Том 1 (1113039), страница 76
Текст из файла (страница 76)
В остальных случаях система несовместна. 5 — Ь 2 2(Ь вЂ” 1) 21.45. Если а(6 — 1)(Ь+1) ~ О, то х = а(Ь+ 1)' Ь+ 1' Ь+ 1 ,у= —,3= Ответы и указания к 322 421 Если а = О, Ь = 5, то у = — 1/3, г = 4/3, х Е К. Если 6 = 1, то у = 1 — ах, х Е К. В остальных случаях система несовместна. 21.46. а,г) Нет, не является; б) Ь = Заз+2аг — аз', в) 6 = Заг — 5аз+11аз. 21.47.
При з = 1: х = (1,2,1)т, при з = 2: х = (1, 1,1)т, при з = 3: х = (1, — 1, 1) г . У к аз а н и е. Составить расширенную матрицу (А ~Ьг ЬгЬз] . 21.48. а) ЛЗ45,7;б) Л~~З;в) Л~1,3;г) Лф-2,-4. 21.49. Указание. Составить уравнения для нахождения столбцов А 10 3 15 — 31 1 1 — 2 0 21.50 1 0 -4 1 21 51 1 — 2 — 1 0 0 — 15/2 — 4 11/2 — 7/2 7/2 2 -5/2 3/2 — 4 — 3 3 — 2 2 1 — 1 1 322 22.1.
Любой базис пространства К". 22.2. ег = ( — 7 3 0 0)т, ег = (5,0 3 0)т 22 3. ез = (О 0 0 6, — 1)т, ег = (0,1,0 2 0)т, ез = (О 0,1,5,0)т. 22.4. Система имеет только нулевое решение. 22.5. е з = (1, 1, — 1, 1) 22.6. ез =(2, — 1,1, 0,0), ег=(8, — 2,0, 1, 0)т. 22.7. е = (1,1, — 3, — 3,7)т.
22 8. ез = ( — 1, 1, — 1, 1, 0) т, ег = (3, — 3 3, О, 1) т. 1111т 21.52. (-, — —, —, — — ), Указание. Решить систему Ах = ез. 4' 4' 4' 4 21.53. (0,0,0, 1, — 1). Указание. Найти последний столбец (Ат) 21.54. а) хз — 1 -~- хз, хг = — 2хз, хз е (й; б) хз = хз, хг = — 2хз, хз с Й; в) неизвестные хм хг, хз, уз, уг уз удовлетворяют соотношениям: 2хг + хг+ 3(уз+ 2уз) = О, 3(хз + хг+хз) = уз+ уз+ Уз.
21.55. Верны утверждения 1 и 4. Указание. Для утверждения 2: взять и = т — 1 и построить А и Ь так, чтобы гй А = и, гй(А(Ь) = из. Для утверждения 3; построить А так, чтобы гй А = пц тогда гй(А~Ь) = ги для любого вектор-столбца Ь. 21.56. Указание. Дописать к системе Ах = Ь уравнение хз+хг+хз+ хз = 0 и исследовать получающуюся систему на совместность. 21.57. Указание.
Пользуясь методом Гаусса, перейти к эквивалентной системе с верхней трапециевидной матрицей. 21.58. Указание. Воспользоваться результатом задачи 21.57. 21.59. а,в) и = ги = гйА; б,г) и > ги = гбА; д) ни одна система не обладает указанным свойством. 21.60.Указание. Необходимость: воспользоваться равенством Ь у = т х Ату. Достаточность; так как системы А у = 0 и ~ т У ' эквива( Ьту — 0 лентны, то в силу утверждения задачи 20.8 строка Ь линейно выражается через строки матрицы Ат. 21.62.
Указание. Умножить обе части равенства А Ау = 0 на т вектор-строку у слева. 21.63. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей и теоремой Фредгольма (задача 21.60). 422 Ответы и указания к 322 22.9. Система имеет только нулевое решение. 22.10. е» = (2,0, -5,7)т, ег = (0,1,5, — 7)т. 22 11. е» = (4 О О, — 9 3)т, ег = (О 2 О, — 3, 1)т, ег = (О 0 1, — 2 1)т. 22.12.
е» =(1, 1, 1, 1,0, 0)т, ег=( — 1,0,0,0,1, 0)т, ее=(0, — 1,0,0,0, 1)т. 22 13. е» =(0,1,3 0,0)т, ег =(О,— 2 0,0 3)т. 22. 14. Например, е» = (1, О, 1, 0), ег = (О, 1, О, 1) и е', = е», е г = (1, 1, 1, 1) . 22.15. х = а»(7,— 5,0,2) + аз( — 7,5,1,0)т. 22.16. х= а»( — 9,3,4,0,0) +аг( — 3,1,0,2,0) +аз( — 2,1,0,0,1)т. 22.17. х=а»( — 9,— 3,11,0,0) +аг(3,1,0,11,0) +аз( — 10,4,0,0,11)т. 22.18. х = а» ( — 3, 2, 1, О, 0) -Ь аг( — 5, 3, О, О, 1) т. 22.19.
Если п ф Зй+2, то система имеет только нулевое решение. Если и = Зй+ 2, то х = а(-1, 1,0, — 1, 1,0,...,О, — 1, 1)т. 2220. х=(0,0,2,— 1) +а»(13,0,9,— 1) +аг(0,13,— 27,3)*. 22.21. х = (2,1,— 1,0,1) + а»(1,0,4,0, — 1) + аз(0,1, -8,0,2) 22.22. х = (2, — 2, 3, — 1) + а»( — 13, 8, — 6, 7)т. 22. 23. х = (О, -6, О, — 4, 2) ~за» (1, О, — 2, — 4, — 4)т+аг(0, 1, — 1, -2, — 2) 22.24. х = (3,0, — 5,11)т. 22 25. х=(1,1,0, — 2,0,0) + а»( — 4,0,0,0,-1,3) + аг( — 1,0,0,1,0,0) + аз(-3,1,0,0,0,0)т.
22.26. При Л = 0 систел»а несовместна. При Л = 6 размерность равна двум, при остальных значениях Л вЂ” равна нулю. 22.27. При Л = 2 система несовместна. При Л = — 1 размерность равна двум, при остальных значениях Л вЂ” равна нулю. 22.28. Указание. Переменные хм хз не могут быть выбраны свобод- ными неизвестными, и следовательно, 4й и 5й столбцы основной матрицы системы входят в любой ее базисный минор и потому не выражаются через остальные столбцы. 22.29. х»,хг;х»,х4;хг,хз;хг,хз;хз,х»;х»,хзхг 4- 2х4 = О, (х = — 2х, 22.30. а) х»+2хг — хз+х4 = 0;б) ( 2 х х О,' в) ~ хг = хз, хз — х» ° Указание. Согласно формуле общего решения любое решение иско- мой системы х = (х», хг, хг, х») линейно выражается через векторы указан- ной системы, те, система а»у» +... + а»у» = х относительно неизвестных ам..., а» совместна.
22 31 а» Г бхг — хг Ьхе — хз = О, ' ), 2хг + 10хг — х» — 14хз = 0; б,в) Указание. Добавить к системе из а) любые уравнения, являющи- еся ее следствиями. 22.32. а) Указание. Построить любую систему, единственным реше- нием которой является вектор уь хг+Зхг = 3, хг+2хг =-1, б) 2х Зх 0' в) х 2' г) Ох»+Ох»+Ох»+Ох» = О. х»+Зхз =3, хг — хэ = -3, х1 — Зхз = 0; х» ха= 3, Указание. Если линейное многообразие задается.
принадлежащими ему векторами ум, у» (й > 2), то в качестве вектора сдвига можно взять Ответы и указания к 923 423 ум а направляющее подпространстао описать однородной системой уравне- ний, Ф.С.Р. которой является максимальная линейно незааисимая подсисте- ма совокупности векторов уз — У! ., Уь — У1 22,33. Нет, так как вектор уэ линейно не выражается чеРез другую систему.
22.34. Нет, так как ни один вектор у, линейно не выражается через другую систему. 22.35. Да. 22.36. Нет, так как вектор хэ линейно ие выражается через другую систему. 22.37. У к аз а н не. Пусть свободными а системе являются ее последние р неизвестных. Тогда базисные миноры (порядка р) Мл и матрице А и Мя я матрице В оба расположены в последних р столбцах и С = МяМл ', 2238.
Указание. Ф СР, содержит один вектор. 22.39. Указание. Использовать то, что присоединенная матрица А удоалетаоряет равенству АА = О. 22.40. Указание. Восполлзоаатьгя предыдущей задачей. 22. 41. У к аз а н и е. Дописать к основной матрице системы любую ее строку и разложить определитель получающейся квадратной матрицы по этой строке. Далее воспользоваться задачей 22.38. 22.42. Частное решение: х=( — 2, -6, 7)т.
Общее решение: ах, а 5 К. 22.43. Частное решение: х=(3, 2, 0)т. Общее решение: ах, и е К. 22.44.Частное решение. х=( — 6,11, — 9,4) Общее решениеххх,а Е К. 22.45. Частное решение: х=(3, О, 2,0)т. Общее решение: ах, а Е К. 22.46. е = аг( — Ьс, 22.47. Матрица А и столбец Ь нулевые. Указание. Рассмотреть а качестве х нулевой вектор и единичные векторы пространства К".
22.48. Указание. Столбцы В суть решения системы Ах = О. 22.49. Ранг расширенной матрицы системы должен при вычеркивании к-го столбца уменьшаться на единицу. 22.50. 2) (г(п — гйА). Указание. Если х — столбец, составленный из элементов искомой матрицы Х, занумерованных по столбцам, то А1х = О, где А1 — блочная матрица, диагональные блоки которой равны А, а анедиа- гональные являются нулевыми матрицами.
22. 51. 2) пй — гй А гй В. 823 23.1. а) А(0, О), В(1,0), С(3/2, 1/2), О(1, 1), Е(0, 1), Р( — 1/2, 1/2); б) А(0, 0), В(1, 0), С(3/2, Г3/2), О(1, ч'3), Е(0, Г~), Р( — 1/2, 3/2). 23.2. С(5,3), О(2, 7) или С( — 1, -5), Р( — 4, — 1). 23.3. а) М,( — х,— у); б) М,(х,-у); а) М1( — х,у); г) М|(у,т); д) М1( — у, — х). 23.4. О(1,— 2). 23.5. О(11,7). 23.6.
М(12,— 11). 23.7. а) М1( — х, — у, — я), б) М1(х, у, — я); а) М1(-х, — у, х). 23.8. а) Мо(х,0,0)' б) Мо(О,У, я) 23.9. а) С(1, 1, О), В|(1, О, 1), С1(1, 1, 1); б) К(1/2, О, 1), Ц1, 1, 1/2); а) М(1/2, 1/2, 1), М(1/2, О, 1/2); г) 0(1/2, 1/2, 1/2) . 23.10. (1/3, 1/3, О) для грани АОВ; (О, 1/3, 1/3) для грани ВОС; (1/3,0, 1/3) для грани СОА; (1/3, 1/3, 1/3) для грани АВС. 23.11. 1) ( — 8/3,5/3), 2) (9,5); 3) ( — 22/3, 1/3); 4) (1/4,5/2).
424 Ответы и указания к 923 23.12. Ц ( — 1,5); 2) (0,0), 3) (1/2,1/2). 23.13. В(0,— 7). 23.14. (11/5,0) и (О, — 1Ц. 23.15. х=(х1+ хз+хз)/3, у=(уг+ уз + уз)/3. 23.16. ( — 3, 3), (7,5), ( — 3, — 3). 23.17. С(10,9), Р(4,— 4). 23.18. 4. 23.19. С(0,— Ц, Р(4,— 4).
23.20. А(3,— 1), В(0,8). 23.21. В( — 3,16/3). 23.22. -2. 23.23. А(160, -131), В( — 225, 184). 1+и 1+я 23.24. (ВФО) = —, (СМО) = —. Указание. Ввести систему И и координат так, чтобы А(0, 0), В(0, 1), С(1, 0). 23.26. (АМК) = 3, (ВИК) = 3/5. 23.27. Центр (0,5). 23.28. ( — 2, Ц. 23.29. Ц (3,2/3,2); 2) ( — 30,8,13); 3) ( — 6/5,8/5, 17/5); 4) (21/2,— 1,— 1/2), 23.30.
(3,0,5). 23.31. А(14/3, -8, 12), В( — 11/3, 7, — 13) и остальные точки деления: Р(4/3, -2,2), Е( — 1/3, 1, -3), 23.32. С(4, -5, — 2). 23.33. 7/2, 1/5, — 1/2. 23.34. Пересекаются в точке ( — 3/2, 5/2, 11). 23.35. Пересекает ось Ох. 23.36. А( — 5,4), В( — 12,5), С( — 7,3). 23.37. О'(б,— 2), е', = (1,0), е~з — — (О,Ц, О( — 6,2), е1 = (1,0), ез = (О, Ц. 23.38. А(Зт/3, Ц, В(ъ 3/2,3/2), С(3, — ъ~З).
23.39. М( /2,2 )г), 1У(-З 2,ЪЛ), ~'(-Л,-2Л). /3, 3 23.40. х = — -х' — — у' — 4, у = — х' — -у'+ 2. 23.41. А(2,3). 2 2 ' 2 2 1, 1, 1, 1 23.42. 1) х = — х' — — у'+ 1, у = — хх+ — у'+ 1 — т/2; 2) х = — х'+ 4, Л Л ' т/2 Л /3, 3 /3, 1, Зт/3 у = -у' + 8; 3) х = -х' — — у' + —, у = — х'+ -у' — —; 4) х = -у', 2 2 2' 2 2 2 у = х'+4. Указание. Показать, что ( ) = (1 — С) ( В ) + С (, ), где (о, Д) — координаты точки А, а С вЂ” матрица поворота на угол х. 23.43. С( — Зт/3/2, (5 — 4г/3)/2), 23.44. Р( — 5, 7), С(0,9) или Р( — 1, — 3), С(4, — 1). 23.45. В(5/2,7/3) или В( — 5/2, — 13/3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
