Том 1 (1113039), страница 82
Текст из файла (страница 82)
36.51. Параболоид вращения. 36.52. Гиперболический параболоид. Указание. Ввести систему координат так, чтобы прямые задавалнсь уравнениями 2 = — Ь, хв1пп— усова = 0 и 2 = Ь, хайло+ усово = О. х у 36.53. Гиперболический параболонд: — — — = 2. 36 16 36.54. Окружность хг+ у = 4, 2 = 2. 36.55. (0,112,9), Й = 15. Указание. Показать, что пересечение лежит на плоскостях Зу х 42 = О.
2+а 2 — а 2+а 36.56. Четыре прямые: х = х —, х = х — и х = х, х = л/2 л/2 л/2 + —. 2/2 36.57. х~ у ~ 2/2 = О, 2 = О, 2 ~хл/24-1 = О, у = 0; 2 ~ ул/2 — 1 = О, х = О. Сечение состоит из четырех прямых х = 1, у = Ц1+ ч'2), 2 = — 1 — 1л/2 и х = 1, у = Ц1 — ч'2), 2 = — 1 + Гл/2. 337 371. хг+ уз = 2. ЗТ2.
хг+ уз = 4. 373. ху+ ух+ хг = О. (х — 2)' (у — 3)' (. — 6)' 4 9 Зб 37.5. у + 22 = ()сх+ Ь) . ЗТ.6. Конус 40(х — 2) — 9у — 922 = О. ! г у — уо 2 — ге) )2 — го х — хо~ х — хс у — ус г (а + Ь + с ). Указание. Учесть, что точки цилилщра равноудалены от его оси. ЗТ.8. Зхг -ь бу + 522 — 4ху 4 8уг + 4хг ч- 1бх 4- 14у + 222 — 39 = О. Указание. Слг. указание к задаче 37 7. 448 Ответы и указании к 938 37.9. 2хг+2у +2гг — 2ху — 2хг-2хг — 3 = О. Указание. См. указание к задаче 37.7. ЗТ.10.
агссов —. ЗТ.11. а(х — у) = Д, Д(х+ у) = а, а + 6 ~ О. 121 г 2 125 37.12. а(г — у) = дх, Д(г+ у) = ах, а + Д ~ О. ЗТ.13. Указание. Найти на кривой четыре точки, не лежащие водной плоскости. ЗТ.14. у + г = 1. Не является. 37.15. Центр (3/2,0, Т/4); ось симметрии у = О, х+ 2г = 5. ЗТ.16. Центр (8/3, О, 2/3); полуоси а = ь/32/9, Ь = з/3/3.
37.17. Центр ( — 8/3,0, 1/3); полуоси а = з/20/9, Ь = з/ТО/3. 1 1 11 37.19. Ось х = — + 1, у = — —, г = — — й параметр р = Зч'2/4. 8 ' 2' 8 18 24 25 18 24 25 37.20. ( —, —, — — ) и (- —, — —, — ). 13' 13' 26 13' 13' 26 37.21.
а) Цилиндр хг + у + 2гг — 2хг — 2уг — 1 = 0; б) цилиндр хг + 2у + гг — 2хг+ 2х — 2г — 8 = 0; в) цилиндр уг + гг — 2рх+ 2уг + 4рг = О. ЗТ.22. а) Конус х +у + 2хг — 2х+ 2г+ 1 = 0; б) конус у — 2гг+ хг— х + 2г = 0; в) конус хг — уг — 2(г — 2)г = О. 838 38.1. ху+ хг ~ уг = О, ху — хг ~ уг = О. 38.2. гг = ~2ху. 38.3.
(2х+ г) — 10(2х Ч- г) + 25у = О. х у г ххД2 у г 38.4. х = у = О и — = — = —. 38.5. -16 24 9 2 1 — 1 38.6. 1) Эллипс Зх + 4у + 2ху + 5х — 8 = О, г = 0; 2) гипербола Згг+ 2уг — г — 1 = О, х = 0; 3) пара пересекающихся прямых х+ г = О, у = 0 и х — 1 = О, у = О. 38.7. Парабола с вершиной (0,0, 0), р = 1/ч'2, осью у = О, х — г = 0 и фокусом (1/4, О, 1/4). 38.8. 1) 2х+у = О, у+ 2г — 2 = 0; 2) х — 2у+ Зг+ 2 = О, х — 2у+ Зг — 3 = 0; 3) х+2у+Зг+4 = О, Зх — 2у+г — 6 = 0; 4) х+у+г+1 = О, 5х+4у+Зг+2 = О. 38.9.
1) Эллипсоид, 2) однополостный гиперболоид; 3) двуполостный гиперболоид; 4) конус; 5) эллиптический параболоид; 6) гиперболический параболоид; 7) эллиптический цилиндр; 8) параболический цилиндр; 9) гиперболический параболоид; 10) однополостный гиперболоид. 38.10. У всех поверхностей оси канонической системы координат параллельны осям рассматриваемой системы координат.
1) Эллипсоид с центром (3, — 1,2)и полуосями а = 7, Ь = 7/2, с = 7/3; 2) однополостный гиперболоид вращения — — — — — = — 1 с (х~)г (у~)г (г~)г 4 16 16 центром ( — 4,0, -6) и осью вращения, параллельной оси Ох'; 3) конус вращения (х ) — — + (г') = 0 с вершиной (3, 5, -2) и осью 2 (У) '2 3 вращения, параллельной оси Оу; 4) параболоид вращения с вершиной (10, — 1/2, — 3/2), р = 5/12, вектор ( — 1,0,0) параллелен оси вращения и направлен в сторону вогнутости; Ответы и указания к 338 449 5) гиперболический параболоид г' = 2(х') — 4(у') с вершиной (3/2, 1, 1/2); 6) эллиптический параболоид в' = (х') + 3(у') с вершиной (О, 1, — 2); 7) конус (х') + 2(у') — 3(х') = 0 с вершиной ( — 1, -1, — Ц; 8) однополостный гиперболоид — + — — — = 1 с центром (5, 2, 3); (х') (у ) (х') 16 4 16 9) сфера с центром (1, -2/3,0) радиуса В = 4/3; 2з 16 10) круговой цилиндр (х — 1) + (у+ — ) 3 9' 1 Ц пара пересекающихся плоскостей (2х — Ц х (у — 2) = О, 38.11.
Ц Круговой конус — (х') 4- (у') + (х')з = 0 с вершиной (0,0,0), направляющий вектор оси (1, 1, 0); 2) гиперболический параболоид (х') — (у') = 2х' с вершиной (О, О, 0), ор- ( 1 1 тонормированный базис канонической системы координат е', = 1 —, —, 0), ( т/2 ч'2 1 1 еэ = ~- —, —,О, ез = (О О, Ц; ч'2 ч'2 ) 3) параболический цилиндр (х') = 5х' с вершиной (0,0,0); ортонормированный базис канонической системы координат е1 — — 1 -, —,О), ез = (5'5' 4 3 — —, —,0), ез —— (О,О,Ц; 5' 5' 4) гиперболический цилиндр (х') — 2(х') = 1; направляющая гипербола имеет центр в точке (0,0,0), ее действительная ось параллельна вектору (1 е, = 1 —, —,О); направляющая цилиндра параллельна вектору ез ( т/2 т/2 ~ з 4 38.12.
Ц Круговой цилиндр (х ) +(в ) = —, ось параллельна вектору 25' 2'1 ( — 2, 1,0) и проходит через точку (0,0, — — ); 5)' 2) параболический цилиндр (х') — 5у' = О, направляющая парабола имеет вершину в точке ( — 1, — 12/25, — 16/25) и ее ось параллельна вектору (О, — 3, — 4), направленному в сторону вогнутости параболы; образующая цилиндра параллельна вектору (0,4, -3); 3) параболический цилиндр х' = 2(х'), направляющая парабола имеет вершину в точке (О, О, Ц и ее ось параллельна вектору (0,0, Ц, направленному в сторону вогнутости параболы; образующая цилиндра параллельна вектору ( — 1, 1, 0); 4) круговой конус (х') — (у') + (х') = 0 с вершиной (0,0, Ц и ортонор- (1 мированным базисом канонической системы координат е( — — '( —, —, О), ( 1/2 ь/2 1 1 ч'2 ч'2 5) пара пересекающихся плоскостей х — у х (в — Ц = 0; Ответы и указания к 939 450 6) гиперболический параболоцц (х') — (у') = — 22' с центром (-1, -1, 3/2) и ортонормированным базисом канонической системы координат е', = — —,0~, ег — — ( — —, —,0~, ег — — (О, О, Ц; 7) круговой цилиндр (х') + (г') = 1, его ось проходит через точку (О, О, — Ц и имеет направляющий вектор ( — 1, 1, 0); г г 2 г 2 У / 1 31 8) эллиптический параболоид(х ) +2(2 ) = — с вершиной ~ 1, — —, — -); чг2 2' 2)' направляющий вектор оси параболоида (О, 1, Ц, оси эллипса в сечении параллельны векторам (1, 0,0), (О, -1, Ц; 9) круговой конус — (х') +(у') +(г') = 0 с вершиной ( — 1, — 2, — Ц и ор- (1 1 тоноРмиРованным базисом канонической системы кооРдинат ел — — 1 —, —, 1, 2' 2' 1 1 О~, е' = — —, —,О~, е' = (О, О, Ц.
38.13. Гиперболический параболоид у + 2уг — гг + 4х — 2 = О. Каноническое уравнение; (у') — (г') + 8ъ'2х' = 0 в системе координат е', = (1,0,0), ег = (0,1+ъ'2, Ц, ег = (О,— 1,1+ч'2). Центр лУ4+ 2л72 чу+ 2л72 (1/2,0,0), 839 39.1. Ц,2),З),4),8),10),1Ц,13),14),15) Да. 5),6),7),9),12),16),17) Нет. 39.2.
Ц Нет; 2) да, абелева группа; 3) да, неабелева группа; 4) нет; 5) нет; 6) если И ~ 1, то нет, если И = 1, то это неабелева группа; 7) да, неабелева группа; 8) да, абелева группа; 9) нет; 10) да, абелева группа; 1Ц нет; 12) да, абелева группа; 13) нет; 14) да, неабелева группа; 15) да, неабелева группа; 16)-18) да, абелевы группы. 39.3. Ц Да, неабелева группа; 2) нет; 3) нет; 4) нет; 5) да, неабелева группа; 6) да, неабелева группа; 7) да, неабелева группа, 8) нет; 9) да, иеабелева группа, 10) да, абелева группа; 1Ц да, абелева группа; 12) нет; 13) да, абелева группа. 39.4. Ц,З),4) Да.
2),5) Нет. 39.5. Нег. 39.7. Не образует а обоих случаях. 39.8. Указание. Показать, что рассматриваемые уравнения имеют решения. 39.9. Указание. Убедиться в том, что выполнены все условия задачи 39.7. 39.10. Указание. Рассмотреть равенство (аЬ) = 1. 39.15. Указание, Учесть, что уравнение х+ х = 1 в первой группе не имеет решений. 39.16. Указание.
Рассмотреть множество решений уравнения х = е г в каждой группе:впервой группе уравнение имеет два решения, во второй — более двух решений. 39.17. Указание. Сравнить множества решений уравнения х = е в г каждой группе. Ответы и указания к 939 451 39. 18. У к аз а н и е. Пусть существует изоморфнзм р между этими группами. Тогда, так как ср(0) = О, то х(1) ш А ф О. Доказать, что в этом случае сс()с) = 3сА для с1с Е 2 и Лс(р) = рА для сср Е Я. Используя предельный переход показать, что Чх Е К изоморфизм действует по правилу сл(х) = хА.
39.19. Указание. Сравнить множества решений уравнения х = е в каждой группе. 39.23. Указание. См. пример 39.б. 39.24. Указание. Если а = 1 для любого элемента группы, то воспользоваться задачей 39.10. В противном случае найти некоммутирующие элементы а и Ь, для которых а = Ь = 1. 39.27. Указание. 6) Если АР — подгруппа, х Е А 1В, д Е В 1А, то рассмотреть ху. в) Рассмотреть х Е (Н 1 А) П (Н Л, В).
39.28. Указание. Рассмотреть элементы а", 3с Е 1с1, для каждого о Е Н. 39.30. Указание. Учесть, что если Н С х — подгруппа, та,и Е Н и НОР(т, и) = р, то В/с,1 Е Х: т)с + и1 = р. 11оэтолсу ра С Н. 39.32. Нет. Указание. Рассмотреть циклическую подгруппу, порожденную неединичным элементом. 39.33. Указание. Рассмотреть циклические подгруппы (а), порожденные элементами а Е С.
39.33. Все циклические группы порядка, равного квадрату простого числа. 39.3 с. Бесконечная циклическая группа, все циклические группы простых порядков и единичная группа. 39.38. За исключением салсой подгруппы Н смежные классы дН не являются группами, так как не содержат едннипу. 39.39. Указание. Рассмотреть отображение сс: аН ЬН, определенное правилом: р(аЬ) = ЬЬ, УЬ Е Н. 39.44. а) Множества Сл = (и Е Е) и ьэ 3с(тос1 р)), 3с = О, р — 1; б) множества С = (х Е 11) х — [х) = а), 0 < а < 1; в) множества Сл = (и Е Ж) и ли (ЗЬ)(пес) 24)), Ь = О, с; г) множества С = (х Е Я)х — )х) = а), а Е )0,1) ОЯ; д) множества 11.~ и 11; е) множества С = (а; -а), а > О.
39.43. а) Множества прямых, параллельных оси абсцисс; б) множества Сь параллельных переносов на векторы Ь+ а а (а Е 11), где Ь вЂ” векторы плоскости, перпендикулярные а; в) множества С, а Е )0,2ксси), повоРотов на Углы а+ 2лйсси (3с Е У); г) множества Сл, 1с = 1, и, всех перестановок (ам...,а ), у которых а =Ь; д) множества С аи а,В Е 11, многочленоа ах +(3х +3(х), где с3ей 3(х) < 3; е) лсножества С, сс Е 11, многочленов (((х) Е Мс) 3(х) = х)с(х) + а, с(е83д(х) < 3). 39.46.
а) Множества Ск лсатриц (А Е К ) А Е 11""", А = А), где К— все кососимметрические матрицы из 1л"""; б) множества Ся матриц (А+ Я)А Е )с""",А = — А), где Я вЂ” все симметрические матрицы из И"""; в) множества матриц А = (а,с) Е Й""" с одинаковыми элементами над главной диагональю (те. при 3 > с). 452 Ответы и указания к 839 39.47. а) Левостороннее разложение — это объединение множеств мат- риц А б )й""", у которых столбпы с одинаковыми номерами пропорциональ- ны, а правостороннее разложение состоит из множеств л1атриц с аналогич- ным свойством строк; б) левостороннее разложение — это объединение множеств матриц, в каждом из которых содержатся все матрицы, получаемые друг из друга произвольной перестановкой столбцов; правостороннее разложение состоит нз множеств матриц с аналогичным свойством строк; в) левостороннее разложение — это объединение множеств матриц, в каждом из которых содержатся все матрицы, получаемые друг из друга элементарным преобразованием столбцов, вкотором к какому-либо столбцу прибавляется столбец с меньшим номером, умноженный на число;право- стороннее разложением строится с помощью аналогичных преобразований строк; г) левостороннее разложение совпадает с правосторонним и является объединением множеств С матриц (А Е К"""( йесА = а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
