Том 1 (1113039), страница 83
Текст из файла (страница 83)
39.48. Левый смежный класс содержит все дробно-линейные функции аех+ Ь у = , у которых ае, са фиксированы, а Ь, л Е К произвольны и удовлесех+ д творяют условию лог( — сеЬ ~ 0; правый смежный класс содержит все функ- ах+Ь ции у =, у которых са, По фиксированы, а а, Ь б К произвольны и сох ч- 4е ' удовлетворяют условию аде — Ьсе ~ О.
Подгруппа не является нормальным делителем, 39.49. 3) Левый смежный класс АН составляют все матрицы, полу- чаемые из А прибавлением ко второму столбцу первого, умноженного на произвольное число; правый же смежный класс НА составляют все матри- цы, получаемые из А прибавлением к первой строке второй, умноженной на произвольное число. Подгруппа Н не является нормальным делителем. 39.50. 1) Да, является. 2) Если А П Ае = И, то смежный класс А /1 7т' содержит все подмножества множества М, не лежащие в М 1 Ае. Если А С Ае ф Я, то смежный класс А Й Н содержит все подмножества множества М, содержащиеся в А П Ае.
39.52. Три подгруппы второго порядка: все перестановки, оставляющие на месте число )г ()с = 1, 2, 3), и одна подгруппа третьего порядка, содержа- щая все четные перестановки, Последняя подгруппа является нормальным делителем. 39.53. а) 2; б) и; в) 4; г) 5; д) б. 39.55. а] 1; б) 1 и 2; в) 1 н 2; г) любого положительного порядка. 39.56. Указание.
См, задачу 39.53, пункт "а". 39.57. У к аз ание. Рассмотреть множество всех матриц вида [ сов(2лй/и) — в1п(2л)с/и) 1 вт(2л)с/и) соз(2лй/и) 39.58. Указание. См. пример 39.8. 39.59. Указание. См. пример 39.7. 39.62. Указание. а) Воспользоваться тем, что если (аЬ)" = 1, то Ь(аЬ)" а = Ьа и (Ьа)" = 1. б),в) Использовать пункт "а". г) Например, в Яэ: а = (3, 1,2), Ь = (2, 1,3), с = (1,3,2). 39.63. Указание, а) Рассмотреть (аЬ)ге и (аЬ)'г, где и — порядок аЬ, т — порядок а, з — порядок Ь. 6) Следует из пункта "а".
Нет, неверно— рассмотреть перестановки а = (3, 1, 2), Ь = (2, 1, 3). 39.64. и/НОР(и,)с). 39.65. х1. 453 Ответы и указания к 840 39.66. Указание. Если в = 1 и в = а, то а = 1, откуда Ы делится з ~ и на п и 1 делится на НОР(п, 1с). Элемент а илзеет порядок и/НОР(п, 6) (см.
задачу 39.64) и поэтому удовлетворяет условию при НОР(п,1) = и//с. 39.6Т. Указание. См, пример 39.8. 39.68. Указание. Воспользоваться теоремой 39.Т, взяв в качестве подгруппы циклическую группу, порожденную рассматриваемым элементом. 39.70. Указание. См. задачу 39.59. 39. 73. У к аз пи н е.
Пусть 1а) — нормальный делитель в группе С. Если операция некоммутативна, то ЧЬ б С Эт, 6 б 14 '1 1Ц: аЬ = 6а'" и Ьп = а" Ь. Показать, что Ьа = 6а ь и, следовательно, а = а 39.74. р — р 39.Тб. У к аз ан не. а) — г) Во всех случаях подгруппалзи являются 1а ), где д — делитель порядка п группы. 39.76. Указание. а) Учесть, что для взаимно простых р и д существуют и, с б,ь такие, что ри+ пс = 1. б) Воспользоваться задачей 39.63, в) Рассмотреть наименьшее натуральное з, для которого а* Е Н. г) Использовать пункт в), откуда если 4з и 4з — различные делители и, то соответствующие подгруппы имеют разные порядки.
39.Т8. Неверно: в мультипликативной группе невырожденных матриц из 11~"~ элементы второго порядка не образуют подгруппу. 39.82. а) Циклическая группа порядка р; б) циклическая группа порядка 5; в) циклическая группа порядка 6; г) циклическая группа порядка 2. 840 40.1. 1) Кольцо с единицей; 2) кольцо без единицы; 3) кольцо без единицы; 4) не образуют; 5) поле; 6) не образуют; 7) кольцо с единицей; 8) кольцо с единицей; 9) поле; 10) не образуют; 11) поле; 12) поле.
У к аз ание. 11) Для нахождения элемента х 4 у~(2+ з ~ъ~4, обратного к произвольному ненулевому элементу вида а+ Ь02 ч- с 04, составить систему для нахождения х, у, з и показать, что определитель ее матрицы а + 26 + з з 4с — баЬс обращается в нуль при а, Ь, с б О только в толи случае, когда з а=Ь=с=О. 40.2.
1) Не образуют; 2) не образуют; 3) некоммутативное кольцо с единицей и с делителялзи нуля; 4) коммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля; 5) некоммутативное кольцо без единицы и с делителями нуля; 6) поле; 7) поле; 8) коммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля; 9) поле. 40.3. 1) Не образует (см. пример 39.2); 2) поле; 3) коммутативное кольцо без единицы и с делителями нуля; 4) коммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля; 5) не образует; 6) некоммутативное кольцо без единицы и с делителями нуля. 40.4. 1) Не образует; 2) не образует; 3) коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля; 4) коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля; 5) коммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля; 6) коммутативное кольцо без единицы и с делителями нуля; 7) коммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля; 8) поле.
40.5. Нет. 40.6. Нег. 454 Ответы и указания к 840 40.14. 1) Все классы Сь, Ь > 1, где Ь не является делителем р; все остальные классы, кроме Со' 2) все матрицы, у которых а„ф О, 1 = 1,п; все матрицы, у которых аа = 0 хотя бы при одном 6 3) все матрицы аК у которых а Р О; делителей нуля нет; 4) см. ответ пункта 2). 40.16. Пары (а, О) и (О, Ь), где аЬ ~ О. 40.17. Матрицы, у которых элемент в левом верхнем углу отличен от нуля. 40.19. Еб. 40 20. Указание.
Раскрыть скобки в произведении (а+Ь)(1+1) двумя разными способами. 40.22. Указание. Пусть а — элемент кольца, отличный от нуля. По- казать, что соответствие х ~ ах, где х — любой элемент, является взаимно однозначным отображением данного кольца на себя, 40.23. Указание.
См. задачу 39.13. 40.24. Указание, а) Показать, что отобрахсение х ах (а Е К, а Ф О) — биекция; б) элемент, обратимый справа, не является делителем нуля, и поэтому х ~ ах (а Е К, а ф О) — биекция; в) если аЬ = О и а не является правым делителем нуля, то элементы х1а,..., х а попарно различны и один из них равен 1. Утверждения б) и в) не верны в кольцах без единицы. 40.25. Указание, б) Учесть, что если аЬ = 1, то (Ьа — 1)Ь = О; в) см. задачу 40.24, п."б", г) см, ответ к задаче 40.24.
40.26. Указание. Рассмотреть кольцо из задачи 40.2(5). 40.27. Вообще говоря, не является. 40.35. Указание. См. задачу 39.68, .36.У .У =~~~ й б 40.40. Указание, Рассмотрим О, 1 Е Р и Ча Е Р, отличный от них. Из задачи 40.33 следует, что 1 + 1 +... + 1 = О. Поэтому для х = 1 + 1 + 1: б х + х = 0 м» (1 + 1)х = О ~ характеристика поля Р равна 2 или 3. Если характеристика равна 2, то а + а = О и для Ь = а + 1; Ь + Ь = 0 ~ а + Ь = а + а + 1 = 1 и (0,1,а,Ь) — подгруппа в Р, что противоречит теореме Лагранжа. Если характеристика равна 3, то О, 1, 1+ 1 = а ~ 0 и а Е Р. Пусть Ь Е Р отличен от них. Тогда Ь + Ь -Ь Ь = О и Ь + Ь ф О.
Если Ь+ Ь = 1, то 1 + Ь = О =.> Ь = а. Если Ь + Ь = а, то а 4- Ь = О ~ Ь = 1. Таким образом, (0,1, а,Ь,2Ь) С Р, и следовательно, в поле Р существует еще один элемент с, отличный от вышеуказанных. Тогда с+ с ~ Π— еще один, седьмой, элемент поля Р.
40.41. Указание. Аддитивная группа поля К из четырех элементов не может быть циклической (см, задачу 40.38), и поэтому все ее отличные от нуля элементы имеют порядок 2, К = (О, 1, а, 1+ а), при этом умножение определяется однозначно, в частности, а(а+ 1) = 1. 40.42. Указание. Мультипликативная группа поля из и элементов имеет порядок п — 1.
40.45. Множество дробно-рациональных функций, представимых в ви- де 7(х)/д(х), д(х) бь О, где ),д Е Ез(х). 40 46. 2 при р = 3; 4 при р = 5; 3 при р = 7; 10 при р = 11. Элемент 2 является образующим в Хз, Хб и Хм . 40.47. а) 3 и 5; б) 2, 3, 8 и 9. Ответы и указания к 34! 455 О / О...ОО ОО1...ОО о о о ... о о о о ... о о ооо...оо о о ... о о 0 2 0 ... О 0 О О О ... р — 1 О 40.48. А = 40.49. Нет, неверно. Указ ание.
Воспользоваться определениелз определителя. 40.50. Указание. См. указание к предыдущей задаче. 40.53. а) ( — 1, — 3 + 2з/2); б) о; в) о; г) йз; д) 3 ш 2ъ/2. Указание. Число 13 не является полным квадратом в этом поле. 40.54. а) (1,2,0), (2,0,1), (0,1,2); б) (1,2,0). 40.55. а) кз; б) (2,6,5). 40.56. а) Имеет два решения; б) имеет одно решение; в) имеет одно решение для любого а Е Кзз. 40.59. Указание, См. (9], с.155. 842 42.1. Тригонометрическая форма имеет вид т(сое уз+ г язп|р), где: 1) т = 5, ср = 0; 2) т = 1, Сз = зс/2; 3) т = 2, ~р = зс; 4) з = 3, уз = Зл/2; 5) т =з/2,ср=зг/4;6) т = з/2,уз= — л/4; 7) т= /2,ез=Ззс/4;8) т= 2, св = зс/3; 9) т = 2, аз = — л/3; 10) т = 2, ср = 2зс/3; 11) т = 2, вв = зг/6; 12) т = 2, ср = 5зс/6; 13) т = 2, ср = 7л/6; 14) т = ч'6 + з/2, ср = зс/12; 841 41.1.
а) 1+ 18г; б) 4г; в) 7+ 17з; г) 4; д) 52г; е) 10 — 11г; ж) 14 — 5з; з) 5+з; и) 1~-1го 41.2. гзз = г; гвв = — 1; г гз = — г; г" = 1 при п = 4/с, з" = г при и = 4/с + 1,г" = — 1прн п = 4/с + 2,г" = — г при п = 4/с + 3 (/с Е Б). 41.5. а) (з,1 + г); б) (2,1 — г); в) 90 г) ( — г/2+ (1+ г/2)сз, гз), гз Е С; д) (3 — 11г, — 3 — 9г, 1 — 7з). 41.6. а) (2, — 3); б) (3, — 5). 41.9. а) О, 1, — — ш — з; б) О, ш1, шго /3. 2 2 41.10. а) з2г; б) ш(1+з); в) ш(2 — 2г); г) ш(2 — г); д) ш(1+4г); е) ш(5+ба); ~ ~В - за ) в(з - В: Е в()/вт ™ - ~~ 'вз ') .
4 — 2г 41.11. а) (3 — з, — 1+ 2г); б) (2+ с,1 — Зг); в) (! — г, — ); 5 г) (5 — 2гЛ 2г), 41.12. Указание. Воспользоваться задачей 41.7, п/б". 41.13. Нет, не образует. 41.14. а) Комыутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, но не поле; б) поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
