О, действительная полуось а = З,мнимая полуось Ь = 6; 10) эллипс с центром (7/6, 1/3), большая осси Ох+ 129 — 11 = О, полуоси а = ь/35/6, Ь = ~/35/6; 11) гипербола с центром ( — 1, -2), действительная осзя Зх+ у+ 5 = О, действительная полуось а = 1, мнимая полуось Ь = 3; 12) парабола с вершиной ( — 1/5,3/5) и фокусом (1/10,6/5), р = 3/~~5, осгс 2х — р + 1 = 0; 13) парабола с вершиной (3, 2) и фокусом (29/10, 39/20), р = т/5/10, осгс х — 2у + 1 = 0; 14) пара параллельных прямых 2х — у+ 1 = О, 2х — у — 4 = О.
35.28. При Л < — 1 — гипербола (1+ Л)(х') + (1 — Л)(9') = 1, действительная ось которой х + у = О. При Л = — 1 — пара параллельных прямых х — уЛ1 = О. При — 1 < Л < 1 — эллипс (1+Л)(х')2+(1 — Л)(у') = 1, большая ось которого х+у = О. При Л = 1 — пара параллельных прямых х+ ух 1 = О. При Л ) 1 — гипербола (1 + Л)(х') + (1 — Л)(у') = 1, действительнаи ось которой х — у = О. Здесь система координат Ох~у' получена из системы Оху поворотом на угол я/4. 446 Ответы и указания к 936 36.3.
— + — + — = 1. 36.4. — + — + = 1. хг уг гг хг уг (2 — 2)2 12 9 Зб/5 12 12 16 2 1 2 36.4.1. + + (2+ Ц = 1. 4 2 36.5. Ц вЂ” + = 1; 2) — + — = 1. х у 42~ х +г у аг Ьг аг Ьг 36.6. Пересекает при (Р! ( 21/3, 36.7. х + 2у — 4х = О, г = О. 36.8. Ц (2, 1, Ц; 2) не пересекает эллипсоид. 36.9. х = 61, у = Зй г = 26 )6 < 1/2/ЗЗ.
36.10. Зх + 4у+ 42 = 21. Указание. Учесть, что если точка лежит на эллипсоиде, то и точка, симметричная ей относительно точки (3,2, Ц, лежит на этом эллипсоиде. Зб. 11. ( — АР— ВР— СР Аг ч- Вг -~ Сг ' Аг ж Вг 4 Сг ' Аг -ь Вг 4 Сг) ' (Аг+ Вг+ Сг)Вг > Рг 36.13. Ц ~/8/5, 3; 2) 4ъ/2/5, 2/чб; 3) 1, ~/2; 4) 3/5, ь/3/5.
Указание. 3) Ввести новые координаты по формулам х' = (х+ у+ 2)/э/3, у' = (х— у)/ч'2, х' = (х + у — 22)/чг6. 4) Ввести новые координаты по формулам х' = (у + 2)/ /2, у' = ( — 2х Ч- у — 2)/ч6, 2' = (х -Ь у — г — ц/~З. 36.14. Линия пересечения состоит из двух эллипсов. У к а з а н и е. Параметризовать второй эллипсоид равенствами х = а сова сове, у = Ьсйп и сов е, 2 = СБ(ПЮ.
36.15. х — у + 22 — 22 = О и х — у — 22 + 42 = О. г 36.16. — + — — — = — 1. 36.17. х = ~Зъ/3/2 и х = ~Зчг2. 12 108 Зб х — 1 у — 1 2 х — 1 у — 1 36.18. 1 — 1 1' 1 — 1 — 1 36.19. Если х — г = и(1 — у), и(х + 2) = 1+ у и х — 2 = е(1+ у), (ив — ц е(х + г) = 1 — у — две образующие, то созе = х (нг+ Ц(г,г+ Ц ' 2 36.20. х — 2у — Зг — б = О. 36.21. — х — = О. Ь с 36.25. а) Эллипс, гипербола, парабола, пара пересекающихся прямых, пара параллельных прямых; б) эллипс, гипербола, пара мнимых пересекающихся прямых, мнимый эллипс. 36.26.
Пара прямых, пересекающихся в точке (б, — 2, 2). 36.27. Пара параллельных прямых 4х — Зу + 5 = О, Зх + 4у — 52 = О и 4х — Зу — 5 = О, Зх + 4у — 52 = О. 36.28. По гиперболе. 36.29. (4,2, -2). 36.30. = Зй у = Зй 36.31. Две окружности радиуса а. Указание. Показать, что линия с аг — Ьг пересечения лежит в плоскости г = Х-г/ у. Ь |/ аг '- сг 36 32. У к аз а н и е. Ввести систему координат так, чтобы ось вращения была осью 02, а прямая имела уравнение сх — аг = О, у =- — а.
Ответы и указания к 937 447 36.33. Однополостный гиперболоид — -Ь у — 2 = 1, Х 2 2 4 36.34. + = -2(2 — 6). 36.35. — — — — — = О. (х — 2)2 (у — З)2 хг уг 1/3 3/4 аг Ьг с х у 2 х у 36.36. — + — — — = О. 36.3Т. — — — = 22 или 11хг — ЗЗу = — 82. аг Ьг с 4 12 36.38. хг — у + г = О. 36.39. Эллипс х + 2уг + 2х+ 4у — 2 = О. 36.40. По гиперболе. 36.41. — — — 4- Ь = О, ( — + -)Ь = — 22. х у х у а Ь а Ь 36.42.
х = у = -1, х > 1. 36.43. р(аг + Ь ) + 2с > О. 36.44.1. Гипербола, пара пересекающихся прямых, парабола, пара совпадающих прямых. 36.45. х = Г, у = х21 Т- 4, 2 = 1 — 1. 36.46. х = 8 — 26 у = й 2 = 4 — 21 и х = 16 + 26 у = й 2 = 16 + 46 36.47. х — у = О, 2 = 0 и х + у = О, 2 = О. 12 2 2 2 36.48. Гипербола 2 = —, — — — = Ь вЂ” а, а ф Ь. Пара пересека- 2 ' аг Ь' ющихся прямых 2 = О, х = у и г = О, т = — у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
