Том 1 (1113039), страница 69
Текст из файла (страница 69)
0 0 1 Указание. Найти и-ю степень матрицы А 12б. б( б б)бб(б ), б(0 ° Оооо д) матрицы В = (Ь,,), у которых Ь„= Ьхо а остальные элементы упй строки и б-го столбца нулевые; е) матрицы, у которых сулбмы элементов каждой строки и каждого столбца одинаковы. Ответы и указания к 92 391 1.29.
а) [О 3 ~'б) [О 2 0 ~2 0 01 [О 0 2[ 1.30. Указание. Воспользоваться задачей 1.28. 1.31. Указание. Применить результат предыдущей задачи. 1.32. Указание. Воспользоваться задачами 1.27д и 1.31. 1.33. Нет. 1.36.1. Можно, только если пг = и = 1. 1.36.2. Вообще говоря, нет. 1.37. Указание. Воспользоваться свойствами следа из задачи 1.35.
1.38. Указание. Воспользоваться предыдущей задачей. 1.40. Указание. Рассмотреть единичные вектор-столбцы 5. 1.41. Указание. Рассмотреть единичные вектор-столбцы 5,0. 1.42. Если г = гс, г' ф (, то (ЕО, Еы) = Еп; если 1 ф гс, г' = 1, то (Есо Еы) = -Ег,", если г = х ф г' = 1, то (Е„, Еы) = ń— Ехи Указание.
Показать, что Е, Еы = Е,г при 7' = )с и Е.,Елг = О при г' ~ й. 1.43. Указание. Воспользоваться задачей 1.42. 1.46. Указание. В силу задачи 1.37 гг(А, В) = 0; найти квадрат матрицы с нулевым следом. 1.47. Указание. Воспользоваться задачей 1.43 и свойствами коммутатора из задачи 1.44. 1.48. Указание. Рассмотреть произвольную диагональную матрицу Р с различными диагональными элементами и, положив Х = (х„), найти (Х, Р).
2.2. п(п+ 1)(п+ 2)/6. 2.3. 1'," г аь,. 2 4. Указание. Пусть, например, матрица А верхняя треугольная порядка п. Используя правило умножения треугольной матрицы В = (50) на себя, найти последовательно все элелгенты главной диаюнвли, затем все элементы Ьь.ль, г = 1, и — х, для каждого /с = 1, 2,.... 2.6.
2(пгг + пгг) + 1. 2.8. а) 9 9 6 ; б) 0 0 2 ; в) 6 4 1 ; г) 2.9. а) Нет,не является. 2.13. Нет,не верно. 2.14. Указание. Рассмотреть в качестве х сначала единичные столбцы, а затем суммы каких-либо двух различных единичных столбцов. 2.18. г) Произведение кососимметрических матриц А и В является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда АВ = — ВА. 2.20.
6) Да, единственно. 2.21. а) [ 2 10]+[5 б)бб(О б О~ [ г б — 2~; в) 0 1 — 1 + 0 2.23. Указание. Воспользоваться задачей 1А8. 2.24. Указание. Воспользоваться задачей 1.36. 2.25. Указание. Учитывая результат задачи 2.22а, рассмотреть величину гг(А — ВА) и воспользоваться свойствами следа из задачи 1.35. Для обоснования второй части утверлсдения задачи учесть 2.24а. Ответы и указания к 33 392 2. 53.
а) А З В = б) АЗВ=ВЗА= г г 0 3 4 ).4ЗВ= ~ о о 0 0 2.56. Нет. 2.57. Нет. 2.58. Нет. ~ 1 1 1 -1 -5 1 [ 1 -1 -6 4 0 1 г -г — 1 0 0 3 — 1 3 1 а) [ О О О г 5 ~ « 6) [ О О О О 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 С 0 о о1 0 1 — 1 0 ,Г 1~ 0 0 0 1 2.26. да, верно. указание. Воспользоваться задачей 2 24. 2'27' а) ~1 ~ [ Π— 1 1 [ -я(по сояо ] [ — я1по — сояо ]' '«с Рцб)~1 ~[ — 1 О) ~[ О -11'[ Я вЂ” о",„1,об(й. 2.31. Указание.
Воспользоваться задачей 2.5. 2.32. Указание. Пользуясь правилом умножения блочных матриц (задача 2.7), показать, что данная блочная матрица ортогональна тогда и т««лько тогда, когда А = А н Ая = О, и воспользоваться задачей 2.26. т 2.33. а) Нет. 5) Да, 1« = г. в) Да, Ь = 3. г) Нет. д) Да, Ь = г.
е) Да, )с = 2, ж) Нет. Указание. В случаях а,г) доказать, что даннаи матрица А удовлетворяет соотношению А = оА, где о ~ О, а в случае ж) показать, 2 что для любой степени матрицы ее элемент в позиции (4, 4) равен 1, 2.34. Нег, не верно. 2.35. [ а 1, где а = — Ьс. 2.36. Указание. Найти диагональные элементы степеней треуголь- ной матрицы.
2.37. Указание. б) Воспользоваться предыдущей задачей. 2.38. Указание, Показать, что коммутатор треугольных матриц яв- ляется строго треугольной матрицей, 2.40. Указание. Пользуясь правилом умножения блочных матриц (задача 2.Т), найти степени данной матрицы. 2.41. х1, [ ~, где а = 1 — Ьс. 2.42. Нет, не верно. Га Ь! 2.43.
Указание. Умножить обе части равенства на 1 — А. 2.44. См. указание к задаче 2.40. (1 1 5/21 2.46. а) [ — 4 — 1];б) [О 1 1]. 0 0 1 2.51. Указание. Воспользоваться задачей 1.39. 393 Ответы и указания к 34 3.2. Матрица Т получается из единичной матрицы 1 таким же элементарным преобразованием. З.З. См. предыдущую задачу. 3.4. Указание.
Использовать теорему З.З. 3.5. Матрица Вс получена из В таким же преобразованием столбцов. 3.6. а) Переставить первую и вторую строки; б) разделить первую строку на 2; в) из первой строки вычесть удвоенную вторую. 3.8.1. Нельзя. Указание. См, задачу 1.36.2. 3.11. У к а з а н и е. Элементарными преобразованиями первого типа привести матрипу перестановки к единичной матрице. 3.12. Указание. Воспользоваться задачей 2,30. 3.13.
Указание. См. указание к предыдущей задаче. 3.15. Указание. Пусть А — данная матрица перестановки и-го порядка. Так как всевозможные степени А также являются матрицами перестановок (задача 3.10), а общее количество матриц перестановок порядка и конечно, то найдутся такие р, сЕ б 1Ч, р > сЕ, что Аг = Ас. 3.18. Соответствующему элементарному преобразованию столбцов матрицы А и такому же преобразованию ее строк. 5 3.20.
а) 3 ~ 5 б б 1 1 2 г) 1 1 1 3.21. с = й, 4 = Е или (с — й)(4 — Е) ф О. 3.22. с = Ес, с = Е нли (4 — й)(с — Е) ~ О. 4.2. а) 4; б) 10; в) 14; г) 10; д); е); ж) (п — й+ 1)(й — 1); п(п — 1) п(п + 1) 2 ' 2 з) (Ес — 1)(й — 2) 2 + (и — /с + 1ий — 1).
4.3. а) с = 3, й = 8; б) с = 5, й = 9. 4.4. Если ас ( а„, то р+ 2(п — э) — 3; если ас > а„, то р+ 2(п — э) — 5. п(п — 1) р п(п — 1) 4.6. В перестановке и, и — 1,...,2, 1, где число инверсий равно 2 4.7. й — 1. 4.8. и — Ес. 4.8.1.
а) й — 1; б) и — 1 — й. 4.8.2. пЦ2. Зп(п — 1) 4.9. а) 2 ; перестановка нечетна при и = 4й — 2 и и = 4й — 1, й б 1Ч; б) п(Зп+ 1) 2 ; перестановка нечетна при п = 4й — 2 и и = 4й — 1, й б 1Ч; в) Зп(п — 1); перестановка четна при любом и; г) п(Зп — 2); четность перестановки совпадает с четностью и; д) п(5п+ 1); перестановка четна при любом п. Ответы я указания к Зб п(п — 1) 2 4.11. Для п = 46, и = 46 — 3, Ь Е 14, одинакова, а для остальных п противоположна. 4.13.
1) 8; 2) б; 3) б. 5.1. -1. 5.2. 1. 5.3. -3000. 5.4. О. 5.5. -1, 5.6. О. 5.7. — 2Ьз. 5.8. 4а6. 5.9. 1. 5.10. азп()зз — а). 5.12. — 3. 5.13. — с(а + Ь ). 5.14. ба + 2. 5.15. ЗаЬс — а — Ь вЂ” сз. 5.16. а 4-6 +с — ЗаЬс, 5.1Т. О. 5.19. 4. Указание. Показать, что все члены определителя не могут близь положительны и потому искомое наибольшее значение меньше б. В силу предыдущей задачи оно не превосходит 4. Наконец, рассмотреть определитель матрицы А = (а„) с элементами а,. = — 1 и а,з = 1, з ~ ~. 5.20. 2. Указание. Показать, что все три положительных члена, аходящне в определитель, не могут равняться 1, и учесть, что определитель матрицы А = (а„) с элементами аи = )зйп(з — у)) равен 2.
5.33. Указание. К третьему столбцу определителя, стоящего а левой части, прибавить второй, умноженный на а + 6+ с, и вычесть первый, умноженный на аЬ 4- Ьс + са. 5.39. а) Входит со знаколз лзинус; б,д,е) не входит; а,г,ж) входит со знаком плюс; з,и) входит со знаком ( — 1)"; к) входит со знаком ( — 1)".
5.40. а) Со знаком плюс; б) со знаком ( — 1) "Ш 07~. 5.41. азгагзаззазз, аззагзаззазг, аззаггаыалм 5.42. з = 5, 7' = 2. 543. з=2, з=б,й=б. 544. з=7,/=5. 545. у = 1, 6 = 3, з = 1 = 5 или 1 = 1, з = 3, Ь = у' = 5. 5.46. а) аезагг' б) азгатз. 5.47. ( — 1)щ~мщя~. Указание. Применить теоремы 4.2, 4.4 из 34. 5.48.
аЬсд. 5.49. аЬс4. 5.50. — аЬсИ. 5.51. О. 5.52. О. 5.53. О. 5.54. а,лагг ..а„„. 5.55. О. 5.56. ( — 1)ып 'в~аз„аг,„ю ..а„з, 5.57. ( — 1)"~'азаг ..а 5.58. (-1)~" ОШ гкгазаг .., а . 5.59. а) 1; б) 1. 5.62. 3 и -2, 5.63. -5 и 1. 5.64. а) а,.-лэз, — лз', б) а.— ан — лчз 5.65. Если и четно, то число элементов на четных и нечетных местах одинаково и равно пг/2. Если и — нечетно, то число элементов на четных местах равно (пг + 1)/2, а на нечетных — равно (и — 1)/2.
5.66. Указание. Рассмотреть сумму индексов всех элементов, входящих и общий член определителя. 5.6Т. Определитель умножится на ( — 1)" 5.68. Определитель умножится на ( — 1)"Ш 5.69. Определитель не изменится. 5.ТО. Определитель не изменится. 5.71. Определитель не изменится. Указание. Рассмотреть общий член определителя. 5.72. Указание. Воспользоваться задачей 5 66.
5.Т4. Определитель обратится в нуль. 5.Т5. Определитель обратится в нуль, если он четного порядка,и удаоится, если нечетного. Указание. Разложить на сумму определителей по каждому столбцу. Ответы и указания к 36 395 5.78. Определитель умножится на ( — 1)"Ш Мгг. 5.7Т. О. 5.78. О. У казан и е. Переставить 1-ю и 2-ю строки в каждой матрице перестановок и проанализировать, как изменится искомая сумма. 5.79. О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
