Том 1 (1113039), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Затем рассмотреть первые три элементы каких-либо двух строк и прийти к противоречию. 8.5. а) 2"п~; б) О. 8.8, Равенство выполнено не всегда. 8.9. Указание. Применить метод Гаусса к каждой блочной строке произведения А З В. 8.10. Указание. Рассмотрим соотношение Второй определитель левой части лишь множителем отличается от определителя кососимметрической матрицы нечетного порядка, и значит, он равен нулю. Поэтому левая часть равна ~А~. Вычитая 1-й столбец определителя в правой части из всех остальных столбцов, получим требуемое. 8.11. Указание. Рассмотреть определитель 8.12. Указание.
Рассмотреть определитель в1 — ам ... в1 — а1 О в„— а„~ ... в — а„„О вЂ” 1 ... — 1 1 8.13. Указание. Разложить определитель по последнему столбцу, а затем каждый дополнительный минор по его последней строке. 8.14. Указание. Рассмотреть определитель — х ... — х и воспользоваться предыдущей задачей. 8.15. Указание. Прибавить ко всем элементам матрицы левой части х и учесть, что получающийся определитель в силу задачи 8,14 является линейной функцией переменной х и, следовательно, может быть найден по любым своим значениям при х = х1 и х = хэ. Ответы и указания к 88 400 8.16. Указание.
Коэффициент при х! в сумме определителей, стоящих в левой части, равен а!!Ам +... + а„зА„! = ~А). 8.17. Указание. Воспользоваться задачей 8.14. 8.18. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 8.19. Указание. Рассмотреть равенство задачи 8.14 при х = — 1. 8.20. Указание. Разложить в произведение определителей. 8.21. Указание. Разложить определитель О а!э ...
а! Ьп .. 6! О аг ... а„Ь! ... Ь ап 0 ... О Ьг! ... Ьз„ о ... о ь ... ь„„ по первым и строкам. 8.22. Указание. а) Рассмотреть произведение матриц ( А ) О ] и [ В От ~, где Π— нулевая матрица размера и х (и — т). б) Рассмотреть определитель ~ А О 8.23. Указание. Представить главный минор матрицы А А в виде произведения В В, где  — матрица, составленная из столбцов матрицы А, т и воспользоваться результатом предыдущей задачи.
8.24. а) Сумма всевозможных произведений элементов аз, аг,..., а„, одно из которых содержит все элементы, а другие получаются из него выбрасыванием одной или нескольких пар сомножителей с соседними номерами (если выброшены все сомножители, считаем член равным 1). б) (а!аз... а„) =(агат... аь)(аьэзаьэг...
а )+(а!аз... аь !)(аьэгаь+з .. а„) У к аз ание. а) Использовать рекуррентное соотношение для определителя Якоби. в) Применить индукцию по и. 8.23. Указание. Вычесть последний столбец из всех предыдущих. Затем вынести множители из всех строк и из всех столбцов, кроме последнего. От получающего определителя перейти к новому определителю Коши, но на единицу меньшего размера. (02! ... (и — 1)!)з 8.26,, ',. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей.
8.27. (а~+6~+аз+с(~)~. Указание. Найти АА ииспользоватьтождество дес(АА ) = (бе1А) . 8.29. О, если и > 2, и г! (аз), если и = 1. 8.30. У к аз ание. Разложить в произведение определителей. 8 31. (-1)" '(Ь|агаз ., а„+ ЬзЬгаз...а +... + Ьзьг...6 за ). 8.32. ( — 1)"((х — 1)" — х"). Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую, в правом нижнем углу положить 1 = х+ (1 — х) и представить в виде суммы двух определителей.
8.33. (хгхг х — (х! — 1)(хг — 1)... (х — 1)) П (х хь) »ь>1 У к аз ни не. Элементы 1-го столбца представить в виде х, — (х, — 1) и разложить определитель в разность двух определителей. Ответь> и указания к 38 401 8.34. (2хгхг .. х„— (х1 — 1)(хг — 1)... (х„— 1)) П (х, — хь). »Ь>1 Указание. Приписать первую строку 1, 0,0,...,0 и первый столбец из единиц, затем первый столбец вычесть из остальных, единипу в левом верхнем углу представить в виде 2 — 1 и разложить определитель в разность двух определителей.
8.35. 1 + 2 (а, + Ь,) 4 2 (а, — аь)(Ьь — Ь,). =1 1«Ь< 8.36. ( — 1)" (1 — и — ~ х,у, 4 ~ (х, — хь)(у, — уь)). *=1 1«,Ь< У к аз а н не. Использовать пример 7.8 из 37. 8.37. х" +х" ' 2 (а, — Ь,)+х" г > (а, — аь)(Ь, — Ьь). =1 1«Ь<,1 Указание. Разложить определитель на сумму двух определителей относительно каждого столбца и воспользоваться результатом задачи 7.118.
8.38. О, если и > 3, ха'(а — 1)(1 — а), если и = 2, и аг — х, если п = 1. 8.38.1. П (аг — а>). Указание. Рассмотреть определитель >1>1>О где А — матрица исходного определителя г 8.-. (-Ц-(х--х--", '). х х х 1 8.40. агаг... а„(1 + — + — +... + — ) . а1 аг а > 8.41. ( — 1)"~" О> (ао — аг+ аз —...
+( — 1)"а ). 8 42. 1. Указание. Пользуясь равенством г) из задачи б.1, вычесть из каждого столбца предыдущий, а затем из каждой строки предыдущую. 8.43. 1. Указание. См, указание к предыдущей задаче. 8.44. 1. Указание. Из каждой строки вычесть предыдущую, 8.45. ( — 1)"1"тн>~. Указание. Из каждого столбца, начиная со второго, вычесть предыдущий, затем из каждого столбца, начиная с третьего, вычесть предыдущий и т.д.
То же самое проделать со строками полученного определителя. 8.46. 1. Указание. Из каждой строки, начиная со второй, вычесть предыдущую, затем из каждой строки, начиная с третьей, вычесть предыдущую и т.д. 8.47. 1. Указание. См. указание к предыдущей задаче. 8.48. (х — 1)". Указание.
Из каждой строки вычесть предыдущую и показать, что Р .11 = (х — 1) Р„. 8.49. Указание. Пусть х, = гпь Тогда заметить, что в >с-м столбце стоят одинаковые многочлены й-й степени от х,. Так как определитель не меняется при прибавлении к его столбцам линейных комбинаций других столбцов, то его можно привести к определителю с элементами Ь„= х,' Д1 = (т>Д! )11. 402 Ответы и указания к 99 8.50. а) еб б~"'б "М П (а, — а,); ~йб>бй! 6) хб би"'и 'З ыи Озз П (аб — а;), ийб>баб 1[6 51 98 [ сова гйпа ~ аз+бе о 7 [ 7 1 О 1 . 9.7.
9.6.— 1 2 -б -1~ 1 9.8. 2 9.10 9.2. [ 9.14. Указание, Равенства в) и г) доказать сначала для невырожденных матриц А, В, а затем воспользоваться непрерывной зависимостью элелбентов обеих частей равенств от элементов рассматриваемых матриц. 9.15. Например, лбатрица, у которой б-й столбец и 1>я строка нулевые, а при вычеркивании б-го столбца и йай строки остается единичнел матрица.
9.18. Матрица А = (а,з) Е И""", в каждой строке и каждом столбце которой стоит ровно один положительный элемент, обладает требуемым свойством. Указание. Для доказательства единственности рассмотреть матРиЦУ А, в котоРой аио об, > О Дла некотоРого б, и, пРоанализиРовав элементы 1АА ')ч пРи всех У' ф б, показать, что беФ А = О. 9.18.
В матрице А ', а) полбеняются местами б-й и узй столбцы; б) б-й столбец разделится на а; в) из учго столбца вычтется з-й, умноженный на 9.21. 2) Треугольное разложение не единственно. 3) Например, [1 01. ГО 11 Указание. 1) Показать, что если главные миноры Ьм,>бз,..., Ь б отличны от нуля, то квадратную матрицу можно привести к верхнему ступенчатолбу виду, пользуясь элементарными преобразованиями строк только третьего типа.
Затем воспользоваться задачами 2.1 и 9.19. б>. б$б ) $б б)бб)2 0~[0 — — 2~; 1 1 2 ΠΠ— 1 Π— 2 О О 1 — 1 ΠΠΠ— 1 0 — 2 О 1 — 2 О 1 О 0 1 О О 1 О О О 'б-б б 1 1 — 4 9.11. — 9 6 ~ О Ответы и указания к 99 403 9.24 9.25 б) 01 о 01 9.26 9.28 9.30 9.32 Я. 33 1/а2 0 0 1/а2 22. [ 9. 34 0 0 ( 1)" ' ( — 1)" ' ( 1) -2 1 -1 1 — 1 0 1 — 1 1 0 0 1 — 1 0 0 ... 1/а 9.36.. 9.37 1/а2 1/а2 0 ...
0 0 0 0 0 ... 1 1 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 0 0 1 ... 1 О О О 1 9.38 ( — 1)" 'Л " ( 1)"-2Л1-" л ' — л л Л вЂ” 1 Л-2 9.39 0 0 0 ... Л 1 0 О 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 а 2 — а -а 1 0 ... 0 0 а — а 1 ... 0 0 9.40 (-а)" ' (-а)" 2 (-а)" 2 (-а)" ~ ... -а 1 У к аз а и и е. Воспользоваться предыдущей задачей. 11апри"'ер а) [2 11 [0 5 ~ [(1 0012010;в)0101100 — б 9 4 1 ~ -7/3 2 -1/3 2 — 3 — 1 ~, 9.27. ~ 5/3 -1 — 1/3 -1/2 1/2 1/2 -2 1 1 ! д 2/9 2/д 1 ( о О о 1 1 2/д '/д 2/9 ~ . 9 29 ~ О -1 О О ) 2/9 -2/9 1/9 ~ 1 0 Ответы и указания к 39 404 1 — 2 1 0 ...
0 0 0 1 — 2 1 ... 0 0 0 0 1 — 2 ... 0 0 9.41 00...1-2 о О...о О...о о -1...0 О 1 ... О О 0.43. 9.42 0...1-1 о ."..' о 0 ... 0 0 1 — 2 -3 п(п+ 5)(п — 2) где Ь б 9.44 1 ... 0 0 0 ... 0 0 — 3...2 — п1— 0 — х~ь 0 — хзь 0 0 0 0 0 0 ... 1 -хь кь 0 ... 0 0 0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 0 0 ... 0 -хаэна 1 ... 0 0 Π— х ць 0 ... 1 0 0 — х ь 0 ... 0 1 0 0 5 ~. 949. [1 2 2~. 9.50.
[3 0 13. 2 3 3 3 952 [1 2 2] о о 1 -1 4 1 3 9.47 21 -14 9.48. — 10 7 9.51. — 0 0 0-1 0 0...0 0 О 0-1 0...0 О 0 0 0 — 1...0 0 а — 1 0 ... 0 0 0 1 а — 1...0 0 0 0 1 ... 0 0 9.53 0 0 0 ...1а — 1 О О 0 0...0 — 1 0 0 0 ... 0 1 1 1 1 1...1 1 Указание. Рассмотрет ер 9.55 ь разложение ее определителя, наприм по первой строке как линейную функцию относительно того элемента аки для которою дополнительный минор отличен от нуля. 9.59.
Указание. Использовать задачу 3.11. 9.61. а) 1, [ ~, где а+ д = — 1, а4 — Ьс = 1; а 6 с б) х1, [ ~, где а + Ьс = х1. а Ь 9.62.Указание. Найти обратную матрицу методом Гаусса — Жордана, о о о о 1 — 1 о 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 о о 0 0 0 1 1 — 2 1 0 0 1 2 — п 1 — и и 6„„ 0 0 2 — и 1 1 ... 1 — о ... о 0-1... О О 0...-1 405 Ответы и указания к 39 9.63.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
