Том 1 (1113039), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Кольцо и поле конечно много решений. Это перестает быть справедливым, если основное поле Р конечно. Более серьезное отличие возможно для поля характеристики р ~ О, так как в таком поле из равенства па = а + ... + а = 0 не следует, что а = 0 (задача 40.43).
Доказательства, относящиеся к вещественным объектам и опирающиеся на вывод па=О ~ а=О теряют силу в поле ненулевой характеристики. Так, доказательство свойства 6 определителя (35) не проходит для поля характеристики два, хотя само это свойство остается справедливым (задача 40.50), а утверждение (задача 1.38, 31) о том, что для матриц А, В е й""" невозможно равенство А — ВА = 1, оказывается неверным, если основное поле Р имеет характеристику и. Доказательство (пример 5.5, 55) утверждения об определителях кососимметрических матриц нечетного порядка требует предположения, что характеристика поля Р отлична от двух, хотя само это утверждение остается в силе (с одной оговоркой) и в случае поля характеристики два (задача 40.49). Матрица с элементами нз поля Р называется маглрицеп над полем Р, аналогично определяются термины "система линейных алгебраических уравнений над полем Р'™линейное пространство над полем Р".
ЗАДАх1И Примеры колец и полей 40.1. Выяснить, какие из следующих числовых множеств образуют кольцо (но не поле) и какие поле относительно сложения и умножения чисел; в случае кольца указать, обладает ли оно единицей: 1) целые числа У; 2) четные числа 2Ж; 3) целые числа пЖ, кратные данному целому и ) 3; 4) неотрицательные целые числа; 5) рациональные числа Я; 6) рациональные числа, в несократимой записи которых знаменатели делят фиксированное число п е )э(; 7) рациональные числа, в несократимой записи которых знаменатели не делятся на фиксированное число и Е р(; 8) рациональные числа, в несократимой записи которых знаменатели являются степенями заданного простого числа р; 9) вещественные числа К; 10) вещественные числа вида а + 6К22, где а, 6 Е Я; 11) вещественные числа вида а + 6~У2 + с~4'44, где а, б, с Е 44; 12) вещественные числа вида а + бт/2, где а, б Е Я.
366 Глава Х. Элементы общей алгебры 40.2. Выяснить, какие из следующих множеств вещественных матриц и-го порядка, и > 2, образуют кольцо (но не поле), а какие поле относительно сложения и умножения матриц; в случае кольца указать, является ли оно коммутативным, кольцом с единицей, кольцом с делителями нуля: 1) симметрические матрицы; 2) ортогональные матрицы; 3) верхние треугольные матрицы; 4) диагональные матрицы; 5) матрицы, у которых все строки, начиная со второй, нулевые; / а 61 6) матрицы вида ~ ), где а,Ье К; / а 61 7) матрицы вида ~ ~, где а,Ье Я; / аЫ 8) матрицы вида (, ~, где а, Ье К; (,26 а,)' / аЬ'1 9) матрицы вида 1 (, где а, Ь е Ц. (,26 а,)' 40.3.
Выяснить, относительно каких из следующих операций сложения и умножения множество К х К пар вещественных чисел образует кольцо (но не поле), а для каких — поле; в случае кольца указать, является ли оно коммутативным,кольцом с единицей, кольцом с делителями нуля: 1) (а, 6) + (с, Ы) = (а + с, Ь + с~); (а, 6) (с, д) = (ас, ас~ + 6); 2) (а, 6)+(с, д) = (а+с, Ь+г1); (а, Ь) (с,4) = (ас — дй, ад+бе); 3) (а, 6) + (с, д) = (а + с, Ь + Н); (а, 6) (с, д) = (О, О); 4) (а,Ь)+ (с,4) = (а+с,Ь+ с~); (а,Ь) (с,Н) = (ас,Ьг1); 5) (а,Ь)+ (с,д) = (а+с,Ь+сК); (а,Ь) (с,сУ) = (ас,асР— Ьс); 6) (а,Ь)+(с,4) = (а+с,Ь+сМ); (а,Ь) (с,д) = (ад,ЬсВ). 40.4.
Выяснить, какие из следующих множеств функций от одной вещественной переменной образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения функций; в случае кольца указать, является ли оно кольцом с единицей, кольцом с делителями нуля, полем; 1) множество линейных функций 1(т) = ах + Ь, а, Ь Е К; 2) множество всех многочленов степени не выше и; 3) множество многочленов всех степеней; д40. Кольцо и поле 367 4) множество всех тригонометрических многочленов Дх) = по+'Я~,(аь соз |ст+Ьь в1п 1сх), п Е М, ао, ам..., а„, Ьм..., Ь„Е В; 5) множество С]а, Ь] функций, непрерывных на ]а, 6]; 6) множество Со]а, 6] функций, непрерывных на ~а, Ь] и обращающихся в нуль при х = а и х = Ь; 7) множество дифференцируемых на (а, 6) функций; 8) множество дробно-рациональных функций, т.е.
функций, Дх) представимых в виде —, где Д~х),д(х) — многочлены с дейд(х) ствительными коэффициентами (д(т) ф О). 40.5. Выяснить, образует ли множество линейных функций Дх) = ах + 6, а, Ь е К, кольцо относительно операций сложения и суперпозицни функций. 40.6. В адцитивной группе многочленов от одного переменного 6 в качестве операции умножения рассматривается операция суперпозиции, Является ли это множество кольцом относительно этих операций? 40.7.
Доказать, что множество всех подмножеств некоторого множества М образует кольцо относительно операций симметрической разности и пересечения, рассматриваемых как сложение и умножение соответственно, Показать, что это коммутативное кольцо с единицей и с делителями нуля. 40.8. В коммутативном кольце функций, непрерывных на всей действительной оси, с обычными операциями сложения и умножения указать подкольцо; а) без единицы и без делителей нуля; б) без единицы, но с делителями нуля; в) с единицей и делителями нуля; г) с единицей и без делителей нуля, но не являющееся полем. 40.9. В кольце квадратных матриц порядка и > 2 указать некоммутативное подкольцо: а) с единицей и делителями нуля; б) без единицы, но с делителями нуля. 40.10.
Показать, что множество действительных матриц ви- да а Ь с — Ь а — Н с — с д а †— — с Ь а Глава Х. Элементы общей алгебры 368 образует некоммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля. Указать в нем подкольцо без единицы. 40.11. Доказать, что если в любой алдитивной абелевой группе ввести операцию умножения равенством аб = 0 для любых элементов а, о, то получится кольцо (аннуляглорное кольцо). Свойства колец и полей 40.12. Найти обратимые элементы в кольцах с единицей из задач 40.1-40.4.
40.13. Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют мультипликативную группу. 40.14. Найти все обратимые элементы и все делители нуля в кольце: 1) Ур вычетов по модулю р; 2) верхних треугольных матриц п-го порядка над полем Р; 3) скалярных матриц и-го порядка над полем Р; 4) диагональных матриц и-го порядка над полем Р.
40.15. Доказать, что в кольце квадратных матриц порядка и с элементами из некоторого поля ненулевые вырожденные матрицы, и только они, являются делителями нуля. 40.16. Найти все делители нуля в кольце К х К пар действительных чисел с операциями, заданными равенствами из задачи 40.3(4) и из задачи 40.3(6). 40.17. Показать, что в кольце матриц порядка и > 2 из задачи 40.2(5) всякий элемент, отличный от нуля, является правым делителем нуля. Какие матрицы в этом кольце не будут левыми делителями нуля? 40.18. Показать, что если в кольце К элемент а обратим, а элемент 5 — левый делитель нуля, то элемент аб также является левым делителем нуля.
40.19. Привести пример кольца, в котором содержится единственный делитель нуля. 40.20. Показать, что в кольце с единицей коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца. 40.21. Проверив, что свойство нуля и делителей нуля можно доказать, не используя коммутативности сложения, доказать, что в кольце, содержащем хотя бы один элемент с, не являющийся делителем нуля, коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца. 369 з40. Кольцо и поле 40.22. Доказать, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, является полем. 40.23. Доказать, что кольцо, содержащее не более трех элементов, ком мутативно.
40.24. Пусть К вЂ” конечное кольцо. Доказать, что: а) если К не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы; б) если К имеет единицу, то каждый его элемент, имеющий односторонний обратный, обратим; в) если К имеет единицу, то всякий левый делитель нуля является правым делителем нуля. Верны ли утверждения б) и в) для колец без единицы? 40.25. Пусть К вЂ” кольцо с единицей, а, 6 Е К.
Доказать, что; а) если произведения аЬ и Ьа обратимы, то элементы а и 6 также обратимы; б) если К не имеет делителей нуля и произведение аЬ обратимо, то элементы а и 6 обратимы; в) если К конечно и произведение аЬ обратимо, то а и 6 обратимы; г) без дополнительных предположений о кольце К из обратимости произведения аЬ не следует обратимость самих элементов а и Ь. 40.26. Привести примеры колец матриц специального вида, обладающих несколькими правыми или несколькими левыми единицами. 40.27. На множестве Рг упорядоченных пар (ан аг) элементов поля Р введены операции сложения и умножения по правилам: (ам аг) + (Ьм Ьг) = (а1+ 6м аг + Ьг), (ам аг) (Ьм 6г) = (а1Ь1 — агЬг, агЬг + аг61).
Доказать, что множество Рг относительно так введенных операций является коммутативным кольцом с единицей. Является ли это кольцо полем? Изоморфизм колец и полей 40.28. Доказать, что: а) кольцо диагональных матриц второго порядка изоморфно кольцу из задачи 40.3(4); 370 Глава Х. Элементы общей алгебры ГО а1 б) кольцо матриц вида ~ О Ь ~, а,Ь е И, изоморфно кольцу из задачи 40.3Г6). 40.29.
Доказать, что кольцо, изоморфное полю, само является полем. 40.30. Показать,что скалярные матрицы порядка и с действительными элементами при обычных операциях образуют поле, изоморфное полю К действительных чисел. / аЬ'1 40.31. Показать, что поле матриц вида ~ Ь ), а,д Е Я, 1 26 а)' изоморфно полю чисел вида а + Ьъ~2, где а, 6 е Я. а Ьс 40.32. Доказать, что матрицы вида 2с а 6, а,Ь,с Е Я, 26 2с а образуют поле, изоморфное полю чисел вида а + 6~/2 + сГ4, а,Ь,с Е Ц. / АВ1 40.33. Доказать, что матрицы вида ~ ), где А = с аг аг'1 / 61 Ьг 1 гхг ), В = ~ 26 Ь ) е Я, образуют поле, изоморфаг а1 г 1 ное полю чисел вида а1+ агъ 2+ 61 ~/3+ Ьг~г6, ам аг, Ьы Ьг е Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
