Том 1 (1113039), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Т е о р е м а 39.8. Для любых т, и Е Х а а" =а"а =а (а ")" — а Если все степени элемента а группы различны, то а называется элементом бесконечного порядка. Если же имеются совпадения: а = а", т ~ и, то (пусть т > и) а " = 1, т.е. существуют положительные степени элемента а, равные 1. Наименьшее положительное и, для которого а" = 1, называется порядком элемента а, при этом а называется элементом конечного порлдка и. Т ео р е ма 39 9.

Множество (а) всех степеней элелтента а груням С образует подгруппу группы С. Подгруппа (а) называется циклической подгрунпой, порожденной элементом а. Группа С называется циклической, если она состоит из степеней одного из своих элелтентов а, т.е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп (а); элелтент а называется образующим элементом группы С. Подгруппа Н группы С называется нормальным делителем, если для любого элемента а е С аН= На, т.е. если любой левый (правый) смежный класс одновременно является правым (левым) смежным классом. Элементы а и Ь группы С называются сопряженными, если существует элемент с й С такой, что а = с (тс.

Теорема 39.10. Подгруппа Н группы С лв летел нормальным делителем тогда и только таогда, когда она вместе с каждым элементом содерэкит все сопряженные с ним элементы. Т е о р е м а 39.11. Смежные класси по нормальному делитпелю образуют группу относительно умножения подмножеств группы. Группа смежных классов группы С по нормальному делителю Н называется фактор-группой группы С по подгруппе Н. Обозначение: С)Н. П риме р 39.1.

Доказать, что множество С всех ненулевых лтатриц вида (') а Ьл ) с рациональными а, Ь образует абелеву группу относительно обыч- Ь а,) ной операции умножения матриц. Решение. Прежде всего следует проверить, что операция умножения матриц является алгебраической операцией на множестве С. В самом де- ле,для любых А = (2Ь т1 е С, В = (2д ) е С имеем АВ = /аЬ1 т' сдл ("- ) ас ч- 2Ы ад+ Ьс л 2(,(+ Ь ) + 26,1 ~. Следовательно, АВ б С. Проверим справедливость всех аксиом абелевой группы. 1. Операция коммутативна.

Это проверяется непосредственным вычислением ВА. 2. Операцил ассоциативна. Это можно не проверять,так как операция умножения матриц ассоциативна на множестве всех квадратных матриц второго порядка. /1 Ол / 1 01 3. Единичная матрица 1 = ( 0 1 1 = ( 2 0 1 ) б С является нейтральным элементом в С. 4.ЕслиА= (26 ) ОС,АфО,тос1еЛА=а — 2Ь Н'О,таккака,ЬОЦ.

Следовательно, матрица А обратима. Осталось проверить, что А ' в С. Действительно, Пример 39.2. На множестве С = ((а,Ь) )а,Ь б К,а ф 0) определено произведение (а, 6)(а~,6 ) = (аа, аЬ + Ь). (39. 1) Доказать, что С вЂ” неабелева группа. Решение. Очевидно, равенство (39.1) определяет на множестве С алгебраическую операцию. Эта операция ассоциативна, так как ((аЬ)(а',6))(а",Ь") = (аа а",аа Ь" + аЬ'+ 6), (аЬ)((а',Ь)(а",Ьа)) = (аЬ)(а а", а Ьа+ Ь) = (ааа",аа Ь" Ч- аЬ'+ 6). Она некоммутативна, так как, например, (2, 0)(1, 1) = (2, 2), (1, 1)(2, 0) = (2, 1). Элемент (1, 0), как легко видеть, нейтральный. Симллетричным к (а, Ь) является элемент (а,Ь) = ( —,--), ь а а 1 Ь 1 Ь так как (а Ь)( —, — — ) = (а-, а( — -) + Ь) = (10).

° а а а а Пример 39.3. Рассматривается группа (см. пример 392) С = ((а,Ь) ) а,Ь б К,а ~ 0) относительно произведения (аЬ)(а~,Ь) = (аа',аЬ +Ь). Доказать, что пары (а, 0) с С образуют подгруппу Н группы С, изоморфную ллультипликативной группе ненулевых действительных чисел. Решение. Множество Н является подгруппой группы С, так как а) если (а, О), (а', 0) б Н, то (а, 0)(а', 0) = (аа', 0) б Н; б) если (а, 0) б Н, то (а, 0) = (-, 0) б Н. 1 а Эта подгруппа изоморфна мультипликативной группе ненулевых действительных чисел, так как отображение 1а(а) = (а, 0) есть биекция множества К л,(0) на Н, для которой 1а(аа') = (аа',0) = (а,О)(а',0) = у(а)у(а'), Ча,а' б Ж. ° Глава Х.

Элементы общей алгебры 348 Пример 39.4. Симметрическая группа Я . Доказать, что множество Я„всех перестановок множества М = (1, 2,..., и) образует группу относительно умножении (суперпозиции) отображений. Р е ше н и е. Очевидно, умножение перестановок множества Я является алгебраической операцией в Я„, так как произведение биективных отображений биективно. Эта операция ассоциативна (в силу ассоциативности в общем случае произвольных отображений), обладает нейтральным элементом /12...п1 /1 2 ...и е = (1 2 ' ' ' ); при этом для каждого элемента г = ( ... п)' =~а, аг ...а.) б Я существует обратный элемент г = 1 1 2 ' ' ' ) Е Я . /аг аг .. а„1 ...

и Таким образом, ߄— группа. Отметим, что эта группа не абелеаа. Например, (214 3)(24 31)=(13 4 2) Группа Я„называется симметрической группой степени п. Очевидно, это конечная группа и сагс1 Я„= и.'. ° П ример 395. 3 пако переменная группа А . Доказать, что множество А всех четных перестановок множества М = (1,2... и) образует группу относительно умножения отображений. Решение. Для решения задачи достаточно показать, что множество всех четных перестановок множества М является подгруппой симметрической группы Я„(пример 39,4). Проверим справедливость всех условий подгруппы (теорема 39.4). 1.Пустьг=( ),п(п)=lси1=(д д 3 ),а(Д)=1.

Переставим столбцы г так, чтобы на месте 1, 2,..., и оказалась перестановка йм..., 13„(для этого в силу четности перестановки (1 и теоремы 4.3 достаточно выполнить четное число 1г транспозиций). Пусть при этом нижняя строка об пг,, ам в перестановке г перейдет в перестановку тм уг,..., т Тогдаг1 = ( ~ г ''' ")(д й '''б ) = ( ''' ). В силу теоремы 4.2 при переходе от ам аз,...,а к тм уг,..., у„четность числа а(п) = Й изменится 1г раз, и так как Й и (г — четные числа, то г1 — четная перестановка. г1 2 ...и 2. Если г = ( ' ' ' 1 — четная перестановка, то, очевидно, четной (и ог ...и будет и перестановка г ' = ( 1' 2г ' ' ' " ) (теорема 4.4). Группа А„четных перестановок множества, состоящего из п элементов, называется гнакопергменной группой и-й степени.

Очевидно, порядок группы равен и!/2, и > 1. ° П р и м е р 39 6. Доказать, что любая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок на множестве своих элементов (теорема Кэли). Решение. Пусть С = (дс = е,дм...,д„г) — группа п-го порядка. Построим отображение гг группы С на некоторое множество Я перестановок множества С, положив ш(д) = (дед,дгд,...,д гд) для любого д е С. Так как группа С замкнута относительно групповой операции, то дед, дгд,..., 349 939. ГРУлла д„ гд е С. Более того, эти произведения различны,так как из равенства д,д = 9,9 в силу закона сокращения в группе следует, что д, = д„те.

1 = 91 Следовательно, дед, д1д,..., д 1д — перестановка элементов дс, д1,..., д„ группы С, ш(д) — перестановка множества С: Яа 91 9 -1 ( 9од дгд 9 -19 ) и 9 — множество всех таких перестановок 1с(д) — является подмножеством симметрической группы всех перестановок множества С. Покажем, что ~р — изоморфизм: 1) ш — инъективно, так как если д ф д' (д' Е С), то ш(д) ~ 1с(д') (хотя бы потому, что дед ф деди так как дэ = е), т.е. различным элементам из С соответствуют различные перестановки из Я; 2) 1о сохраняет групповую операцию, так как /Яо .9 .

Я-г 1,9о(99 ) 9.(99) 9 -1(99 ) ) ' /9о 9* 9 -1 1 1 до . 9 ~(9 )~(9) =', дед' " . 9.9' .. д. — 9' ) (,Ясд " Я 9 дод 9 9 9 -19 / Яо 9* (Яод)9 ... (9,9)9 ... (9 19)9 19о9 ... 9,9 до . 9 . 9 — 1 (9од)9 " (9.9)9 " (9--гд)9 Осталось отметить, что з' — группа, т.е.

подгруппа группы всех перестановок множества С. Это автоматически вытекает из того, что Я вЂ” изоморфный образ группы С. ° П р и м е р 39.7. Пусть а — элемент группы, имеющий конечный порядок и и а" = 1, и Е У. Доказать, что п является делителем 1с.

Решение. Деля к на и, получаем й м пд+ г, О < г < и. Поэтому а = (а")~+ а" = а" = 1. Так как п — наименьшее положительное число, для которого а" = 1, то г = О. ° Пример 39.8. Доказать, что если а — элемент группы, имеющий конечный порядок, то его порядок совпадает с порядком циклической группы () Решение. Пусть а — элемент порядка и.

Тогда все элементы э -1 ,а,а,,а (39.2) различны, так как если а" = а', Й < п — 1,1 < п — 1, то (пусть й > 1) а ' = 1, где Й вЂ” 1 < п, что противоречит тому, что и — порядок элемента а. Всякая другая степень а равна одному из элементов (39.2), ибо а = а', )с > и, О < г < п — 1 (см, пример 39.7). Следовательно, (а) = (1,а,а,...,а" ) и сагс((а) = п. ° Пример 39.9. Аддитивная группа вычетов по модулю р. Пусть р Е 1Ч, р > 1.

Два целых числа т и п называются сравнимыми по Глава Х. Элементы общей алгебры 350 модулю р, если при делении на р они дают одинаковые остатки, т.е. если т — и = р)г, (г Е У,. Обозначение: т щ п(тодр). Рассматривается алдитивная группа Е целых чисел и подгруппа Н чисел, кратных р. Смежный класс по подгруппе Н, порожденный элементолг гп е Уч имеет вид (буделг придерживаться терминологии алдитивной группы в соответствии с исходной операцией): т+ Н = (т+ р(г)/с Е У) = (и ~ и лв т(щедр)), т.е. это множество всех целых чисел, дающих при делении на р тот же остаток, что и гп.

Так как остатками при делении на р могут быть только числа О, 1, 2,..., р — 1, то алдитивная группа а целых чисел разбивается на р смежных классов по подгруппе Н: Св,См.,.,Ср м где С = (и ~ и = г(тодр)), т = О,п — 1. Обозначим Ур — — (Сс,См...,Ср г). Так как Ж вЂ” абелева группа, то подгруппа Н является нормвльнылг делителем, поэтому Ур — группа относительно сложения смежных классов (теорема 39.11). Согласно общей теории С, + С = С„где г = (т+ п)(пюс1р), т.е.

С, + С вЂ” смежный класс, который содержит т + и. Рассмотренная группа Жр называется аддитивной группой вычетов по модулю р. Отметилп что ар — фактор-группа ЦН. ЗАДАЧИ Примеры групп. Простейшие свойства 39.1. Какие из следующих числовых множеств образуют группу: 1) целые числа У. относительно сложения; 2) четные числа 2У относительно сложения; 3) целые числа рЕ, кратные данному натуральному числу р, относительно сложения; 4) степени данного действительного числа а (а ф О,ж1) с целыми показателями относительно умножения; 5) неотрицательные целые числа относительно сложения; 6) нечетные числа относительно сложения; 7) целые числа Ж относительно вычитания; 8) рациональные числа Я относительно сложения; 9) рациональные числа Ц относительно умножения; 10) ненулевые рациональные числа относительно умножения; 11) положительные рациональные числа Я+ относительно умножения; 12) положительные рациональные числа Ят относительно деления; 13) двоично-рациональные числа, т.е.

Характеристики

Список файлов книги